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1、2013 年中考真題 2013 年山西省中考试题 数学（解析） （满分 120 分考试时间120 分钟） 第 I 卷选择题（共 24 分） 一、 选择题（本大题共12 小题，每小题2 分，共 24 分。在每个小题给出的四个选项中，只有 一项符合要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1（ 2013 山西， 1，2 分）计算 2 （-3）的结果是（） A6 B -6 C -1 D5 【答案】 B 【解析】 异号相乘，得负，所以选B。 2（ 2013 山西， 2，2 分）不等式组 35 215 x x 的解集在数轴上表示为（） 【答案】 C 【解析】 解（ 1）得：2x，解（ 2）得： x3，所以解
2、集为23x，选 C。 3（ 2013 山西， 3，2 分）如图是一个长方体包装盒，则它的平面展开图是（） 【答案】 A 【解析】 长方体的四个侧面中，有两个对对面的小长方形，另两个是相对面的大长方形，B、C 中两个小的与两个大的相邻，错，D 中底面不符合，只有A 符合。 4 （2013 山西， 4，2 分）某班实行每周量化考核制，学期末对考核成绩进行统计，结果显示甲、 乙两组的平均成绩相同，方差分别是S2甲=36， S2乙=30，则两组成绩的稳定性：（） A甲组比乙组的成绩稳定B乙组比甲组的成绩稳定 C甲、乙两组的成绩一样稳定D无法确定 【答案】 B 【解析】 方差小的比较稳定，故选B。 5（
3、 2013 山西， 5，2 分）下列计算错误的是（） Ax 3+ x3=2x3 Ba 6 a3=a2 C122 3=D 1 1 3 3 【答案】 B 【解析】 a 6 a3 6 33 aa，故 B 错， A、C、D 的计算都正确。 2013 年中考真題 6（ 2013 山西， 6，2 分）解分式方程 22 3 11 x xx + += - 时，去分母后变形为（） A2+（x+2）=3（x-1）B2-x+2=3 （ x-1）C2-（x+2）=3（ 1- x）D 2-（x+2）=3（x-1） 【答案】 D 【解析】 原方程化为： 22 3 11 x xx ，去分母时，两边同乘以x 1，得： 2（
4、x2） 3（x 1），选 D。 7（ 2013 山西， 7，2 分）下表是我省11 个地市 5 月份某日最高气温（）的统计结果： 太原大同朔州忻州阳泉晋中吕梁长治晋城临汾运城 27 27 28 28 27 29 28 28 30 30 31 该日最高气温的众数和中位数分别是（） A27， 28B28， 28C27， 27D 28， 29 【答案】 B 【解析】 28 出现 4 次，最多， 所以众数为28，由小到大排列为：27,27,27,28,28,28,28,29,30,30,31， 所以，中位数为28，选 B。 8（ 2013 山西， 8，2 分）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形
5、的对称轴有（） A1 条B2 条C4 条D8 条 【答案】 C 【解析】 这是一个正八边形，对称轴有4 条。 9（2013 山西， 9，2 分）王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期 后取出得到本息和（本金+利息） 33852 元。设王先生存入的本金为x 元，则下面所列方程正确 的是（） Ax+3 4.25%x=33825 Bx+4.25%x=33825 C3 4.25%x=33825 D3(x+4.25%x)=33825 【答案】 A 【解析】 一年后产生的利息为4.25%x，三年后产生的利息为：34.25%x，再加上本金，得到 33852 元，所以， A 是正确的
6、。 10（ 2013 山西， 10，2 分）如图，某地修建高速公路，要从B 地向 C 地修一座隧道（B，C 在 同一水平面上），为了测量B，C 两地之间的距离，某工程师乘坐热气球从C 地出发，垂直上升 100m 到达A处，在A处观察B 地的俯角为30 ，则BC两地之间的距离为（） 2013 年中考真題 A1003m B502m C503m D 1003 3 m 【答案】 A 【解析】 依题得： AC 100， ABC 30， tan30 AC BC ，BC 100 1003 3 3 ，选 A。 11（ 2013 山西， 11，2 分）起重机将质量为6.5t 的货物沿竖直方向提升了2m，则起重机
