2013年江西省中考数学试题含答案.pdf

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1、2013 年中考真題 江西省 2013 年中等学校招生考试数学试卷解析 说明： 1本卷共有七个大题，24 个小题，全卷满分120 分，考试时间120 分钟。 2本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，不得在试题卷上作答，否则 不给分 。 一、选择题（本大题共6 个小题，每小题3 分，共 18 分）每小题只有一个正确选项 1 1 的倒数是（） 来源 :Zxxk.Com A1 B 1 C 1 D0 【答案】B. 【考点解剖】本题考查了实数的运算性质，要知道什么是倒数 【解题思路】根据倒数的定义，求一个数的倒数，就是用1 除以这个数，所以1 的倒数 为1( 1)1，选 B.来源 学。科。网 【

2、解答过程】1( 1)1，选 B. 【方法规律】根据定义直接计算 【关键词】实数倒数 2下列计算正确的是（） Aa 3+a2 =a 5 B(3ab) 2=9a2b2 Ca 6ba2=a3b D(ab 3)2=a2b6 【答案】D. 【考点解剖】本题考查了代数式的有关运算，涉及单项式的加法、除法、完全平方公式、 幂的运算性质中的同底数幂相除、积的乘方和幂的乘方等运算性质，正确掌握相关运算性质、 法则是解题的前提 【解题思路】根据法则直接计算 【解答过程】A. 3 a与 2 a不是同类项，不能相加（合并）， 3 a与 2 a相乘才得 5 a；B.是完 全平方公式的应用，结果应含有三项，这里结果只有两

3、项，一看便知是错的，正确为 222 (3)96abaabb；C.两个单项式相除，系数与系数相除，相同的字母相除（同 底数幂相除，底数不变，指数相减），正确的结果为 624 a baa b；D.考查幂的运算性质 （积的乘方等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，幂的乘方，底数不变， 指数相乘），正确，选D. 【方法规律】熟记法则，依法操作. 【关键词】单项式多项式幂的运算 3下列数据是2013 年 3 月 7 日 6 点公布的中国六大城市的空气污染指数情况： 城市北京合肥南京哈尔滨成都南昌 污染指数342 163 165 45 227来源 学科网 163 则这组数据的中位数和众数分别是

4、（） A164 和 163 B105 和 163 C105 和 164 D 163和 164 【答案】A. 【考点解剖】本题考查的是统计初步中的基本概念中位数、众数，要知道什么是中 位数、众数 【解题思路】根据中位数、众数的定义直接计算 2013 年中考真題 【解答过程】根据中位数的定义将一组数据从小到大或从大到小排序，处于中间（数 据个数为奇数时）的数或中间两个数的平均数（数据为偶数个时）就是这组数据的中位数； 众数是指一组数据中出现次数最多的那个数，所以342、163、165、45、227、163 的中位数 是 163 和 165 的平均数164，众数为163，选 A. 【方法规律】熟知基

5、本概念，直接计算. 【关键词】统计初步中位数众数 4如图，直线y=x+a2 与双曲线y= x 4 交于 A，B 两点，则当线段AB 的长度取最小值时， a 的值为（） A0 B1 C2 D5 【答案】C. 【考点解剖】本题以反比例函数与一次函数为背景考查了反比例函数的性质、待定系数法， 以及考生的直觉判断能力 【解题思路】反比例函数图象既是轴对称图形又是中心对称图形，只有当A、B、O 三点 共线时，才会有线段AB 的长度最小OAOBAB， （当直线 AB 的表达式中的比例系数 不为 1 时，也有同样的结论）. 【解答过程】把原点（ 0，0）代入2yxa中，得2a.选 C 【方法规律】要求 a

6、的值，必须知道x、y 的值（即一点的坐标）由图形的对称性可直观 判断出直线AB 过原点（ 0，0）时，线段AB 才最小，把原点的坐标代入解析式中即可求出 a 的值 . 【关键词】反比例函数一次函数双曲线线段最小 5 一张坐凳的形状如图所示，以箭头所指的方向为主视方向，则他的左视图可以是 （） 【答案】C. 【考点解剖】本题考查的投影与视图中的画已知物体的三视图，要正确掌握画三视图的有 关法则 【解题思路】可用排除法，B、D 两选项有迷惑性，B 是主视图， D 不是什么视图，A 少 了上面的一部分，正确答案为C. 【解答过程】略 . 2013 年中考真題 【方法规律】先要搞准观看的方向，三视图是

