2013-2017高考数学(文)真题分类汇编第9章直线与圆的方程.pdf

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1、第九章直线与圆的方程 第一节直线的方程与两条直线的位置关系 题型 100 倾斜角与斜率的计算 2014 年 （2014 辽宁文 8） 已知点( 2,3)A在抛物线C： 2 2ypx的准线上，记C的焦点为 F， 则直线 AF 的斜率为（） A 4 3 B 1 C 3 4 D 1 2 题型 101 直线的方程 2014 年 1.（2014 福建文 6）已知直线l过圆 2 2 34xy的圆心，且与直线10xy垂直，则l的 方程是（）. A.20xyB.20xyC.30xyD.30xy 2015 年 1.（ 2015 重庆文12）若点1,2P在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 _.

2、1. 解析 20 2 10 OP k,1 OP kk，所以 1 2 k，所以切线方程为化简得250xy 题型 102 两直线的位置关系 2014 年 1. （ 2014四 川 文9） 设mR， 过 定 点A的 动 直 线0xmy和 过 定 点B的 动 直 线 30mxym交于点,P x y，则PAPB的取值范围是（）. A.5,2 5B.10, 2 5C.10, 4 5D.2 5, 4 5 题型 103 有关距离的计算及应用 2016 年 3.（2016 上海文 3） 1: 2 10lxy， 2: 2 10lxy，则 12 ,ll的距离为. 3.解析由题意. 题型 104 对称问题暂无 第二节

3、圆的方程 题型 105 用二元二次方程表示圆的充要条件 2016 年 1.（2016 浙江文 10）已知aR，方程 222 (2)4850a xayxya表示圆，则圆心坐标 是_，半径是 _. 1.；解析由于此方程表示圆的方程，所以，解得或. 当时，带入得方程为，即，所以圆心为 ， 半 径 为； 当时 ， 带 入 得 方 程 为， 即 ，此方程不表示圆的方程.由上所述，圆心为，半径为. 题型 106 求圆的方程 2013 年 1. （2013 江西文14）若圆C经过坐标原点和点4,0，且与直线1y相切，则圆C的方程 是. 2014 年 1. （2014 山东文 14）圆心在直线20xy上的圆C

4、与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得弦 的长为2 3，则圆C的标准方程为. 2015 年 1.（2015 北京文 2）圆心为1,1且过原点的圆的方程是（） . A. 22 111xyB. 22 111xy C. 22 112xyD. 22 112xy 1. 解析由已知得，圆心为1,1，半径为2，圆的方程为 22 112xy.故选 D. 2.（2015 江苏文 10）在平面直角坐标系xOy中，以点1,0为圆心且与直线 mxy 2 5 5 22 1 1 2 5 5 21 d 2, 45 2 2aa1a2 1a 22 4850xyxy 22 2425xy 2, 452a 22 4448100xyxy

5、2 215 1 24 xy2, 45 210mmR相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 2. 解析解法一 （几何意义） ：动直线210mxym整理得210m xy，则l经 过 定 点 2 ,1M， 故 满 足 题 意 的 圆 与l切 于M时 ， 半 径 最 大 ， 从 而 22 21102r，故标准方程为 2 2 12xy 解法二（代数法基本不等式）：由题意 2 1 1 m rd m 2 2 21 1 mm m 2 2 1 1 m m 2 1 1 m m 2 12 1 2 m m , ，当且仅当1m时，取“” 故标准方程为 2 2 12xy 解法三（代数法判别式）： 由题意 2 1 1 m

6、 rd m 2 2 21 1 mm m ， 设 2 2 21 1 mm t m ， 则 2 1210tmmt，因为 mR ，所以 22 2410t ，解得02t 剟 ，即d 的最大值为2 3. （2015 湖北文 16） 如图所示，已知圆C与x轴相切于点(10)T ， 与y轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且| |2AB . （1）圆C的标准方程为. （2）圆C在点B处切线在x轴上的截距为. 4. 解析(1)由条件可设圆C的标准方程为 2 (1)() 22 x+ yrr（r为半径） . 因为2AB，所以 22 112r，故圆C的标准方程为 2 2 122xy. (2)在 2 2 122x