7、提升 货物所做的功用科学记数法表示为（g=10N/kg ）（） A1.3 10 6J B13 10 5J C13 10 4J D1.3 10 5J 【答案】 D 【解析】 质量 m=6500kg ，G=mg=65000 ，做功为W=650,02=130000=1.3105J，选 D。 12（ 2013 山西， 1，2 分）如图，四边形ABCD 是菱形， A=60 ，AB=2 ，扇形 BEF 的半径 为 2，圆心角为60 ，则图中阴影部分的面积是（B ） A 2 3 3 2 B 2 3 3C 3 2 D 3 【答案】 B 【解析】 扇形 BEF 的面积为： S1= 604 360 = 2 3 ，
8、 菱形 ABCD 的面积为SABCD= 1 2232 3 2 ， 如右图，连结BD ，易证： BDP BCQ ，所以， BCQ 与 BAP的 面积之和为 BAD的面积为：3，因为四边形BPDQ 的面积为3， 阴影部分的面积为： 2 3 3 第卷 非选择题（共 96 分） 二、填空题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共 18 分。把答案写在题中的横线上） 13（ 2013 山西， 13，3 分）分解因式： 【答案】（） 【解析】 原式提取公因式a 即可，本题较简单。 14（ 2013 山西， 14，3 分）四川雅安发生地震后，某校九（1）班学生开展献爱心活动，积极 向灾区捐款。如图是该班同学捐
9、款的条形统计图，写出一条你从图中所获得的信息： 2013 年中考真題 【答案】该班有50 人参与了献爱心活动（只要与统计图中所提供的信息相符即可得分） 【解析】 能得到的信息较多，答案不唯一，读图可得各组的人数分别为：20、5、10、15，加起 来等于 50。 15（ 2013 山西，15， 3 分） 一组按规律排列的式子： ， 4 3 a ， 6 5 a , 8 7 a , . 则第 n 个式子是 _ 【答案】 2 21 n a n- （n 为正整数） 【解析】 已知式子可写成： 2 1 a ， 4 3 a ， 6 5 a , 8 7 a ，分母为奇数，可写成2n-1，分子中字母a 的指 数
10、为偶数 2n。 16 （2013 山西，16，3 分）如图，矩形 ABCD 在第一象限， AB 在 x 轴正半轴上， AB=3 ，BC=1 ， 直线 y= 1 2 x-1 经过点 C 交 x 轴于点 E，双曲线 k y x =经过点 D，则 k 的值为 _. 【答案】 1 【解析】 显然 C 点的纵坐标为1，将 y=1 代入，直线方程y= 1 2 x-1，得 x=4，即 OB=4， 又 AB=3 ，所以， OA=1 ，所以 D 点坐标为 (1,1)，代入双曲线方程，可得k=1。 17（ 2013 山西， 1，2 分）如图，在矩形纸片ABCD 中， AB=12 ， BC=5，点 E 在 AB 上
11、，将 DAE 沿 DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点 A 处，则 AE 的长为 _. 第 17 题 2013 年中考真題 【答案】 10 3 【解析】 由勾股定理求得：BD=13， DA=DA=BC=5 ， DAE=DAE=90 ，设 AE=x，则AE=x，BE=12 x，BA=1358， 在 RtEAB中， 222 (12)8xx，解得： x 10 3 ，即 AE 的长为 10 3 18（2013 山西， 18，3 分）如图是我省某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥 面相交于A，B 两点，桥拱最高点C 到 AB 的距离为9m，AB=36m ，D，E 为桥拱底部的两点， 且
