二次函数y=ax2+bx+c的图像及性质.pdf

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1、精心整理 精心整理 二次函数cbxaxy 2 的图象 【教学目标】 1、会用描点法画出二次函数、 与 的图象； 2、能结合图象确定抛物线 、 、的对称轴与顶点坐标； 3、通过比较抛物线与同的相互关系，培养观察、分析、总结的能力; 【教学重点】 画出形如 、 与形如的二次函数的图象，能指出上述函数图象的开 口方向，对称轴，顶点坐标. 【教学难点】 理解函数 、 与及其图象间的相互关系 【知识点梳理】 知识点一、二次函数的定义： 形如 y=ax 2+bx+c(a 0，a， b，c 为常数 )的函数称为二次函数 (quadraticfuncion).其中 a 为二次项系数， b 为一次项系数，c 为

2、常数项 . 知识点二、二次函数的图象及画法 二次函数y=ax 2+bx+c(a 0)的图象是对称轴平行于 y 轴(或是 y 轴本身 )的抛物线 .几个不同的二次函数. 如果二次项系数a 相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同. 1.用描点法画图象 首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画 图.画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x 轴的交点、与y 轴的交点 . 2.用平移法画图象 精心整理 精心整理 由于 a 相同的抛物线y=ax 2+bx+c 的开口及形状完全相同， 故可将抛物线y=ax 2 的图象平移得到a 值相

3、 同的其它形式的二次函数的图象.步骤为： 利用配方法或公式法将二次函数化为y=a(x-h) 2+k 的形式， 确定其顶点 (h，k)，然后做出二次函数y=ax 2 的图象 .将抛物线 y=ax 2 平移，使其顶点平移到(h，k). 知识点三、二次函数y=ax 2+bx+c(a 0)的图象与性质 1.函数 y=ax 2(a 0)的图象与性质： 函数 a 的符 号 图象开口方向顶点坐标 对称 轴 增减性最大 (小)值 y=ax 2 a0 向上(0， 0) y 轴 x0 时， y 随 x 增大而增大 x0 时， y 随 x 增大而减小 x0 时，开口方向、对称轴、增减性与y=ax 2相同，不同的是顶

4、点坐标为 (0，c)，当 x=0 时， y最 小=c 精心整理 精心整理 (2)当 a0 a0 时，抛物线开口向上，并向上无限 延伸，顶点是它的最低点. (2)在对称轴直线的左侧，抛物线自 左向右下降，在对称轴的右侧，抛物线自左向右 上升 . (1) 当 a0 开口向上 a0 交点在 x 轴上方 c=0 抛物线过原点 c0 对称轴在y 轴左侧 ab0 抛物线与x 轴有两个交点 b2-4ac=0 顶点在 x 轴上 b2-4ac0 抛物线与x 轴无公共点 【典型例题】 题型一：kaxy 2 的图象和性质 例 1、一条抛物线的开口方向、对称轴与 2 2 1 xy相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点

5、（1，1） ，求这条抛 物线的函数关系式 例 2、?在同一平面直角坐标系画出函数 、 的图象 . 由图象思考下列问题： （ 1）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？ （ 2）抛物线的开口方向，对称轴与顶点坐标是什么？ （ 3）抛物线 ， 与的开口方向，对称轴，顶点坐标有何异同？ （ 4）抛物线与同有什么关系？ 例 3、已知二次函数7)1(8 2 kxkxy，当 k 为何值时，此二次函数以y 轴为对称轴？写出其函数关系 式 变式训练： 精心整理 精心整理 1、已知函数 2 3 1 xy，3 3 12 xy，2 3 12 xy （1）分别画出它们的图象；（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、

6、顶点坐标； （3）试说出函数5 3 1 2 xy的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标 2、 不画图象，说出函数3 4 1 2 xy的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函数 2 4 1 xy通过怎 样的平移得到的 3、 若二次函数2 2 axy的图象经过点（-2，10 ） ，求 a 的值这个函数有最大还是最小值？是多少？ 题型二： 2 )(hxay的图象和性质 例 1、不画出图象，你能说明抛物线 2 3xy与 2 )2(3 xy之间的关系吗 ? 例 2、已知函数 2 2 1 xy， 2 )1( 2 1 xy， 2 )1( 2 1 xy （1）在同一直角坐标系中画出它们的图象； （2）分别说出