7、y中，令 0x ，得021B，. 又 2C 1，所以 212 1 01 BC k ， 所以圆C在点B处的切线斜率为1，即圆C在点B处的切线方程为 21yx. y xTO C B A 令0y可得12x，即圆C在点B处的切线在x轴上的截距为12. 2016 年 1.（2016 天津文12）已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点0, 5M在圆C上，且圆心到直线 20xy的距离为 4 5 5 ，则圆C的方程为 _. 1.解析,0C a0a，则，得，故圆的 方程为. 2017 年 1.（2017 天津卷文12）设抛物线 2 4yx 的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的 圆与y轴的正半轴相切于点

8、A.若120FAC，则圆的方程为. 1.解析如图所示，设坐标原点为O ，由题意，得24p，1 2 p ，1OF，1: xl.因为 120FAC，所以60AFO，tan603AOOF，所以C的坐标为( 1, 3)， 1rAC，所以圆 C 的方程为1)3()1( 22 yx. 题型 107 点与圆的位置关系的判断 2016 年 1.（2016 四川文15）在平面直角坐标系中，当( ,)P x y不是原点时，定义P的“伴随点”为 2222 , yx P xyxy ，当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题： 若点A的“伴随点”是点A，则点A的“伴随点”是点A；单元圆上的“伴随点”还在单 2

9、2 (2)9xy | 2|4 5 5 5 a 2 2,253ar C 22 (2)9xy l y2=4x C A F y xO 位圆上； 若两点关于 x轴对称，则他们的“伴随点”关于 y轴对称；若三点在同一条直线上，则他们 的“伴随点”一定共线. 其中的真命题是. 1. 解析对于，若令则其伴随点为，而的伴随点为 ，而不是，故错误； 对于， 令单位圆上点的坐标为，其伴随点为仍在单位圆上， 故 正确； 对于，设曲线关于轴对称，则对曲线表示同一曲线， 其伴随曲线分别为与也表示同一曲线，又因 为其伴随曲线分别为 与的图像关于轴对称，所以正确；对于 ，直线上取点得，其伴随点消参后轨迹是圆，故错误.所以正

10、 确的序号为. 题型 108 与圆的方程有关的最值或取值范围问题 2013 年 1. (2013 重庆文 4）设P是圆 22 314xy上的动点，Q是直线3x上的动点， 则PQ 的最小值为（）. A. 6B. 4C. 3D. 2 2. （ 2013山 东 文13 ） 过 点3,1作 圆 22 224xy的 弦 ， 其 中 最 短 弦 的 长 为 2014 年 1.（2014 北京文7）已知圆 22 :341Cxy和两点,0Am，,00B mm，若 圆 C上存在点P，使得90APB，则m的最大值为（）. A.7B.6C.5D.4 2. （2014 新课标 2 文 12） 设点 0,1 Mx， 若

11、在圆 22 :1O xy上存在点N， 使得 45OMN， (1,1),A 11 , 22 A 11 , 22 A 11，P (cos ,sin)Pxx(sin,cos )Pxx ( , )0f x yx( ,)0fxy( , )0f x y 2222 ,0 yx f xyxy 2222 ,0 yx f xyxy 2222 ,0 yx f xyxy 2222 ,0 yx f xyxy y ykxb 2222 , yx xyxy 则 0 x的取值范围是（） A.1,1B. 1 1 2 2 ，C.2,2D. 22 22 ， 3（2014 湖北文 17）已知圆 22 :1Oxy和点2,0A，若定点0B

12、b，2b 和常数满足： 圆O上任意一点，都有MBMA ，则 （）； （）. 4. （2014 辽宁文 20） 如图所示， 圆 22 4xy的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形， 当该三角形面积最小时，切点为P. （1）求点 P的坐标； （2）焦点在 x轴上的椭圆C过点P，且与直线:+ 3lyx 交于A，B两点，若PAB的面积 为2，求C的标准方程 . 2017 年 1. （2017 北京卷文12） 已知点P在圆 22=1 xy上，点A的坐标为2,0，O为原点，则 AO AP 的最大值为 _ 1.解析解法一 ：利用坐标法求数量积 .设点 ,P x y，则2,02,24AO APxyx，且

