2018年挑战中考数学压轴题.doc.pdf

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1、 第 1 页 共 75 页 第一部分函数图象中点的存在性问题 11 因动点产生的相似三角形问题 12 因动点产生的等腰三角形问题 13 因动点产生的直角三角形问题 14 因动点产生的平行四边形问题 15 因动点产生的面积问题 16 因动点产生的相切问题 17 因动点产生 的线段和差问题 第二部分图形运动中的函数关系问题 21 由比例线段产生的函数关系问题 第三部分图形运动中的计算说理问题 31 代数计算及通过代数计算进行说理问题 32 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分图形的平移、翻折与旋转 41 图形的平移42 图形的翻折43 图形的旋转44 三角形 45 四边形 46 圆 47

2、函数的图象及性质 11 因动点产生的相似三角形问题 课前导学相似三角形的判定定理有3 个，其中判定定理1 和判定定理 2 都有对 应角相等的条件， 因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一 组对应角相等 判定定理 2 是最常用的解题依据， 一般分三步： 寻找一组等角， 分两种情况 列比例方程，解方程并检验如果已知AD，探求ABC 与 DEF 相似，只 要把夹A 和D 的两边表示出来，按照对应边成比例，分 ABDE ACDF 和 ABDF ACDE 两种情况列方程 第 2 页 共 75 页 应用判定定理 1 解题，先寻找一组等角， 再分两种情况讨论另外两组对应角 相等 应用判定定理

3、 3 解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组） 还有一种情况， 讨论两个直角三角形相似， 如果一组锐角相等， 其中一个直 角三角形的锐角三角比是确定的， 那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形 的问题 求线段的长， 要用到两点间的距离公式， 而这个公式容易记错 理解记忆比 较好 如图 1，如果已知 A、B 两点的坐标，怎样求A、B 两点间的距离呢？ 我们以 AB 为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理 就可以求斜边 AB 的长了水平距离BC 的长就是 A、B 两点间的水平距离，等 于 A、B 两点的横坐标相减；竖直距离AC 就是 A、B 两点间的竖直距离，等于 A

4、、B 两点的纵坐标相减 图 1 图 1 图 2 例 1 湖南省衡阳市中考第28 题 二次函数 yax2bxc （a 0） 的图象与 x 轴交于 A(3, 0)、 B(1, 0)两点， 与 y 轴交于点 C(0,3m)（m0） ，顶点为 D （1）求该二次函数的解析式（系 数用含 m 的代数式表示）； （2）如图 1，当 m2 时，点 P 为第三象限内抛物线上的一个动点，设 第 3 页 共 75 页 APC 的面积为 S， 试求出 S 与点 P 的横坐标 x 之间的函数关系式及S 的最大值； （3）如图 2，当 m 取何值时，以 A、D、C 三点为顶点的三角形与 OBC 相似？ 动感体验请打开几

5、何画板文件名“ 14 衡阳 28” ，拖动点 P 运动，可以体验到， 当点 P 运动到 AC 的中点的正下方时，APC 的面积最大拖动 y 轴上表示实数 m 的点运动，抛物线的形状会改变，可以体验到，ACD 和 ADC 都可以成为 直角 思路点拨 1用交点式求抛物线的解析式比较简便 2连结 OP， APC 可以割补为：AOP 与 COP 的和，再减去AOC 3讨论ACD 与 OBC 相似，先确定ACD 是直角三角形，再验证两个直 角三角形是否相似 4直角三角形 ACD 存在两种情况 图文解析 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(3, 0)、B(1, 0)两点，设 ya(x3)(x1) 代入点