12、 DEAB ，点 E 到直线 AB 的距离为7m，则 DE 的长为 _m. 【答案】 48 【解析】 以 C 为原点建立平面直角坐标系，如右上图，依题意，得B（18， 9）， 设抛物线方程为： 2 yax，将 B 点坐标代入， 得 a 1 36 ，所以，抛物线方程为： 2 1 36 yx， E 点纵坐标为y 16，代入抛物线方程，16 21 36 x，解得： x24，所以， DE 的长为 48m。 三、解答题（本大题共8 个小题，共78 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19（本题共2 个小题，每小题5 分，共 10 分） （1）（ 2013 山西， 19(1)，5 分）计算： 0
13、 1 2cos45 3 . 【解析】 解：原式 = 2 21 2 =1-1=0 （2）（ 2013 山西， 19(2)，5 分）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问 题。 2 262(2)6 24(2)(2)(2)(2) xxx xxxxxx - -=- +-+-+- 第一步 =2（x-2）-x-6第二步 =2x-4- x+6第三步 =x+2第四步 小明的解法从第（2 分）步开始出现错误，正确的化简结果是。（ 3 分） 【答案】二 1 2x - 2013 年中考真題 20（ 2013 山西， 20，7 分）（本题7 分）解方程：（2x-1） 2=x(3x+2)-7 【解析】
14、解：原方程可化为：4x 2-4x+1=3x2+2x-7 x2-6x+8=0 (x-3) 2=1 x-3= 1 x1=2 x2=4 21（ 2013 山西， 21，8 分）（本题8 分）如图，在ABC 中， AB=AC ， D 是 BA 延长线上的 一点，点E 是 AC 的中点。 （1）实践与操作 ：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作 法）。 作 DAC 的平分线AM 。连接BE 并延长交AM 于点 F。 【解析】 解：作图正确，并有痕迹。 连接 BE 并延长交AM 于点 F。 （2）猜想与证明 ：试猜想AF 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由。 【
15、解析】 解： AF BC 且 AF=BC 理由如下： AB=AC, ABC= C DAC= ABC+ C=2C 由作图可知：DAC=2 FAC C=FAC. AFBC. E 是 AC 的中点，AE=CE, AEF= CEB AEF CEB AF=BC. 22（ 2013 山西， 22，9 分）（本题 9 分）小勇收集了我省四张著名的旅游景点图片（大小、形 状及背面完全相同）：太原以南的壶口瀑布和平遥古城，太原以北的云岗石窟和五台山。他与爸 爸玩游戏：把这四张图片背面朝上洗匀后，随机抽取一张（不放回），再抽取一张，若抽到两个 景点都在太原以南或都在太原以北，则爸爸同意带他到这两个景点旅游，否则，
16、 只能去一个景点 旅游。请你用列表或画树状图的方法求小勇能去两个景点旅游的概率（四张图片分别用（H，P， Y，W 表示）。 2013 年中考真題 【解析】 解：列表如下： 或画树状图如下： 由列表（或画树状图）可以看出，所有可能出现的结果共有12 种，而且每种结果出现的可能性 都相同，其中抽到的两个景点都在太原以南或以北的结果共有4 种。 P（小能力能到两个景点旅游）= 4 12 = 1 3 23（ 2013 山西， 23，9 分）（本题9 分）如图， AB 为的直径，点C 在 O 上，点 P 是直径 AB 上的一点（不与A，B 重合），过点P作 AB 的垂线交BC 的延长线于点Q。 （1）在
17、线段PQ 上取一点 D，使 DQ=DC ，连接 DC，试判断CD 与 O 的位置关系，并说明理 由。 （2）若 cosB= 3 5 ，BP=6，AP=1，求 QC 的长。 解析】 解：（ 1）CD 是 O 的切线 , 理由如下：连接OC, OC=OB, B=1.又 DC=DQ, Q=2 PQAB, QPB=90 B+Q=90 1+2=90 DCO=QCB-( 1+2)=180 -90 , OCDC,OC 是 O 的半径 CD 是 O 的切线 (2)连接 AC,AB 是 O 的直径 , ACB=90. 在 RtABC 中 , 2013 年中考真題 BC=ABcosB=(AP+BP) cosB=(