13、 11x剟 ，当 1x 时，AO AP的最大值为 6. 解法二： 利用数量积的定义. cos2216AO APAOAPAOAP剟. 所以最大值是6. 解法三：利用数量积的几何意义.如图所示，点P是单位圆上的动点， 当A， O，P三点共线时，AP的长度最大，且向量 AO 与向量 AP 同向，易 M b x y P O O A P x y 得22 16. 2.（2017 江苏卷 13）在平面直角坐标系 xOy中，点12,0A ，0,6B，点 P在圆 22 :50O xy上若20PA PB, ，则点P的横坐标的取值范围是 2. 解析不妨设 00 ,P xy，则 22 00 50xy，且易知 0 5

14、2,52x 因为PA PBAP BP 0000 12,6xyxy 22 0000 126xxyy 00 5012620xy ,，故 00 25 0xy, 所以点 00 ,P x y在圆 22 :50O xy上，且在直线250xy的左上方（含直线）. 联立 22 50 250 xy xy ，得 1 5x， 2 1x，如图所示，结合图形知 0 5 2,1x 评注也可以理解为点P在圆 22 0000 12620xyxy的内部来解决，与解析中的方法一致 题型 109 与圆的方程有关的轨迹问题 2014 年 1.（2014 新课标文20）已知点2,2P，圆C： 22 80xyy，过点P的动直线l与圆C交

15、 于,A B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点 . （ 1）求M的轨迹方程； （ 2）当OPOM时，求l的方程及POM的面积 . 2015 年 1.（2015 广东文 20）已知过原点的动直线l与圆 1 C： 22 650xyx相交于不同的两点A， B B(1,7) A(-5,-5) 2x-y+ 5=0 O y x 5 2 （1）求圆 1 C的圆心坐标； （2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程； （3）是否存在实数k，使得直线L：4yk x与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的 取值范围；若不存在，说明理由 1. 解析（1）圆 1 C的标准方程为 22 (3)4xy，所以圆心坐标为13,0

16、C. （2）设线段AB的中点 00 (,)M xy，由圆的性质可得， 1 C Ml，l斜率存在， 设直线l的方程为ymx，则 1 1 C M km . 又00ymx，所以 00 00 1 3 yy xx ， 所以 22 000 30xxy，即 2 2 00 39 24 xy. 因为动直线l 与圆 1 C相交，所以 2 | 3| 2 1 m m ，得 24 5 m. 所以 2 0 2 0 22 0 5 4 xxmy，即 2 0 2 00 5 4 3xxx， 解得 3 5 0 x或0 0 x，又因为 0 03x ,，所以0 5 3 3 x ,. 所以),( 00 yxM满足 4 9 2 32 0

17、2 0 yx 0 5 3 3 x , ， 即中点M的轨迹C的方程为 4 9 2 3 2 2 yx 5 3 3 x ,. （3）由题意作图，如图所示.由题意知直线L表示过定点T(4,0)，斜率为k的直线 . 结合图形， 2 239 24 xy 5 3 3 x,表示的是一段关于x轴对称，起点为 3 52 , 3 5 按逆 时针方向运动到 3 52 , 3 5 的圆弧 .根据对称性，只需讨论在 x轴下方的圆弧 . 设P 3 52 , 3 5 ，则 7 52 3 5 4 3 52 PT k. T(4,0) O y x P 而当直线L与轨迹C相切时， 2 3 1 4 2 3 2 k k k ， 解得 4

18、 3 k. 在这里暂取 4 3 k，因为 4 3 7 52 ，所以kkPT. 结合图形， 可得对于x 轴对称下方的圆弧，当 2 5 0 7 k剟或 3 4 k时，直线L与x轴下方的圆 弧有且只有一个交点.根据对称性可知 2 5 0 7 k剟或 4 3 k时， 直线L与x轴上方的圆弧有且 只有一个交点. 综上所述，当 2 52 5 77 k剟或 3 4 k时，直线L与曲线C只有一交点 . 2016 年 1.（2016 四川文9）已知正ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足1AP uu u r ， PMMC uuu ruuu r ，则 2 BM uuu r 的最大值是（）. A.B. C.