6、C(0,3m)，得 3m3a解得 am 所以该二次函数的解析式为ym(x3)(x1)mx 22mx 3m （2）如图 3，连结 OP当 m2 时，C(0,6)，y2x24x6，那么 P(x, 2x24x6) 由于 S AOP 1 () 2 P OAy 3 2 (2x24x6)3x 26x9， S COP 1 () 2 P OCx 3x，S AOC9，所以 SS APCS AOPS COPS AOC3x2 9x 2 327 3() 24 x 所以当 3 2 x时，S 取得最大值，最大值为 27 4 第 4 页 共 75 页 图 3 图 4 图 5 图 6 （3）如图 4，过点 D 作 y 轴的垂

7、线，垂足为E过点 A 作 x 轴的垂线交 DE 于 F 由 ym(x3)(x1)m(x1) 24m， 得 D(1,4m) 在 Rt OBC 中，OB OC13m 如果 ADC 与 OBC 相似，那么ADC 是直角三角形， 而且两条直角边的比 为 13m 如图 4，当ACD90时， OAOC ECED 所以 33 1 m m 解得 m1 此时 3 CAOC CDED ，3 OC OB 所以 CAOC CDOB 所以CDA OBC 如图 5，当ADC 90时，FA FD EDEC 所以 42 1 m m 解得 2 2 m 此时 2 2 2 DAFD DCECm ，而 3 2 3 2 OC m OB

8、 因此DCA 与 OBC 不相似 综上所述，当 m1 时， CDA OBC 考点伸展第（2）题还可以这样割补：如图 6，过点 P 作 x 轴的垂线与 AC 交 于点 H 由直线 AC：y2x6，可得 H(x,2x6)又因为 P(x, 2x 24x6)，所以 HP2x26x因为PAH 与 PCH 有公共底边 HP，高的和为 A、C 两点间 第 5 页 共 75 页 的水平距离 3，所以 SS APCS APHS CPH 3 2 (2x 26x) 2 327 3() 24 x 例 2 2014 年湖南省益阳市中考第21 题 如图 1，在直角梯形 ABCD 中，AB/ CD，ADAB， B60， A

9、B10，BC4，点 P 沿线段 AB 从点 A 向点 B 运动，设 APx2 1 c n j y（1）求 AD 的长； （2）点 P 在运动过程中， 是否存在以 A、P、D 为顶点的三角形与以P、C、 B 为顶点的三角形相似？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由；图1 （3）设ADP 与 PCB 的外接圆的面积分别为S1、S2，若 SS1S2，求 S 的 最小值 . 动感体验 请打开几何画板文件名“ 14 益阳 21” ，拖动点 P 在 AB 上运动，可以体验 到，圆心 O 的运动轨迹是线段BC 的垂直平分线上的一条线段观察S 随点 P 运动的图象，可以看到， S 有最小值，此时点 P

10、看上去象是 AB 的中点，其实离 得很近而已 思路点拨 1第（ 2）题先确定PCB 是直角三角形，再验证两个三角形是否相 似 2第（ 3）题理解PCB 的外接圆的圆心O 很关键，圆心O 在确定的 BC 的垂直平分线上，同时又在不确定的BP 的垂直平分线上而BP 与 AP 是相关 的，这样就可以以AP 为自变量，求 S 的函数关系式图文解析 （1）如图 2，作 CHAB 于 H，那么 ADCH 在 Rt BCH 中， B60，BC4， 所以 BH2， CH2 3 所以 AD2 3 第 6 页 共 75 页 （2）因为 APD 是直角三角形，如果APD 与 PCB 相似，那么PCB 一定 是直角三

11、角形如图3，当CPB90时， AP1028 所以 AP AD 8 2 3 43 3 ，而 PC PB 3此时APD 与 PCB 不相似 图 2 图 3 图 4 如图 4，当BCP90时， BP2BC8所以 AP2 所以 AP AD 2 2 3 3 3 所以APD60 此时 APD CBP 综上所述，当 x2 时，APD CBP （3）如图 5，设ADP 的外接圆的 圆心为 G，那么点 G 是斜边 DP 的中点设PCB 的外接圆的圆心为O，那么点 O 在 BC 边的垂直平分线上，设这条直线与BC 交于点 E，与 AB 交于点 F设 AP2m作 OM BP 于 M，那么 BMPM 5m在 Rt B