7、各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质 例 3、根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线 2 2 1 xy得到抛物线 2 )1( 2 1 xy和 2 )1( 2 1 xy？ 变式训练： 1、函数 2 )1(3 xy，当 x 时，函数值y 随 x 的增大而减小当x 时，函数取得最值，最值y= 2、不画出图象，请你说明抛物线 2 5xy与 2 )4(5 xy之间的关系 3、将抛物线 2 axy向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物线经过点（1，3） ，求a的值 题型三： 2 )(hxay+k 的图象和性质 例 1、把抛物线cbxxy 2

8、 向上平移2 个单位，再向左平移4 个单位，得到抛物线 2 xy，求 b、c 的值 精心整理 精心整理 例 2、把抛物线 2 2 3 xy向左平移 3 个单位，再向下平移4 个单位，所得的抛物线的函数关系式为 例 3、在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象 2 3xy， 2 )2(3 xy，1)2(3 2 xy，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标 变式训练： 1、抛物线 2 2 1 21xxy可由抛物线 2 2 1 xy向平移个单位，再向平移个单位而得到 2、将抛物线52 2 xxy先向下平移1 个单位，再向左平移4 个单位，求平移后的抛物线的函数关系式 3、将抛物线 2 3 2 12 x

9、xy如何平移，可得到抛物线32 2 12 xxy？ 4、抛物线cbxxy 2 3是由抛物线13 2 bxxy向上平移3 个单位，再向左平移2 个单位得到的， 求 b、c 的值 题型四、cbxaxy 2 的图象和性质 例 1、通过配方，确定抛物线642 2 xxy的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图 例 2、已知抛物线9)2( 2 xaxy的顶点在坐标轴上，求a的值 例 3、已知抛物线 2 5 3 2 1 2 xxy，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象 例 4、利用配方法，把下列函数写成 2 )(hxay+k 的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐 标 （1）16 2 x

10、xy（2）432 2 xxy （3）nxxy 2 （4）qpxxy 2 变式训练： 1、 （1）二次函数xxy2 2 的对称轴是 （2）二次函数122 2 xxy的图象的顶点是，当x 时， y 随 x 的增大而减小 （3）抛物线64 2 xaxy的顶点横坐标是-2，则a= 2、抛物线cxaxy2 2 的顶点是) 1, 3 1 (，则a、c 的值是多少？ 3、已知 62 2 )2( kk xky是二次函数，且当0x时， y 随 x 的增大而增大 精心整理 精心整理 （1）求 k 的值； （2）求开口方向、顶点坐标和对称轴 4、当0a时，求抛物线 22 212aaxxy的顶点所在的象限 5、已知抛

11、物线hxxy4 2 的顶点 A 在直线 14xy 上，求抛物线的顶点坐标 题型五、cbxaxy 2 的最大或最小值 例 1、求下列函数的最大值或最小值：（1）532 2 xxy； （2）43 2 xxy 例 2、某产品每件成本是120 元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下 表： x（元）130 150 165 y（件）70 50 35 若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日 销售利润是多少？ 例 3、某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20 件，每件盈利40 件，为了扩大销售， 增加盈利， 尽快减少库存，

12、 商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1 元，商场平均每天可多售出2 件 （1）若商场平均每天要盈利1200 元，每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时，商场平均 每天盈利最多？ 变式训练： 1、对于二次函数mxxy2 2 ，当 x=时， y 有最小值 2、已知二次函数bxay 2 )1(有最小值1，则 a 与 b 之间的大小关系是（） Aa bBa=bC abD不能确定 3、求下列函数的最大值或最小值:（1）xxy2 2 ； （2）122 2 xxy 4、已知二次函数mxxy6 2 的最小值为1，求 m 的值 ， 5、心理学家发现，学生对概念的接受能力y