18、1+6) 3 5 = 21 5 . 在 RtBPQ 中 BQ= cos BP B = 6 3 5 =10 QC=BQ-BC=10= 21 5 = 29 5 24（ 2013 山西， 24，8 分）（本题 8 分）某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案。印刷 厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要。两 种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示： （1）填空：甲种收费方式的函数关系式是. 乙种收费方式的函数关系式是. （2）该校某年级每次需印制100450（含 100 和 450）份学案，选择哪种印刷方式较合算。 【解析】 （1）
19、 y=0.1x+6 y=0.12x （2）解：由0.1x+60.12x，得 x300 由 0.1x+6=0.12x ，得 x=300 由 0.1x+60.12x，得 x300 由此可知：当100x 300 时，选择乙种方式较合算； 2013 年中考真題 当 x=300 时，选择甲乙两种方式都可以； 当 300x450时，选择甲种方式较合算。 25（ 2013 山西， 25，13 分）（本题13 分） 数学活动 求重叠部分的面积。 问题情境 ：数学活动课上，老师出示了一个问题： 如图，将两块全等的直角三角形纸片 ABC和DEF 叠放在一起，其中ACB= E=90 ， BC=DE=6 ，AC=FE
20、=8 ，顶点 D 与边 AB 的中点重合， DE 经过点 C，DF 交 AC 于点 G。 求重叠部分（ DCG）的面积。 （1）独立思考：请解答老师提出的问题。 【解析】 解： ACB=90 D 是 AB 的中点 , DC=DB=DA, B=DCB G E F C B A D 又 ABC FDE， FDE= B FDE= DCB, DGBC AGD= ACB=90 DG AC 又 DC=DA, G 是 AC 的中点 , CG= 1 2 AC= 1 2 8=4,DG= 1 2 BC= 1 2 6=3 SDCG= 1 2 CG DG= 1 2 4 3=6 （2）合作交流： “ 希望 ” 小组受此问
21、题的启发，将DEF 绕点 D 旋转， 使 DEAB 交 AC 于点 H， DF 交 AC 于点 G，如图 (2)，你能求出重叠部分(DGH) 的面积吗？请写出解答过程。 【解析】 解法一： ABC FDE, B=1 3 2 1 G H E FC B A D C=90 ,EDAB, A+B=90 , A+ 2=90 , B= 2, 1= 2 GH=GD A+ 2=90 ,1+3=90 A= 3,AG=GD ， AG=GH 点 G 是 AH 的中点， 在 RtABC 中， AB= 10 （25 题 （1） ） （25 题 （2） ） 2013 年中考真題 D 是 AB 的中点， AD= 1 2 A
22、B=5 在ADH 与 ACB 中， A = A， ADH= ACB=90 , ADH ACB, AD AC = DH CB , 5 8 = 6 DH , DH= 15 4 , S DGH 1 2 SADH 1 2 1 2 DH AD= 1 4 15 4 5= 75 16 解法二：同解法一，G 是 AH 的中点， 3 2 1 G H E FC B A D 连接 BH， DEAB ，D 是 AB 的中点， AH=BH ，设 AH=x 则 CH - 在 RtBCH 中， CH2+BC2=BH2 ，即（ 8-x） 2+36=x2，解得 x= SABH=AHBC= 1 2 25 4 6= 75 4 S=
23、 1 2 S ADH= 1 2 1 2 SABH= 1 4 75 4 = 75 16 . 3 2 1 N M G H E F C B A D 解法三：同解法一，1=2 连接 CD，由（ 1）知， B=DCB= 1， 1=2=B=DCB，DGH BDC, 作 DM AC 于点 M，CNAB 于点 N， D 是 AB 的中点， ACB=90 CD=AD=BD ，点 M 是 AC 的中点， DM= 1 2 BC= 1 2 6=3 在 RtABC 中， AB= 2222 86ACBC+=+=10， 1 2 AC BC= 1 2 AB CN， （25 题 （2） ） （25 题 （2） ） 2013 年
