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1、1 盐城市 2016 届高三上学期期中考试 数学试卷 (总分 160 分，考试时间120 分钟 ) 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分.不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上. 1若集合(,Am，22Bxx，且BA，则实数m的取值范围 是. 2命题 “(0,) 2 x，sin1x” 的否定是命题 .（填 “ 真” 或“ 假” ） 3. 设点(,2)P m是角终边上一点，若 2 cos 2 ，则m. 4函数( ) x f xex的单调递增区间为. 5若函数( )cosf xxx的零点在区间(1, )kk（kZ）内，则k= . 6设函数 2 ( )lg(1)f
2、xxmx是奇函数，则实数m的值为. 7已知直线 3 x过函数( )sin(2)f xx（其中 22 ）图象上的一个最高点， 则 5 () 6 f的值为. 8在锐角ABC中，2AB，3BC，ABC的面积为 3 3 2 ，则AC的长为. 9设向量(5cos ,4sin)OA，(2,0)OB，则|AB的取值范围是. 10如图，在平行四边形ABCD中，6AB，4AD， 点P是DC边的中点，则PA PB的值为. 11若函数 2 ( )ln(2)f xxaxax在 1 2 x处取得极 大值，则正数a的取值范围是. 12设 n S是等比数列 n a的前n项和， 396 ,S S S成等差数列，且 25 2
3、m aaa， 则m. 2 13 已知数列 n a的前n项和 1 ( 1) n n S n ， 若存在正整数n， 使得 1 () ()0 nn apap 成立，则实数p的取值范围是. 14. 设函数 2 ( ) | xa f xee，若( )f x在区间( 1,3)a内的图象上存在两点，在这两点处 的切线相互垂直，则实数a的取值范围是. 二、解答题：本大题共6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内. 15. (本小题满分14 分) 已知函数 2 ( )3sincoscosf xxxx. （1）求( )f x的最小正周期； （2）若(
4、)1f x，求 2 cos(2 ) 3 x 的值 . 16 (本小题满分14 分 ) 设集合 2 |230Ax xx，集合| 1Bxxa. （1）若3a，求AB； （2）设命题:p xA，命题:q xB，若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的 取值范围 . 3 17. (本小题满分14 分) 在ABC中，, ,a b c分别为角,A B C的对边，已知 4 A，3a. （1）若 3 sin 5 B，求边c的长； （2）若|6CACB，求CA CB的值 . 18 (本小题满分16 分 ) 如图，河的两岸分别有生活小区ABC和DEF，其中ABBC，EFDF， DFAB，,C E F三点共线，FD
5、与BA的延长线交于点O，测得3ABkm， 4BCkm， 9 4 DFkm，3FEkm， 3 2 ECkm. 若以,OAOD所在直线分别为 , x y轴建立平面直角坐标系xOy，则河岸DE可看成是曲线 xb y xa （其中,a b为常 数）的一部分，河岸AC可看成是直线ykxm（其中, k m为常数）的一部分. （1）求, , ,a b k m的值； （2）现准备建一座桥MN，其中,M N分别在,DEAC上，且MNAC，设点M 的横坐标为t. 请写出桥MN的长l关于t的函数关系式( )lf t，并注明定义域； 当t为何值时，l取得最小值？最小值是多少？ 4 19. (本小题满分16 分) 已知
6、函数( )lnf xx. （1）求函数( )f x的图象在1x处的切线方程； （2）若函数( ) k yf x x 在 2 1 ,) e 上有两个不同的零点，求实数k的取值范围； （3）是否存在实数k，使得对任意的 1 (,) 2 x，都有函数( ) k yfx x 的图象在 ( ) x e g x x 的图象的下方？若存在，请求出最大整数k的值；若不存在， 请说理由 . （参考数据：ln 20.6931， 1 2 1.6487e）. 20. (本小题满分16 分) 设各项均为正数的数列 n a满足 n n S pnr a （,p r为常数）， 其中 n S为数列 n a的 前n项和 . （1
7、）若1p，0r，求证： n a是等差数列； （2）若 1 3 p， 1 2a，求数列 na 的通项公式； （3）若 20151 2015aa，求p r的值 . 5 参考答案 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，计 70 分. 1. 2,)2. 假3. 24. (0,)5. 1 6. 1 7. 1 8. 79. 4,610. 7 11. (0,2)12. 8 13. 3 ( 1,) 2 14. 1 1 (,) 2 2 二、解答题：本大题共6 小题，计90 分 15解：（1） 因为 31cos2 ( )sin2 22 x f xx2 分 3cos211 sin2sin(2) 22262