13、 与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系： 精心整理 精心整理 )300(436.21.0 2 xxxyy 值越大，表示接受能力越强 （1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？（3）第几分时，学生的接受能力最强？ 6、如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a 为10m ） ， 围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃设花圃的宽AB 为 xm，面积为 Sm 2 （1）求 S 与 x 的函数关系式； （2）如果要围成面积为45m 2的花圃， AB 的长是多少米？ （3）能围成面积比4

14、5m 2 更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由 题型六、利用待定系数法求二次函数的函数关系式 例 1、 某涵洞是抛物线形， 它的截面如图26 2 9 所示，现测得水面宽1 6m， 涵洞顶点O 到水面的距离为2 4m， 在图中直角坐标系内， 涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？ 例 2、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式 （ 1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1） 、B（1，0） 、C（-1， 2） ； （ 2）已知抛物线的顶点为（1， -3） ，且与 y 轴交于点（ 0，1） ； （ 3）已知抛物线与x 轴交于点M（-3，0） 、 （5，0） ，

15、且与 y轴交于点（ 0，-3） ； （ 4）已知抛物线的顶点为（3， -2） ，且与 x 轴两交点间的距离为4 例 3、已知二次函数cbxxy 2 的图象经过点A（-1， 12） 、B（ 2，-3） ， （1）求该二次函数的关系式； （2）用配方法把（ 1）所得的函数关系式化成khxay 2 )(的形式，并求出该抛物线的顶点坐标和对称 轴 例 4、已知二次函数的图象与一次函数84xy的图象有两个公共点P（2，m） 、Q（n，-8） ，如果抛物线的 精心整理 精心整理 对称轴是x=-1 ，求该二次函数的关系式 变式训练： 1、根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式 （1）已知二次函数的图象

16、经过点（0，2） 、 （1， 1） 、 （ 3，5） ； （2）已知抛物线的顶点为（-1，2） ，且过点（ 2， 1） ； （3）已知抛物线与x 轴交于点M（-1，0） 、 （2，0） ，且经过点（ 1，2） 2、二次函数图象的对称轴是x=-1 ，与 y 轴交点的纵坐标是 6，且经过点（2， 10） ，求此二次函数的关系式 3、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m ，顶部 C 离地面高度为44m现有 一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2 8m ，装货宽度为 24m 请判断这辆汽车能否顺利通过大门 象在 x4、已知二次函数cbxaxy 2 ，当 x=3 时，

17、函数取得最大值10，且它的图 轴上截得的弦长为4，试求二次函数的关系式 5、抛物线nmxxy2 2 过点（ 2，4） ，且其顶点在直线 12xy 上，求此二次函数的关系式 【随堂练习】 1、二次函数y=ax 2bx2c 的图象如图所示，则 a0， b0，c0（填“”或“”） 2、二次函数y=ax 2bxc 与一次函数 y=ax c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（） 3、在同一坐标系中，函数y=ax 2bx 与 y= x b 的图象大致是图中的（） 4、如图所示的是桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状按照图中建立的直角坐标系，左面的一条抛物线可以 用 y=0 0225x 209x10 表示，而

18、且左右两条抛物线关于 y 轴对称，你能写出右面钢缆的表达式吗？ 5、图中各图是在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2（ac）xc 与一次函数 y=ax c 的大致图象，有且只 有一个是正确的，正确的是（） 6、抛物线y=ax 2bxc 如图所示，则它关于 y 轴对称的抛物线的表达式是 7、已知二次函数y=（ m 2）x2（ m3） xm2 的图象过点（ 0，5） （ 1）求 m 的值，并写出二次函数的表达式； 精心整理 精心整理 （ 2）求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴 8、启明公司生产某种产品，每件产品成本是3 元，售价是4 元，年销售量为10 万件为了获得更好的利益， 公司准备拿出一定

