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1、第 1 页 共 9 页 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） 理科数学（必修+选修 II ） 第 I 卷（共 60 分） 参考公式：如果事件A、B 互斥，那么()()( )P ABP AP B 如果事件A、B 相互独立，那么()() ()P A BP A P B 一选择题：本大题共12 小题，每题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，选择一个符合 题目要求的选项. （1） 22 11 11 ii ii （） （ A）i（B） i （ C）1 （D） 1 （2）函数 1 0 x yx x 的反函数图像大致是（） （ A）（B）（ C）（D） （3）已知函数sincos 1
2、212 yxx ，则下列判断正确的是（） （A）此函数的最小周期为 2 ，其图像的一个对称中心是,0 12 （B）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是,0 12 （C）此函数的最小周期为2，其图像的一个对称中心是,0 6 （D）此函数的最小周期为，其图像的一个对称中心是,0 6 （4）下列函数既是奇函数，又在区间1,1上单调递减的是（） x y 1 ox y 1 ox y o 1 x y o 1 第 2 页 共 9 页 （ A）( )sinf xx（B） ( )1f xx （C） 1 ( ) 2 xx f xaa（D） 2 ( )ln 2 x f x x （5）如果 32 1 3 n x
3、 x 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 3 1 x 的系数是（） （A）7 （B） 7 （C）21 （D） 21 （6）函数 2 1 sin(),10, ( ) ,0. x xx f x ex ，若(10( )2,ff a则a的所有可能值为（） （A）1 （B） 2 2 （C） 2 1, 2 （D） 2 1, 2 （7）已知向量,a b，且2 ,56ABab BCab，72CDab，则一定共线的三点是（） （A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D （8）设地球的半径为 R，若甲地位于北纬45 东经120，乙地位于南纬 75 东经120，则甲、乙 两地的球
4、面距离为（） （A）3R（B） 6 R（ C） 5 6 R（D） 2 3 R （9）10 张奖券中只有3 张有奖， 5 个人购买，至少有1 人中奖的概率是（） （A） 3 10 （B） 1 12 （C） 1 2 （ D） 11 12 （10）设集合 A、B 是全集U的两个子集，则AB是 U C ABU的（） （ A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）冲要条件（D）既不充分也不必要条件 （11）0 1a ，下列不等式一定成立的是（） （A） (1)(1) log(1)log(1)2 aa aa（B） (1)(1) log(1)log(1) aa aa （C） (1)(1) log(1)lo
5、g(1) aa aa (1)(1) log(1)log(1) aa aa （D） (1)(1) log(1)log(1) aa aa (1)(1) log(1)log(1) aa aa （12）设直线:220lxy关于原点对称的直线为 l ，若l与椭圆 2 2 1 4 y x的交点为A、B、 ， 点P为椭圆上的动点，则使 PAB的面积为 1 2 的点P的个数为（） （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 第 3 页 共 9 页 第 II 卷（共 90 分） 二填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16 分.答案须填在题中横线上. （13） 22 2 2 lim_ (1) n nn n C
6、C n . (14)设双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点为F，右准线l与两条渐近线交于P、Q两点，如 果PQF是直角三角形，则双曲线的离心率_e. (15) 设x、y满 足 约 束 条 件 5, 3212, 03, 04. xy xy x y 则 使 得 目 标 函 数65zxy的 最 大的 点( ,)x y是 _. (16)已知mn、是不同的直线，、是不重合的平面，给出下列命题： 若/,mn则/mn 若,/,m nm则/若,/mnmn，则/,m n是两条异面直线，若 /,/,/,/mmnn，则/ 上面的命题中，真命题的序号是_（写出所有真命题的序号） 三解答题：本大
