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1、2002 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工农医类） 本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分。第一卷1 至 2 页。第二卷3 至 10 页。共 150 分。考试用时120 分钟。 第一卷（选择题共60 分） 注意事项： 1、 答第一卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、考试科目用铅笔涂在答题卡上。 2、 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。 3、 考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回。 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么P（A+B ）=P（A）+P（B） 如果事件 A、B
2、互相独立，那么P（AB）=P（A）P（ B） 如果事件A 在试验中发生的概率是P，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 knkk nn PPCkP)1()( 正棱锥、圆锥的侧面积公式clS 2 1 锥侧 其中 c 表示底面周长，l表示斜高或母线长 球的体积公式 3 3 4 RV球其中 R 表示球的半径。 一、选择题：本大题共12 道小题，每小题5 分，共60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 （1）曲线)( sin cos 为参数 y x 上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是 （A） 2 1 （B） 2 2 （C）1 （D）2 （2）复数 3 ) 2 3 2
3、1 (i的值是 （A）i（B）i（C）1（D）1 （3）已知 m、n 异面直线，llnm，则，平面，平面 （A）与 m、n 都相交（B）与 m、n 中至少一条相交 （B）与 m、n 都不相交（D）至多与m、 n 中的一条相交 （4）不等式0)1)(1 (xx的解集是 （ A）10xx（B）10xxx且 （ C）11xx（D）11xxx且 （5）在（ 0,2）内，使sinxcosx 成立的 x 取值范围为 （ A）) 4 5 ,() 2 , 4 (（B）), 4 ( （ C）) 4 5 , 4 (（D）) 2 3 , 4 5 (), 4 ( （6）设集合 Zk k xxNZk k xxM, 2
4、1 4 , 4 1 2 则 （ A） NM （B） NM （ C） NM （D）NM （7）正六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为2，则这个棱柱的侧面 对角线 E1D 独角戏与 BC1所成的角是 （ A）90 0 （B）600 （ C）45 0 （D）300 （8）函数), 0( 2 xcbxxy是单调函数的充要条件是 （A）b0 （B）b0 （ C） b0 （D）b0 （9）已知10ayx，则有 （A）0)(logxy a （B）1)(log0xy a （C） 2)(log1xy a （D）2)(logxy a （ 10）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知
5、两点A(3,1) ， B(-1,3) ，若点C 满足 OBOAOC，其中R,，且1，则点 C 的轨迹方程为： （A）3x-2y-11=0 （B）(x-1) 2+(y-2)2=5 （C） 2x-y=0 （D）x+2y-5=0 （11）从正方体的6 个面中选取3 个面，其中有2 个面不相邻的选法共有 （A）8 种（B）12 种（C）16 种（ D） 20 种 （12）据 2002 年 3 月 5 日九届人大五次会议政府工作报告 ： “2001 年国内生产总值达到 95933 亿元，比上年增长7.3%。 ” 如果“十五”期间（2001 年 2005 年）每年的国内生 产总值都按此年增长率增长，那么到
6、“十五”末我国国内年生产总值约为 （A） 115000亿元（B）120000 亿元（C）127000 亿元（D）135000 亿元 第二卷（非选择题共90 分） 注意事项： 1、 第二卷共8 页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2、 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 二填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，把答案填在题中横线上。 （13）函数), 1( 1 2 x x x y图象与其反函数图象的交点坐标为_。 （14）椭圆55 22 kyx的一个焦点是（0,2）,那么 k=_. （15）直线x=0，y=0，x=2 与曲线 x y)2(所围成的图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体