19、的资金做广告根据经验，每年投入的广告费是x（万元）时，产品的年销售量将是原销售量 的 y 倍，且 y= 10 2 x 10 7 x 10 7 ，如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费 （ 1）试写出年利润S（万元）与广告费x（万元）的函数表达式，并计算广告费是多少万元时，公司获得 的年利润最大？最大年利润是多少万元？ （ 2）把（ 1）中的最大利润留出3 万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6 个项目可供选择，各项目 每股投资金额和预计年收益如下表： 项目A B C D E F 每股（万元）5 2 6 4 6 8 收益（万元）055 04 06 05 09 1 如果每个项目只能投一股，且

20、要求所有投资项目的收益总额不得低于1 6 万元，问有几种符合要求的投资方式？ 写出每种投资方式所选的项目 9、已知抛物线y=a （xt1） 2t2（ a，t 是常数， a 0，t 0）的顶点是 A，抛物线y=x 22x1 的顶点是 B （如图） （1）判断点A 是否在抛物线y=x 22x 1 上，为什么？ （2）如果抛物线y=a（x t1）2t2经过点 B求 a 的值；这条抛物线与x 轴的 两个交点和它的顶点A 能否成直角三角形？若能，求出 t 的值；若不能，请说明理由 10、如图， E、F 分别是边长为4 的正方形ABCD 的边 BC 、CD 上的点， CE=1 ，CF= 3 4 ，直线 F

21、E 交 AB 的延 长线于 G，过线段FG 上的一个动点H，作 HM AG 于 M设 HM=x ，矩形 AMHN 的面积为y （ 1）求 y 与 x 之间的函数表达式， （2）当 x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最大面积是多少？ 11、已知点A（ 1， 1）在抛物线y=（k21）x22（k2）x1 上 （1）求抛物线的对称轴； （2）若点 B 与 A 点关于抛物线的对称轴对称，问是否存在与抛物线只交于一点B 的 直线？如果存在，求符合条件的直线；如果不存在，说明理由 12、 如图，A、 B 是直线上的两点， AB=4cm ， 过外一点C 作 CD，射线 BC 与所成的锐角 1=60 ，

22、线段 BC=2cm ， 精心整理 精心整理 动点 P、Q 分别从 B、C 同时出发， P 以每秒 1cm 的速度，沿由B 向 C 的方向运动； Q 以每秒 2cm 的速度，沿 由 C 向 D 的方向运动设P、Q 运动的时间为t 秒，当 t2 时， PA 交 CD 于 E （1）用含 t 的代数式分别表示 CE 和 QE 的长； （ 2）求APQ 的面积 S 与 t 的函数表达式； （3）当 QE 恰好平分APQ 的面积时， QE 的长是 多少厘米？ 13、如图所示，有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR ，PQ=PR=5cm ，PR=8cm ，点 B、C、Q、 R 在同一直线上

23、当 CQ 两点重合时，等腰 PQR 以 1cm/ 秒的速度沿直线按箭头所示方向开始匀速运动，t 秒 后，正方形ABCD 与等腰PQR 重合部分的面积为Scm 2解答下列问题： （ 1）当 t=3 秒时，求S 的值； （ 2）当 t=5 秒时，求S 的值； 14、如图 2-4-16 所示，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O 恰在圆形水 面中心， OA=1 25 米由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线的路线落下为 使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在与高OA 距离为 1 米处达到距水面最大高度225 米 （ 1）如果不计其他因素，那么水池

24、的半径至少要多少米，才能使喷出的水不致落到池外？ （ 2）若水池喷出的抛物线形状如（1）相同，水池的半径为35 米，要使水流不致落到池外，此时水流最 大高度应达多少米？（精确到01 米，提示：可建立如下坐标系：以OA 所在的直线为y 轴，过点O 垂直于 OA 的直线为x 轴，点 O 为原点） 15、某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，每日最高产量为40 只，且每日生产的产品全部售出已知生产x 只玩具 熊猫的成本为R（元），每只售价为P（元） ，且 R，P 与 x 的表达式分别为R=500 30x， P=170 2x （ 1）当日产量为多少时，每日获利为1750 元？ （ 2）当日产量为多少时，可获得