7、正投影与平行投影的产物，反映物体的轮廓 线，看得到的画成实线，遮挡部分画成虚线. 【关键词】三视图坐凳 6若二次涵数y=ax+bx+c(a0)的图象与x 轴有两个交点，坐标分别为(x1，0)，(x2，0)，且 x10 Bb 2 4ac0 Cx10,a0 且有 102 xxx， 则 0102 () ()axx xx的值为负；在图 2 中， a0) 的图象和矩形ABCD 的第一象限， AD 平行于 x 轴，且 AB=2，AD=4， 点 A 的坐标为 (2，6) （1）直接写出B、 C、D 三点的坐标； （2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是 哪两个点，并求矩

8、形的平移距离和反比例函数的解析式 2013 年中考真題 【答案】（1）B（2，4） ，C（6，4） ，D（6，6）. （ 2）如图，矩形ABCD 向下平移后得到矩形A B C D， 设平移距离为a，则 A（ 2， 6a） ， C（ 6，4a） 点 A，点 C在 y= x k 的图象上， 2(6a)=6(4 a)， 解得 a=3， 点 A（ 2，3） ， 反比例函数的解析式为y= 6 x 【考点解剖】本题以矩形为背景考查用待定系数法求反比例函数的解析式 【解题思路】先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D 三点的坐标，再从矩形 的平移过程发现只有A、C 两点能同时在双曲线上（这是种合情推理

9、，不必证明），把A、 C 两点坐标代入y= x k 中，得到关于a、k 的方程组从而求得k 的值 【解答过程】略. 【方法规律】把线段的长转化为点的坐标，在求k 的值的时候，由于k 的值等于点的横坐 标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6 a)=6(4a)，求出 a 后再由坐标求k，实际上也可 把 A、 C 两点坐标代入y= x k 中，得到关于a、k 的方程组从而直接求得k 的值 . 【关键词】矩形反比例函数待定系数法 20生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某 单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500ml 的矿泉水

10、，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大至可分为四种：A全部喝完；B喝 2013 年中考真題 剩约 3 1 ；C喝剩约一半； D开瓶但基本未喝同学们根据统计结果绘制如下两个统计图， 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）参加这次会议的有多少人？在图（2）中 D 所在扇形的圆心角是多少度？并补全条 形统计图；（计算结果请保留整数） （2）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议平均每人浪费的矿泉水约多少毫 升 ？ （3）据不完全统计，该单位每年约有此类会议60 次，每次会议人数约在40 至 60 人之 间，请用（ 2）中计算的结果，估计该单位一年中因此类会议浪费的矿泉水（500ml/瓶）约

11、 有多少瓶 ？（可使用科学计算器） 【答案】（1）根据所给扇形统计图可知，喝剩约 3 1 的人数是总人数的50%， 2550%=50，参加这次会议的总人数为50 人， 50 5 3 360=36， D 所在扇形圆心角的度数为36， 补全条形统计图如下； （2）根据条形统计图可得平均每人浪费矿泉水量约为： (253 3 1 3 500+103 5003 2 1 +53 500)50 = 3 27500 50183 毫升； （3） 该单位每年参加此类会议的总人数约为24000 人3600 人， 则浪费矿泉水约为3000 3 183500=1098 瓶 【考点解剖】本题考查的是统计初步知识，条形统计

12、图与扇形统计图信息互补，文字量 大，要求考生具有比较强的阅读理解能力.本题所设置的问题比较新颖，并不是象传统考试 直接叫你求平均数、中位数、众数或方差，而是换一种说法，但考查的本质仍然为求加权平 均数、以样本特性估计总体特性.显然这对考生的能力要求是非常高的 2013 年中考真題 【解题思路】（1）由扇形统计图可看出B 类占了整个圆的一半即50%（遗憾的是扇形中 没有用具体的数字（百分比）表示出来，这是一种很不严谨的命题失误），从条形统计图又 知 B 类共 25 人，这样已知部分数的百分比就可以求出总人数，而 D 类有 5 人，已知部分数 和总数可以求出D 类所占总数百分比，再由百分比确定所占