7、题共6 小题，共74 分. 解答写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17） （本小题满分12 分） 已 知 向 量( c o s, s im和2sin,cos,2n， 且 8 2 , 5 mn求 cos 28 的值 . (18)( 本小题满分12 分) 袋中装有黑球和白球共7 个, 从中任取2个球都是白球的概率为 1 , 7 现有甲、乙两人从袋中轮流摸取 1 球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时既终止，每个 第 4 页 共 9 页 球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. （I ）求袋中所有的白球的个数； （II ）求随机变量的概率分
8、布； （III）求甲取到白球的概率. （19） （本小题满分12 分） 已知1x是函数 32 ( )3(1)1f xmxmxnx的一个极值点，其中,0m nR m， （I ）求m与n的关系式； （II ）求( )f x的单调区间； （III）当 1,1x 时，函数( )yf x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范 围. (20)( 本小题满分12 分) 如图，已知长方体 1111, ABCDA BC D 1 2,1,ABAA 直线BD与平面 11 AAB B所成的角为30，AE垂直BD于 E，F为 11 A B的中点 . （I ）求异面直线 AE与BF所成的角； （II ）求平面
9、BDF与平面 1 AA B所成的二面角； （III）求点 A到平面BDF 的距离 . （21） （本小题满分12 分） 已知数列 n a的首项 1 5,a前n项和为 n S，且 * 1 5() nn SSnnN （I ）证明数列1 n a是等比数列； （ II ）令 2 12 ( ) n n f xa xa xa x，求函数( )f x在点1x处的导数(1)f并比较2(1)f与 2 2313nn的大小 . (22)( 本小题满分14 分) 已知动圆过定点,0 2 p ，且与直线 2 p x相切，其中0p. （I ）求动圆圆心C的轨迹的方程； （II ） 设 A、 B是轨迹C上异于原点O的两个不
10、同点， 直线OA和OB的倾斜角分别为和， 当, A 1A B C D 1 B F 1 C 1 D E y A x o B M N 第 5 页 共 9 页 变化且为定值(0)时，证明直线 AB恒过定点，并求出该定点的坐标 . 2005 年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷） （试题参考答案） 理科数学（必修 +选修 II ） 一选择题 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案D B B D C C A D D A A B 二填空题 13 3 2 14. 2e15. 2,316. 三.解答题 17.考查知识点： （三角和向量相结合） 解: cossin2,cossinmn
11、2 2 cossin2(cossin )mn= 42 2(cossin )=44cos 4 =2 1cos 4 由已知 8 2 , 5 mn, 得 7 cos 425 又 2 cos2cos ()1 428 2 16 cos () 2825 ,2 59 8288 cos0 28 4 cos 285 18. （考查知识点：概率及分布列） 解:(I)设袋中原有n个白球 , 由题意知 2 2 7 (1) 1(1) 2 76 776 2 n n n Cn n C 第 6 页 共 9 页 可得3n或2n( 舍去 ) 即袋中原有3 个白球 . (II)由题意 ,的可能取值为1,2,3,4,5 3 (1);
12、 7 P 432 2; 767 P 4 326 (3); 76 535 P 43 233 (4); 76 5435 P 432 1 31 (5); 76 54335 P 所以的分布列为 : 1 2 3 4 5 P 3 7 2 7 6 35 3 35 1 35 (III) 因为甲先取,所以甲只有可能在第一次,第三次和第5 次取球 ,记 ” 甲取到白球” 为事件A,则 22 ()135 35 P APPP 19.（考查知识点：函数结合导数） 解 (I) 2 ( )36(1)fxmxmxn因 为1x是 函 数( )f x的 一 个 极 值 点 ,所 以(1)0f,即 36(1)0mmn，所以36nm
13、 （II ）由（ I）知， 2 ( )36(1)36fxmxmxm= 2 3 (1)1m xx m 当0m时，有 2 11 m ，当x变化时，( )f x与( )fx的变化如下表： x 2 ,1 m 2 1 m 2 1,1 m 1 1, ( )fx00 00 0 ( )f x 调调递减极小值单调递增极大值单调递减 第 7 页 共 9 页 故有上表知，当 0m 时，( )f x在 2 ,1 m 单调递减，在 2 (1,1) m 单调递增，在(1,)上单 调递减 . （III ）由已知得( )3fxm，即 2 2(1)20mxmx 又0m所以 222 (1)0xmx mm 即 222 (1)0,1