25、最大利润？最大利润是多少？ 16、阅读材料，解答问题 当抛物线的表达式中含有字母系数时，随着系数中的字母取值的不同，抛物线的顶点坐标出将发生变化例 如y=x 2 2mx m2 2m 1，有 y=（ xm ） 2 2m 1，抛物线的顶点坐标为（ m， 2m 1） ，即 ， 12my mx 当 m 的值变化时， x、y 的值也随之变化，因而y 值也随 x 值的变化而变化 把代入，得y=2x 1 可见，不论m 取任何实数，抛物线顶点的纵坐标y 和横坐标x 都满足表达式y=2x 1 解答问题： （ 1）在上述过程中，由到所学的数学方法是，其中运用了公式，由、到所用到的数学方法是 精心整理 精心整理 （

26、 2）根据阅读材料提供的方法，确定抛物线y=x 22mx 2m23m 1 顶点的纵坐标 y 与横坐标 x 之间的 表达式 【家庭作业】 1抛物线y=2x 26x 1 的顶点坐标为，对称轴为 2如图，若a0，b 0，c0，则抛物线y=ax 2bxc 的大致图象为（） 3已知二次函数y= 4 1 x 2 2 5 x6，当 x=时， y最小=；当 x 时， y 随 x 的增大而减小 4抛物线y=2x 2 向左平移1 个单位，再向下平移3 个单位，得到的抛物线表达式为 5二次函数y=ax 2bxc 的图象如图所示，则 ac0 （填“”、 “”或“=”）。 6已知点（ 1，y1） 、 （ 3 2 1 ，

27、y2） 、 （ 2 1 ，y3）在函数y=3x 26x 12 的 图 象 上 ， 则 y1、y2、y3的大小关系是（） Ay1 y2y3B y2y1y3Cy2y3y1Dy3y1y2 7二次函数y= x2bxc 的图象的最高点是（1， 3） ，则 b、c 的值是（） Ab=2 ， c=4B b=2，c=4Cb=2， c=4D b=2，c=4 8如图，坐标系中抛物线是函数y=ax 2 bxc 的图象，则下列式子能成 立 的 是 （） Aabc0B abc0CbacD2c3b 9函数 y=ax 2bxc 和 y=ax b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（） 10已知抛物线y=ax 2bxc 经

28、过点 A（4，2）和 B（5， 7） （1）求抛物线的表达式； （2）用描点法画 出这条抛物线 11如图，已知二次函数y=2 1 x2bx c，图象过 A（ 3，6） ，并与 x 轴交于 B（ 1，0）和点 C，顶点 为 P （ 1）求这个二次函数表达式； （ 2）设 D 为线段 OC 上的一点，且满足 DPC= BAC ，求 D 点坐标 12已知矩形的长大于宽的2 倍，周长为 12 ，从它的一个点作一条射线将矩形分成 一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于 2 1 设梯形的面 积为 S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积关于x 的函数表达式，并指出自变量x 的取值

29、范围 精心整理 精心整理 13心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系y= 01x226x43（0 x 30） y 值越大，表示接受能力越强 （ 1）x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？ （ 2）第 10 分时，学生的接受能力是多少？ （ 3）第几分时，学生的接受能力最强？ 14某商店经销一种销售成本为每千克40 元的水产品据市场分析，若按每千克50 元销售，一个月能售 出 500 千克；销售单位每涨1 元，月销售量就减少10 千克针对这种水产品的销售情况，请解答以下问题： （ 1）当销售单价定为每

30、千克55 元时，计算月销售量和月销售利润； （ 2）设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求 y 与 x 的函数表达式（不必写出x 的取值范围） ； （ 3） 商店想在月销售成本不超过10000 元的情况下， 使得月销售利润达到8000 元， 销售单价应定为多少？ 15如图2-4-24 ，在 Rt ABC 中，ACB=90 ， AB=10 ， BC=8 ，点 D 在 BC 上运动（不运动至B、C） ， DE CA ，交 AB 于 E设 BD=x ， ADE 的面积为y （ 1）求 y 关于 x 的函数表达式及自变量x 的取值范围； （ 2）ADE 的面积何时最大，最大面积是多少？ （ 3）求当 tan ECA=4 时，ADE 的面积