13、圆的圆心角的度数；已知总人 数和 A、B、D 类的人数可求出C 类的人数为10 人，将条形统计图中补完整；（2）用总的 浪费量 除以总人数50 就得到平均每人的浪费量；（3）每年开60 次会，每次会议将有40 至 60 人参加，这样折中取平均数算一年将有3000 人参加会议， 用 3000 乘以（ 2）中的结果 （平均每人的浪费量），得到一年总的浪费量，再转换成瓶数即可 【解答过程】略 . 【方法规律】能从实际问题中抽出数学问题，从题中抽出关键词即要弄清已知什么，要求 什么（不要被其它无关信息干扰）. 【关键词】矿泉水统计初步 六、 （本大题共2 小题，每小题9 分，共 18 分） 21如图

14、1，一辆汽车的背面，有一种特殊形状的刮雨器，忽略刮雨器的宽度可抽象为一条 折线 OAB，如图 2 所示， 量得连杆OA 长为 10cm，雨刮杆 AB 长为 48cm，OAB=120若 启动一次刮雨器，雨刮杆AB 正好扫到水平线 CD 的位置，如图3 所示 （1）求雨刮杆AB 旋转的最大角度及O、B 两点之间的距离； （结果精确到0.01） （2）求雨刮杆AB 扫过的最大面积 （结果保留 的整数倍） （参考数据：sin60 = 2 3 ， cos60= 2 1 ， tan60=3，721 26.851，可使用科学 计算器） 【答案】 解： （1）雨刮杆AB 旋转的最大角度为180 连接 OB，过

15、 O 点作 AB 的垂线交 BA 的延长线于EH， OAB=120， OAE=60 在 RtOAE 中， OAE=60， OA=10， sinOAE= OA OE = 10 OE ， OE=53， AE=5. EB=AE+AB=53， 在 RtOEB 中， OE=53， EB=53， OB= 22 BEOE=2884=272153.70； 2013 年中考真題 （2）雨刮杆AB 旋转 180得到 CD，即 OCD 与 OAB 关于点 O 中心对称， BAO OCD， SBAO=SOCD， 雨刮杆 AB 扫过的最大面积S= 2 1 (OB 2OA2) =1392. 【考点解剖】本题考查的是解直角

16、三角形的应用，以及扇形面积的求法，难点是考生缺乏 生活经验，弄不懂题意（提供的实物图也不够清晰，人为造成一定的理解困难） 【解题思路】将实际问题转化为数学问题，（1）AB 旋转的最大角度为180；在 OAB 中，已知两边及其夹角，可求出另外两角和一边，只不过它不是直角三角形，需要转化为直 角三角形来求解，由OAB=120想到作AB 边上的高，得到一个含60角的 RtOAE 和 一个非特殊角的RtOEB.在 RtOAE 中，已知 OAE=60，斜边OA=10，可求出 OE、 AE 的长，进而求得Rt OEB 中 EB 的长，再由勾股定理求出斜边OB 的长；（ 2）雨刮杆 AB 扫过的最大面积就是

17、一个半圆环的面积（以OB、OA 为半径的半圆面积之差）. 【解答过程】略 . 【方法规律】将斜三角形转化为直角三角形求解.在直角三角形中，已知两边或一边一角 都可求出其余的量. 【关键词】刮雨器三角函数解直角三角形中心对称扇形的面积 22如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2 的圆与 y 轴交于点 A，点 P（ 4， 2）是 O 外一点，连接AP，直线 PB 与 O 相切于点B，交 x 轴于点 C （ 1）证明 P A 是 O 的切线； （ 2）求点 B 的坐标； （ 3）求直线AB 的解析式 【答案】（1）证明：依题意可知，A（0，2） A（0，2） ，P（4，2） ， APx