7、的体积等于 _。 （16）已知函数 2 2 1 )( x x xf，那么 ) 4 1 ()4() 3 1 ()3() 2 1 ()2()1(fffffff_。 三解答题：本大题共6 小题，共74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分12 分） 已知) 4 2cos(. 2 3 2 , 5 3 ) 4 cos(求的值。 注意：考生在（18 甲） 、 （18 乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18 甲）计分。 （18 甲） （本小题满分12 分） 如图，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a2。 （1）建立适当的坐标系，并写出点A、 B、A1
8、、C1的坐标； （2）求 AC1与侧面 ABB 1A1所成的角 A 1 B1 C 1 AB C （18 乙）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直。点 M 在 AC 上移动，点N 在 BF 上移动，若CM=BN=a).20(a （1）求 MN 的长； （2）当a为何值时， MN 的长最小； （3）当 MN 长最小时，求面MNA 与面 MNB 所成的二面角的大小。 （19） （本小题满分12 分） 某单位 6 个员工借助互联网开展工作，每个员工上网的概率都是0.5（相互独立） 。 （1）求至少3 人同时上网的概率； （2）至少几人同时上网的概率小
9、于0.3？ （20） （本小题满分12 分） 已 知0a， 函 数),0(, 1 )(x x ax xf。 设 a x 2 0 1 ， 记 曲 线)(xfy在 点 )(,( 11 xfxM处的切线为l。 （1）求l的方程； （2）设l与x轴交点为 )0 ,( 2 x。证明： a x 1 0 2 ； 若 a x 1 1 ，则 a xx 1 21 A F B E D C M N （21） （本小题满分12 分） 已知两点M（-1,0） ，N（1,0） ，且点 P 使NPNMPNPMMNMP,成等差小于零的 等差数列。 （1）点 P的轨迹是什么曲线？ （2）若点 P 坐标为 ),( 00 yx，记为
10、PM与PN的夹角，求tan。 （22）已知 n a是由非负整数组成的数列，满足, 3,0 21 aa ,5 ,4, 3),2)(2( 211 naaaa nnnn 。 （1）求 3 a； （2）证明, 5, 4, 3,2 2 naa nn ； （3）求 n a的通项公式及其前n项和 n S。 2002 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学试题（理工农医类）参考答案 一选择题：本题考查基本知识和基本运算。每题5 分，满分60 分。 （1）D（2）C（3）B（4）D（5）C（ 6）B（7）B（8）A（9）D（10）D（11）B（12） C 二填空题：本题考查基本知识和基本运算。每小题4
11、分，满分16 分 （13） （0,0）,（1,1） （14）-1 （15） 2ln 3 （ 16） 2 7 三解答题 （ 17）本小题考查同角三角函数关系式、倍角公式等基础知识，考查基本运算能力。满分 12 分。 解：).2sin2(cos 2 2 4 sin2sin 4 cos2cos) 4 2cos( 25 24 5 3 ) 5 4 (2) 4 cos() 4 sin(2) 2 2sin(2cos . 5 4 ) 5 3 (1) 4 (cos1) 4 sin( , 4 7 42 3 ,0) 4 cos(, 4 7 44 3 22 从而 由此知 50 231 ) 25 7 25 24 ( 2
12、 2 ) 4 2cos( . 25 7 ) 5 3 (21) 4 (cos21) 2 2cos(2sin 22 注意：考生在（18 甲） 、 （18 乙）两题中选一题作答，如果两题都答，只以（18 甲）计分。 本小题主要考查空间直角坐标系的概念，空间点和向量的坐标表示以及向量夹角的计算方 法，考查运用向量研究空间图形的数学思想方法。满分12 分。 解： （1）如图， 以点 A 为坐标原点O，以 AB 所在直线为Oy 轴，以 1 AA所在直线为Oz 轴， 以经过原点且与平面 11A ABB垂直的直线为Ox 轴，建立空间直角坐标系。 由已知，得)2, 2 , 2 3 (),2,0 ,0(),0,0
13、(),0, 0,0( 11 a a aCaAaBA -4 分 （2）坐标系如上。取 11B A的中点 M，于是有 )2, 2 ,0(a a M,连 1 ,MCAM有 )0,0, 2 3 ( 1 aMC,且 )2, 0, 0(),0 ,0( 1 aAAaAB 由于 0,0 1111 AAMCAAMC 所以， 111 AABBMC面 O A Y Z X B A 1 B 1 C1 C M 所成的角。与侧面所成的角就是与 1111 AABBAGAMAC 0 1111 2 1 2 2 2 22 1 22 2 1 1 30 2 3 2 3 3 4 9 ,cos 2 3 2 4 32 44 3 4 9 2