19、D. 1.B解 析正 三 角 形的 对 称 中 心 为， 易 得 . 以为 原 点 ， 直 线为轴 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 ， 如 图 所 示 . 则 . 设，由已知，得.又，所以， 所以.因此. 它表示圆上的点与点距离平方的， 32 4 43 4 49 4 3637 4 33237 ABCO120AOCAOBBOC， OAOBOC uuruu u ruuu r OOAx 2 01313ABC， ， ( , )P x y1PA uu r 2 2 21xyPMPC uuu ruu u r 13 , 22 xy M 13 3 , 22 xy BM uuu r 2 2 2 2 2 13

20、3 13 3 224 xy xy BM uuu r 22 (2)1xyxy，13 3， 1 4 所以.故选. 第三节直线与圆、圆与圆的位置关系 题型 110 直线与圆的位置关系 2013 年 1. (2013 陕西文 8）已知点M ab，在圆 22 :1O xy外，则直线1axby与圆O的位置关系 是（） . A. 相切B. 相交C. 相离D. 不确定 2.（2013 湖北文 14）已知圆O： 22 5xy，直线l：cossin1xy（ 0 2 ） 设圆 O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k 2014 年 1. （2014 安徽文 6）过点3,1P的直线l与圆 22 1xy有公共点，

21、则直线l的倾斜角的取 值范围是（） . A.0, 6 B.0, 3 C.0, 6 D.0, 3 2015 年 1. （2015 安徽文 8）直线34xyb与圆 22 221 0xyxy相切，则b的值是（）. A2或12B2 或12C2或12D2 或12 1. 解析记直线为l，圆的圆心为O. 由题意可得圆的标准方程为 22 111xy，则1,1O. 2 2 2 2 max 149 123 31 44 BM uuu r B -2 2 O y x P M C B A 由直线l与圆相切，可得 22 34 ,1 34 b d O l ，解得2b或12b.故选 D. 2. （2015 湖南文13）若直线3

22、450xy与圆 222 0xyrr相交于A，B两点，且 120AOB（O为坐标原点），则r_. 2. 解析如图直线3450xy与圆 222 0xyrr交于 ,A B两点，O为坐标原点， 且120AOB，则圆心0,0到直线 3450xy的距离为 1 2 r， 22 51 2 34 r ，所以2r. 3. （2015 山东文 13）过点 13P， 作圆 22 1xy的两条切线， 切点分别为AB， ，则PA PB. 3.解 析根 据 题 意 ， 作 出 图 形 ， 如 图 所 示 .由 平 面 几 何 知 识 ， 得 3PAPB.由切线长定理，得2APBOPB. 在RtOPB中， 3 tan 3 O

23、B OPB PB ，所以30OPB. 可得60APB. 所以 3 cos33cos60 2 PA PBPA PBAPB. 2016 年 1.（2016 北京文 5）圆 2 2 12xy的圆心到直线 3yx的距离为（）. A. 1B. 2C. 2D. 2 2 1. C 解析圆的圆心坐标是，半径长是.由点到直线的距离公式，可 求得圆心到直线即的距离是.故选 C. 2. （2016 全国甲文6）圆 22 28130xyxy的圆心到直线10axy的距离为1，则a ( ). A. 4 3 B. 3 4 C.3D.2 2.A 解析将圆化为标准方程得，则圆心到直线的距 2 2 12xy ( 1,0)2 (

24、1,0)3yx30xy2 22 144xy1,410axy y x O P B A 2 -2 y x B A O y x C F O A N M 离，解得.故选 A. 题型 111 直线与圆的相交关系及应用 2013 年 1. (2013 安徽文 6）直线2550xy被圆 22 240xyxy截得的弦长为（） . A. 1B. 2C. 4D. 4 6 2. (2013 浙江文 13）直线23yx被圆 22 680xyxy所截得的弦长等于_. 3(2013 福建文 20）如图，抛物线 2 :4E yx的焦点为F，准线l与x轴的交点为A，点C在抛 物线E上，以C为圆心，CO为半径作圆，设圆C与准线

25、l交于不同的两点.MN， （1）若点C的纵坐标为2，求MN； （2）若 2 AFAMAN ，求圆C的半径 . 4. (2013 四川文 20）已知圆C的方程为 22 (4)4xy，点O是坐标原点 .直线:lykx与圆C交 于MN，两点. （1）求k的取值范围； （2）设()Q mn，是线段MN上的点，且 222 211 |OQOMON .请将n表示为m的函数 . 2014 年 1.（2014 浙江文 5）已知圆 22 220xyxya截直线20xy所得弦的长度为4，则实数 a 的值是（）. A2B4C6D8 2.（2014 江苏 9）在平面直角坐标系xOy 中，直线230xy被圆 22 214