18、轴 OAP=90，且点A 在 O 上， P A 是 O 的切线； （2）解法一：连接OP，OB，作 PEx 轴于点 E，BDx 轴于点 D， PB 切 O 于点 B， OBP=90，即 OBP=PEC， 又 OB=PE=2， OCB=PEC OBC PEC 2013 年中考真題 OC=PC （或证 RtOAP OBP，再得到OC=PC 也可） 设 OC=PC =x， 则有 OE=AP=4，CE=OEOC=4x， 在 RtPCE 中， PC 2=CE2+PE2， x2=(4x)2+22，解得 x= 2 5 ，,4 分 BC=CE =4 2 5 = 2 3 ， 2 1 OB2 BC= 2 1 OC

19、2 BD，即 2 1 3 23 2 3 = 2 1 3 2 5 3 BD， BD= 5 6 OD= 22 BDOB= 25 36 4= 5 8 ， 由点 B 在第四象限可知B（ 5 8 ， 5 6 ） ； 解法二：连接OP，OB，作 PE x 轴于点 E，BDy 轴于点 D， PB 切 O 于点 B，来源 :学_科_网 OBP=90即 OBP=PEC 又 OB=PE =2， OCB=PEC， OBC PEC OC=PC（或证 RtOAP OBP，再得到OC=PC 也可） 设 OC=PC =x， 则有 OE=AP =4，CE=OEOC=4x， 在 RtPCE 中， PC 2=CE2 PE2, x

20、2=(4x)2+22，解得 x= 2 5 ，,4 分 BC=CE=4 2 5 = 2 3 ， BDx 轴， COB=OBD， 又 OBC=BDO= 90， 2013 年中考真題 OBC BDO ， BD OB = OD CB = BO OC ， 即 BD 2 = BD 2 3 = 2 2 5 BD= 5 8 ，OD= 5 6 由点 B 在第四象限可知B（ 5 8 ， 5 6 ） ； （3）设直线AB 的解析式为y=kx+b， 由 A（0， 2） ，B（ 5 8 ， 5 6 ） ，可得 5 6 5 8 , 2 bk b ； 解得 ,2 ,2 k b 直线 AB 的解析式为y=2x+2 【考点解剖

21、】本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐 标、待定系数法求函数解析式等 【解题思路】（1） 点 A 在圆上，要证PA 是圆的切线，只要证PAOA（ OAP=90） 即可，由 A、 P 两点纵坐标相等可得APx 轴，所以有 OAP+AOC=180得 OAP=90； （2） 要求点 B 的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B 到 x轴、 y 轴的距离，自然想到 构造 RtOBD，由 PB 又是 O 的切线，得R tOAP OBP，从而得 OPC 为等腰三角 形，在 RtPCE 中, PE=OA =2, PC+CE=OE =4,列出关于CE 的方程可求出CE、OC 的长，

22、 OBC 的三边的长知道了，就可求出高BD,再求 OD 即可求得点B 的坐标； （3）已知点 A、 点 B 的坐标用待定系数法可求出直线AB 的解析式 【解答过程】略 . 【方法规律】从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手， 若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和 方法 . 【关键词】切线点的坐标待定系数法求解析式 七、 （本大题共2 小题，第23 题 10 分，第 24 题 12 分，共 22 分） 23某数学活动小组在作三角形的拓展图形，研究其性质时，经历了如下过程： 操作发现： 在等腰 ABC 中，AB=AC ，分别以 AB 和 AC 为斜边， 向 ABC 的外侧作等腰直角三 角形，如图1 所示，其中DFAB 于点 F，EGAC 于点 G，M 是 BC 的中点，连接 MD 和 ME，则下列结论正确的是（填序号即可） AF=AG= 2 1 AB； MD=ME ；整个图形是轴对称图形；DAB=DMB 数学思考： 在任意 ABC 中，分别以AB 和 AC 为斜边，向 ABC 的外侧 作等腰直角三角形，如 图 2 所示， M 是 BC 的中点，连接MD 和 ME，则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位置 关系？请给出证明过程； 类比探索：