14、4 0 )2, 2 ,0(),2, 2 , 2 3 ( 所成的角为与侧面所成的角，即与所以， 而 AABBACAMAC aa a AMAC aa a AM aa aa AC aa a AMAC a a AMa a aAC （18 乙）本小题主要考查线面关系、二面角和函数极值等基础知识，考查空间想象能力和 推理论证能力。满分12 分。 解： （1）作 MPAB 交 BC 于点 P，NQAB 交 BE 于点 Q，连接 PQ，依题意可得MP NQ，且 MP=NQ ， 即 MNQP 是平行四边形。 MN=PQ 由已知， CM=BN=a,CB=AB=BE=1, 2 1 , 2 1 2 aBQaCP BF
15、AC 即 2 a BQCP )20( 2 1 ) 2 2 () 2 () 2 1 ()1 ( 22222 aa aa BQCPPQMN （2）由（ 1） AF D B E C N M Q P 2 2 , 2 2 2 2 2 1 ) 2 2 ( 2 的长最小，最小值为的中点时，分别移动到即 时，所以，当 MNBFACNM MNa aMN （3）取 MN 的中点 G，连接 AG 、BG， AM=AN,BM=BN， AG MN,BG MN ， AGB 即为二面角 的平面角。 又 4 6 BGAG，所以由余弦定理有 3 1 4 6 4 6 2 1) 4 6 () 4 6 ( cos 22 。故所求二面
16、角) 3 1 arccos(。 （ 19）本小题考查相互独立事件同时发生或互斥事件有一个发生的概率的计算方法，考查 运用概率知识解决实际问题的能力。满分12 分。 解： （1）至少 3 人同时上网的概率等于1 减去至多2 人同时上网的概率，即 32 21 64 1561 1 )5.0()5.0()5.0(1 62 6 61 6 60 6 CCC （2）至少 4 人同时上网的概率为 3 .0 32 11 )5.0()5.0()5.0( 66 6 65 6 64 6 CCC 至少 5 人同时上网的概率为 3.0 64 7 )5.0)( 66 6 5 6 CC 因此，至少5 人同时上网的概率小于0.
17、3. （ 20）本小题主要考查利用导数求曲线切线的方法，考查不等式的基本性质，以及分析和 解决问题的能力。满分12 分。 （1）解：求)(xf的导数： 2 1 )( x xf，由此得切线l的方程： )( 1 ) 1 ( 1 2 1 1 xx xx ax y。 （2）证：依题意，切线方程中令y=0， a xaxxxaxxx 2 0)2()1( 1111112 ，其中. 由 aa xaxxaxxx a x 1 ) 1 (, 0),2(, 2 0 2 1221121 及有 a x a x a x 11 , 1 0 212 时，当且仅当. a xxaxxxax a x 1 )2(1 1 2111211
18、 ，且由，因此，时，当 a xx 1 21 所以。 （ 21）本小题主要考查向量的数量积，二次函数和等差数列等基础知识，以及综合分析和 解决问题的能力。满分12 分。 解： （1）得由记)0, 1(),0, 1(),(NMyxP )0, 2(),1(),1(NMMNyxNPPNyxMPPM )1(2, 1),1 (2 22 xNPNMyxPNPMxMNMP。 于是， NPNMPNPMMNMP, 是公差小于零的等差数列等价于 , 0)1(2)1(2 )1(2)1(2 2 1 1 22 xx xxyx 即 0 3 22 x yx , 所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3为半径的右半圆。 （2）点
19、 P的坐标为),( 00 yx。 2 0 2 000 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 4 1 cos 42)24)(24( )1()1( 21 xPNPM PNPM xxx yxyxPNPM yxPNPM 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 3 4 1 4 1 1 cos sin tan 4 1 1cos1sin, 3 0, 1cos 2 1 30 yx x x x x （22）本小题主要考查数列与等差数列前n 项和等基础知识，以及准确表述，分析和解决 问题的能力。满分14 分。 解： （1）由题设得10 43a a，且 43,a a均为非负整数，所以 3 a的可能的值
20、为1、2、5、10. 若 3 a1,则 4 a10， 5 a 2 3 ，与题设矛盾。 若 3 a5,则 4 a2, 2 35 5 a，与题设矛盾。 若 3 a10,则 4 a1, 60 5 a， 5 3 6 a，与题设矛盾。 所以 3 a2. （2）用数学归纳法证明： 当2, 3 13 aan，等式成立。 假设当)3(kkn时等式成立，即 2 2kk aa， 由题设)2)(2( 211kkkk aaaa 因为02 2kk aa 所以2 11kk aa 也就是说，当1kn时，等式2 11kk aa成立。 根据，对于所有2, 3 11nn aan有。 （3）由3, 20, 2 2)1(2211)1(212 aaaaaa kkkk 及得 , 3 ,2, 1, 12),1(2 212 kkaka kk 。 即 , 3 ,2, 1,)1(nna n n 。 所以 为奇数。当 为偶数当 nnn nnn Sn , 1) 1( 2 1 ),1( 2 1