26、xy截 得的弦长为 3. （2014 重庆文 14） 已知直线0ayx与圆心为C的圆0442 22 yxyx相交于BA， 2 4 1 1 1 a d a 4 3 a 两点，且BCAC，则实数a的值为 _. 2015 年 1.（2015 全国 1 文 20）文已知过点0,1A且斜率为k的直线 l 与圆 C： 22 231xy 交于 M，N两点 . （1）求 k的取值范围； （2）若12OMON，其中 O 为坐标原点，求MN. 1. 解析（1）由l与圆交于,M N两点，所以直线的斜率必存在. 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为1ykx. 由 圆C的 方 程 ， 可 得 圆 心 为2 , 3C，

27、则,1d C l， 即 2 231 1 1 k k ， 解 得 4747 33 k. （2）设 11 ,Mx y， 22 ,N xy，则 11 ,OMx y， 22 ,ONxy， 1212 12OM ONx xy y. 把直线1ykx代入到 22 231xy中， 得 22 14470kxk x. 由根与系数的关系，得 122 7 1 x x k ， 122 44 1 k xx k . 则 2 121212122 4117 11 1 kk xxyyxxkxkkxk k ，解得1k. 所以直线l的方程为1yx. 又圆心2,3C到直线l的距离 2 231 ,0 11 d C l，即直线l过圆心C.

28、所以2MN. 2016 年 1.（2016 全国乙文 15）设直线2yxa与圆 22 :220C xyay相交于,A B两点，若 l A O x y 2 3AB，则圆 C的面积为. 1.解析由题意直线即为，圆的标准方程为， 所以圆心到直线的距离，所以， 故，所以. 2.（2016 全国丙文15）已知直线:360lxy与圆 22 12xy交于A、B两点， 过A、B 分别作l的垂线与 x轴交于C、D两点，则CD _. 2.解析由已知条件得圆的圆心到直线的距离为 ，则. 因为的斜率，所以直线与轴的 夹角，因此. 题型 112 直线与圆的相切关系及应用 2013 年 1 （ 2013 广东文 7）垂直

29、于直线1yx且与圆 22 1xy相切于第一象限的直线方程是（） A20xyB10xy C10xyD20xy 2. (2013 天津文 5）已知过点2,2P的直线与圆 22 5(1)xy相切，且与直线10axy 垂直，则a( ). A. 1 2 B. 1C.2D. 1 2 3. （2013 江苏 17）如图，在平面直角坐标系xOy中，点)3 ,0(A，直线42:xyl.设圆C的半 径为1，圆心在l上. （1）若圆心C也在直线1xy上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； （2）若圆C上存在点M，使MOMA2，求圆心C的横坐标a的取值范围 . 420xya 2 22 2xyaa 2 a d 2 2

30、22 2 a ABa 2 222 3 2 a 22 24ar 2 4Sr 4 22 12xy360xy 2 2 66 2 13 2 6 21223 2 AB AB l 3 3 ABx 6 4 cos 6 AB CD 2014 年 1.（2014 大纲文 16）直线1l和 2 l是圆 22 2xy 的两条切线，若1l与 2 l的交点为（ 1，3） ，则 1 l与 2 l 的夹角的正切值等于. 2. （2014 江苏18）如图所示，为了保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆 形保护区规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC 相切的圆且古桥两端O和A到

31、该圆上任意一点的距离均不少于80m经测量，点A位于点O 正北方向60m处， 点C位于点O正东方向170m处 （OC 为河岸）， 4 tan 3 BCO （1）求新桥BC的长； （2）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？ 2015 年 1. （2015 四川文 10） 设直线l与抛物线 2 4yx相交于 ,A B两点，与圆 C ： 2 22 50xyrr相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条， 则r的取值范围是（）. A. 1,3B. 1,4C. 2,3D. 2,4 1. 解析设直线l的方程为xtym，代入抛物线方程得 2 440ytym， 则 2 16160tm .又中点 2 2,2Mtmt ，则1 MCl kk，即 2 32mt . 代入 2 1616tm，可得 2 30t，即 2 03t. 又由圆心到直线的距离等于半径，可得 2 2 22 5 22 2 1 11 m t drt tt . 170 m 60 m 东 北 O A B M C