14、,1xmxx mm 设 2 12 ( )2(1)g xxx mm ，其函数开口向上，由题意知式恒成立， 所以 22 ( 1)0120 (1)0 10 g mm g 解之得 4 3 m又0m所以 4 0 3 m 即m的取值范围为 4 ,0 3 20 (考查知识点：立体几何) 解：在长方体 1111 ABCDA B C D中，以AB所在的直线为x轴，以AD所在的直线为y轴， 1 AA所 在的直线为z轴建立如图示空间直角坐标系 由已知 1 2,1,ABAA可得(0,0,0),(2,0,0)AB，(1,0,1)F 又AD平面 11 AAB B， 从而BD与平面 11 AA B B所成的角为30DBA，
15、 又2AB，AEBD， 2 3 1, 3 AEAD从而易得 132 3 ,0,0,0 223 ED （I ）因为 13 ,0 ,1,0,1 22 AEBF 所以cos , AE BF AE BF AE BF = 1 2 2 42 易知异面直线AEBF、所成的角为 2 arccos 4 （ II ）易知平面 1 AA B的一个法向量(0,1,0)m设( , , )nx y z是平面BDF的一个法向量， 2 3 ( 2,0) 3 BD由 0 0 nBFn BF nBDn BD 0 2 3 20 3 xz xy3 xz xy 第 8 页 共 9 页 即 1,3,1n所以 15 cos, 5 m n
16、m n m n 即平面BDF与平面 1 AA B所成的二面角的大小（锐 角）为 15 arccos 5 （III）点A到平面BDF的距离，即AB在平面BDF的法向量n上的投影的绝对值， 所以距离cos,dABAB n= 2 5 5 AB n n 所以点A到平面BDF的距离为 2 5 5 21 （考查知识点: 数列） 解：由已知 * 1 5() nn SSnnN可得 1 2,24 nn nSSn两式相减得 11 21 nnnn SSSS即 1 21 nn aa从而 1 121 nn aa当1n时 21 215SS所 以 211 26aaa又 1 5a所以 2 11a从而 21 121aa 故总有
17、 1 12(1) nn aa， * nN又 11 5,10aa从而 1 1 2 1 n n a a 即数列1 n a是等比数列； （II ）由（ I ）知3 21 n n a 因为 2 12 ( ) n n f xa xa xa x 所以 1 12 ( )2 n n fxaa xna x 从而 12 (1)2 n faana= 2 3 212 3 21(321) n n = 2 3 2222 n n-12n= 1 (1) 3126 2 n n n n 由上 2 2(1)23131212 n fnnn- 2 12 21nn= 1212121 (21) n nnn=12(1) 2(21) n nn
18、 当 1n 时，式 =0 所以 2 2(1)2313fnn； 当2n时，式 =-120所以 2 2(1)2313fnn 当3n时，10n又 011 21 1 n nnn nnnn CCCC2221nn 所以12210 n nn 即0从而2(1)f 2 2313nn 22 （考查知识点 : 圆锥曲线） 第 9 页 共 9 页 解： （I ）如图，设 M 为动圆圆心，,0 2 p 为记为 F ，过点M作直线 2 p x的垂线，垂足为N， 由题意知：MFMN即动点M到定点F与定直线 2 p x的距离相等， 由抛物线的定义知，点 M的轨迹为抛物线，其中,0 2 p F 为焦点， 2 p x为准线，所以
19、轨迹方程为 2 2(0)ypx P； （II ） 如图，设 1122 ,A x yB xy，由题意得 12 xx（否则）且 12 ,0x x所以直线AB 的斜率存在，设其方程为ykxb，显然 22 12 12 , 22 yy xx pp ，将ykxb与 2 2(0)ypx P联 立消去x，得 2 220kypypb由韦达定理知 1212 22 , ppb yyyy kk （ 1 ） 当 2 时 ， 即 2 时 ，t a nt a n所 以 12 1212 12 1,0 yy x xy y xx ， 22 12 12 2 0 4 y y y y p 所以 2 12 4y yp由知： 2 2 4
20、pb p k 所以2.bpk因此直线AB的方程可表示为 2ykxPk，即(2 )0k xPy所以直线AB恒过定点2 ,0p （2）当 2 时，由，得tantan()= tantan 1tantan = 12 2 12 2 () 4 p yy y yp 将式代入上式整理化简可得： 2 tan 2 p bpk ，所以 2 2 tan p bpk， 此时，直线AB的方程可表示为ykx 2 2 tan p pk即 2 (2 )0 tan p k xpy 所以直线AB恒过定点 2 2 , tan p p 所以由（ 1） （ 2）知，当 2 时，直线AB恒过定点2 ,0p，当 2 时直线AB恒过定点 2 2 , tan p p .