24、中考真題 CN 8624 105 ACBC AB 创 =. DGH BDC, 2 DGH BCDC SDM SCN , 2 DGHBCDC DM SS CN = 2 1 2 DM BDCN CN 2 312575 5 25 2416 4 DGH S （3）提出问题 ：老师要求各小组向“ 希望 ” 小组学习，将 DEF 绕点 D 旋转，再提出一个求重叠 部分面积的问题。“ 爱心 ” 小组提出的问题是：如图(3)，将 DEF 绕点 D 旋转， DE，DF 分别交 AC 于点 M，N，使 DM=MN求重叠部分 (DMN) 的面积、 任务：请解决“ 爱心 ” 小组所提出的问题，直接写出 DMN 的面积
25、是 请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图中画出图形，标明字母， 不必解答（注：也可在图（1）的基础上按顺时针方向旋转）。 N M E F C B A D N M E F C B A D 【答案】 75 16 注：此题答案不唯一，语言表达清晰、准确得1 分，画图正确得1 分，重叠部分未涂阴影不扣 分。示例：如图， 将DEF 绕点 D 旋转，使 DEBC 于点 M，DF 交 AC 于点 N，求重叠部分 （四 边形 DMCN ）的面积。 26（ 2013 山西， 26，14 分）（本题14 分）综合与探究：如图,抛物线 213 4 42 yxx=-与 x 轴交于 A,B 两点
26、 (点 B 在点 A 的右侧 )与 y 轴交于点C,连接 BC,以 BC 为一边 ,点 O 为对称中心作 菱形 BDEC, 点 P是 x 轴上的一个动点,设点 P的坐标为（ m，0），过点P 作 x 轴的垂线l 交抛物 （25 题 （3） ）（25 题 （4） ） 2013 年中考真題 线于点 Q （1）求点 A,B,C 的坐标。 （2）当点 P在线段 OB 上运动时，直线l 分别交 BD，BC 于点 M,N 。试探究 m 为何值时，四边 形 CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由。 （3）当点 P 在线段 EB 上运动时，是否存在点Q，使 BDQ 为直角三角形
27、，若存在，请直接写 出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由。 解析 ：（ 1）当 y=0 时， 2 13 40 42 xx-=，解得， 12 2,8xx=-= 点 B 在点 A 的右侧， 点 A,B 的坐标分别为：（-2，0），（ 8，0） 当 x=0 时， y=-4 点 C 的坐标为（ 0，-4）， （2）由菱形的对称性可知，点D 的坐标为（ 0，4）. 设直线 BD 的解析式为ykx b，则 4 80 b kb = ? +=? ? .解得， k= 1 2 -，b=4. 直线 BD 的解析式为 1 4 2 yx= -+. lx 轴，点M， Q 的坐标分别是（m， 1 4 2 m-+），（ m
28、， 213 4 42 mm-） 如图，当MQ=DC 时，四边形CQMD 是平行四边形 . （ 1 4 2 m-+） -( 2 13 4 42 mm-)=4-(-4) 化简得： 2 40mm-=.解得， m1=0，（舍去） m2=4. 当 m=4 时，四边形CQMD 是平行四边形. 此时，四边形CQBM 是平行四边形 . 解法一： m=4，点 P是 OB 中点 .lx 轴， ly 轴. BPM BOD. 1 2 BPBM BOBD =.BM=DM. 四边形CQMD 是平行四边形，DMCQ BMCQ.四边形CQBM 为平行四边形. 解法二：设直线BC 的解析式为y=k1x+b1，则 1 11 4 80 b kb =- ? += ? ? .解得， k1= 1 2 ，b1=-4 直线 BC 的解析式为y= 1 2 x-4 2013 年中考真題 又 lx 轴交 BC 于点 N.x=4 时， y=-2. 点 N 的坐标为（ 4，-2）由上面可知，点M,Q 的坐 标分别为：（ 4，2）， Q(4,-6). MN=2- （-2）=4，NQ=-2- （-6）=4.MN=QN. 又四边形CQMD 是平行四边形 .DB CQ， 3=4， 又 1=2， BMN CQN.BN=CN. 四边形CQBM 为平行四边形. （3）抛物线上存在两个这样的点Q，分别是Q1（-2，0）， Q2（6，-4）.