12、EF中，BE2， B60 ，所以BF4在 Rt OFM 中，FMBFBM 4(5m )m 1， OFM 30，所以OM 3 (1) 3 m 所以 OB 2BM2OM2 22 1 (5)(1) 3 mm在 Rt ADP 中，DP2AD 2AP2 124m 2所以 GP23m2于是 SS1S 2 (GP2OB 2) 222 1 3(5)(1) 3 mmm 2 (73285) 3 mm所以当 16 7 m时，S 取得最小 值，最小值为 113 7 第 7 页 共 75 页 图 5 图 6 考点伸展关于第（ 3）题，我们再讨论个问题 问题 1，为什么设 AP2m 呢？这是因为线段ABAPPMBM AP

13、2BM 10 这样 BM 5m，后续可以减少一些分数运算这不影响求S 的最小值 问题 2，如果圆心 O 在线段 EF的延长线上， S 关于 m 的解析式是什么？ 如图 6，圆心 O 在线段 EF的延长线上时， 不同的是 FMBM BF(5m)4 1m 此时 OB 2BM2OM2 22 1 (5)(1) 3 mm这并不影响 S 关于 m 的解析式 例 3 2015 年湖南省湘西市中考第26 题 如图 1，已知直线 yx3 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两点，抛物线 y x2bxc 经过 A、B 两点，点 P 在线段 OA 上，从 点 O 出 发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动；

14、同时，点Q 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒2个单位的速度匀速运动， 连结 PQ，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）问：当 t 为何值时，APQ 为直角三角形； （3）过点 P 作 PE/ y 轴，交 AB 于点 E，过点 Q 作 QF/ y 轴，交抛物线于点 F， 第 8 页 共 75 页 连结 EF，当 EF/ PQ 时，求点 F 的坐标； （4）设抛物线顶点为M，连结 BP、BM 、MQ ，问：是否存在 t 的值，使以 B、 Q、M 为顶点的三角形与以O、B、P 为顶点的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 动感体验 请打

15、开几何画板文件名“ 15 湘西 26” ，拖动点 P 在 OA 上运动，可以体验 到， APQ 有两个时刻可以成为直角三角形，四边形 EPQF 有一个时刻可以成为 平行四边形，MBQ 与 BOP 有一次机会相似思路点拨 1在 APQ 中，A45，夹 A 的两条边 AP、AQ 都可以用 t 表示，分两种 情况讨论直角三角形APQ2先用含 t 的式子表示点 P、Q 的坐标，进而表示 点 E、F 的坐标，根据 PEQF 列方程就好了 3 MBQ 与 BOP 都是直角三 角形，根据直角边对应成比例分两种情况讨论图文解析（1）由 yx3， 得 A(3, 0)，B(0, 3) 将 A(3, 0) 、 B(

16、0, 3)分别代入 yx2bxc， 得 9 30 , 3. bc c 解得 2, 3. b c 所以抛物线的解析式为yx22x3 （2）在APQ 中，PAQ45， AP3t，AQ2t分两种情况讨论直角 三角形 APQ： 当PQA90时， AP2AQ解方程 3t2t，得 t1（如图 2） 当QPA90时， AQ2AP解方程2t2(3t)，得 t1.5（如 图 3） 第 9 页 共 75 页 图 2 图 3 图 4 图 5 （3）如图 4，因为 PE/ QF，当 EF/ PQ 时，四边形 EPQF 是平行四边形 所以 EPFQ所以 yEyPyFyQ因为 xPt，xQ3t，所以 yE3t， yQt，

17、yF(3t)22(3t)3t 24t因为 y EyPyFyQ，解方程 3 t(t 24t)t，得 t1，或 t3（舍去） 所以点 F 的坐标为 (2, 3) （4）由 yx22x3(x1)24，得 M (1, 4) 由A(3, 0) 、B(0, 3) ，可知 A、B两点间的水平距离、竖直距离相等，AB32 由B(0, 3) 、M(1, 4) ，可知 B、M 两点间的水平距离、竖直距离相等，BM 2 所以MBQ BOP90 因此 MBQ 与 BOP相似存在两种可能： 当 BMOB BQOP 时， 23 3 22tt 解得 9 4 t（如图 5） 当 BMOP BQOB 时， 2 33 22 t

18、t 整理，得 t 23t30此方程无实根 考点伸展第 （3）题也可以用坐标平移的方法：由 P(t, 0)，E(t, 3t)，Q(3 t, t)， 按照 PE方向，将点 Q 向上平移，得 F(3t, 3)再将 F(3t, 3)代入 yx 2 2x3，得 t1，或 t3 12 因动点产生的等腰三角形问题 课前导学我们先回顾两个画图问题： 第 10 页 共 75 页 1已知线段 AB5 厘米，以线段 AB 为腰的等腰三角形ABC 有多少个？顶点 C 的轨迹是什么？ 2已知线段 AB6 厘米，以线段AB 为底边的等腰三角形 ABC 有多少个？顶点C 的轨迹是什么？已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，圆 上

19、除了两个点以外，都是顶点C 已知底边画等腰三角形，顶角的顶点在底边的垂直平分线上，垂足要除外 在讨论等腰三角形的存在性问题时，一般都要先分类 如果 ABC 是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC， CACB 三种情况 解等腰三角形的存在性问题， 有几何法和代数法， 把几何法和代数法相结合， 可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算哪些题目适合 用几何法呢？ 如果 ABC 的 A（的余弦值）是确定的，夹 A 的两边 AB 和 AC 可以用含 x 的式子表示出来，那么就用几何法如图1，如果 ABAC，直接列方程； 如图 2，如果 BABC，那么 1 cos 2 ACABA；如图 3

20、，如果 CACB，那 么 1 cos 2 ABACA 代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验 如果三角形的三个角都是不确定的， 而三个顶点的坐标可以用含x 的式子表 示出来，那么根据两点间的距离公式，三边长（的平方）就可以罗列出来 第 11 页 共 75 页 图 1 图 2 图 3 图 1 例 9 2014 年长沙市中考第 26 题 如图 1，抛物线 yax 2bx c（a、b、c 是常数， a 0）的对称轴为 y 轴， 且经过 (0,0)和 1 (,) 16 a两点，点 P 在该抛物线上运动，以点P 为圆心的 P 总经 过定点 A(0, 2) （1）求 a、b、c 的值；

21、（2）求证：在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交； （3）设 P 与 x 轴相交于 M (x1, 0)、N(x2, 0)两点，当AMN 为等腰三角形时， 求圆心 P 的纵坐标 动感体验请打开几何画板文件名“14 长沙 26” ，拖动圆心 P 在抛物线上运动， 可以体验到，圆与x 轴总是相交的，等腰三角形AMN 存在五种情况 思路点拨 1不算不知道，一算真奇妙，原来P 在 x 轴上截得的弦长 MN 4 是定值 2等腰三角形 AMN 存在五种情况， 点 P 的纵坐标有三个值， 根据对称性， MA MN 和 NA NM 时，点 P 的纵坐标是相等的 图文解析（ 1）已知抛物线的顶点为 (0,0)，所以 yax2所以 b0，c0 将 1 (,) 16 a代入 yax 2，得 21 16 a解得 1 4 a（舍去了负值） （2）抛物线的解析式为 21 4 yx，设点 P 的坐标为 21 ( ,) 4 xx 已知 A(0, 2)，所以 2224 11 (2)4 416 PAxxx 2 1 4 x 而圆心 P 到 x 轴的距离为 2 1 4 x，所以半径 PA圆心 P 到 x 轴的距离 所以在点 P 运动的过程中， P 始终与 x 轴相交