8、x xx，6 分 所以( )f x的最小正周期为 2 2 T. 8 分 （2）因为( )1f x，所以 1 sin(2)1 62 x，即 1 sin(2) 62 x， 10分 所以 21 cos2cos(2)sin(2) 32662 xxx. 14分 16解：（1）解不等式 2 230xx，得31x，即3,1A， 2 分 当3a时，由31x，解得42x，即集合4, 2B， 4 分 所以4,1AB；6 分 （2）因为p是q成立的必要不充分条件，所以集合B是集合A的真子集 . 8 分 又集合3,1A，(1,1)Baa，10 分 所以 13 11 a a 或 13 11 a a ，12 分 解得02
9、a，即实数a的取值范围是02a. .14 分 17解：（1）在ABC中，因为 32 sinsin 52 BA，所以 4 BA， 6 所以 4 cos 5 B，.2 分 所以 2 42 37 2 sinsin() 252510 CAB，.4 分 由正弦定理 sinsin ac AC ，得 3 27 2 210 c ，所以 7 3 5 c. .6 分 （2）因6CACB，得 2 32 3 cos6bbC，.8 分 由余弦定理，有 22 32 3 cosbbCc， ，得2cb，.10 分 再由余弦定理，有 22 23bcbc，解得3,6bc， .12 分 所以 222 abc，即 2 C，所以0CA
10、 CB. 14分 18解：（1）将 7 (0,),(3,4) 4 DE两点坐标代入到 xb y xa 中，得 7 4 3 4 3 b a b a ，2 分 解得 4 7 a b . 3 分 再将 39 (,0),(,4) 22 AC两点坐标代入到ykxm中，得 3 0 2 9 4 2 km km ，5 分 解得 4 3 2 k b . 6 分 （2）由（ 1）知直线AC的方程为 4 2 3 yx，即4360xy. 7分 设 点M的 坐 标 分 别 为 7 ( ,) 4 t M t t ， 则 利 用 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ， 得 22 7 | 436 | 19 4 |49 | 5
11、4 43 t t t lt t ，9 分 7 又由点,D E向直线AC作垂线时，垂足都在线段AC上，所以03t， 所以 19 ( )| 49 | 54 lf tt t ，03t. 10 分 方法一：令 9 ( )49,03 4 g ttt t ，因为 2 (25)(211) ( ) (4) tt g t t ， 所以由( )0g t，解得 5 2 t或 11 2 t（舍），12分 所以当 5 (0,) 2 t时，( )0g t，( )g t单调递增；当 5 (,3) 2 t时，( )0g t，( )g t单 调递减 . 从而当 5 2 t时，( )g t取得最大值为 5 ()5 2 g，14分
12、 即当 5 2 t时，l取得最小值，最小值为1km. 16分 方法二：因为03t，所以144t， 则 999 494(4)774(4) 444 ttt ttt 12分 9 72 4(4)72 65 4 t t ， 当且仅当 9 4(4) 4 t t ，即 5 2 t 时取等号，14分 即当 5 2 t时，l取得最小值，最小值为1km. 16分 方法三：因为点M在直线AC的上方，所以 9 490 4 t t ， 所以 19 ( )(49) 54 lf tt t ，03t， 12 分 以下用导数法或基本不等式求其最小值（此略，类似给分）. 16 分 方法四：平移直线AC至 11 AC，使得 11
13、AC与曲线DE相切， 则切点即为l取得最小值时的M点. 12 分 由 7 4 x y x ，得 2 3 (4) y x ， 则由 2 34 (4)3 k t ，且03t，解得 5 2 t，14 分 故当 5 2 t时，l取得最小值，最小值为1km. 16分 8 19. 解： （1）因为 1 ( )fx x ，所以(1)1f，则所求切线的斜率为1，2 分 又(1)ln10f，故所求切线的方程为yx. 4 分 （2）因为( )ln kk f xx xx ， 则由题意知方程ln0 k x x 在 2 1 , e 上有两个不同的根. 由ln0 k x x ，得lnkxx，6 分 令( )lng xxx
14、，则( )ln1g xx，由( )0g x，解得 1 x e . 当 2 1 1 ,x ee 时，( )0g x，( )g x单调递减；当 1 ,x e 时，( )0g x，( )g x 单调递增， 所以当 1 x e 时，( )g x取得最小值为 11 ( )g ee . 8 分 又 22 12 ()g ee ， (1)0g （图象如右图所示） ， 所以 2 12 k ee ，解得 2 21 k ee . 10分 （3）假设存在实数k满足题意， 则不等式ln x ke x xx 对 1 (,) 2 x恒成立 . 即ln x kexx对 1 (,) 2 x 恒成立 . 令( )ln x h x
15、exx，则( )ln1 x h xex，12分 令( )ln1 x r xex，则 1 ( ) x rxe x ， 因为( )r x在 1 (,) 2 上单调递增， 1 2 1 ()20 2 re，(1)10re， 且( )r x的图象在 1 (,1) 2 上不间断， 所以存在 0 1 (,1) 2 x，使得 0 ()0rx， 即 0 0 1 0 x e x ，则 00 lnxx， 所以当 0 1 (,) 2 xx时，( )r x单调递减； 9 当 0 (,)xx时，( )r x单调递增， 则( )r x取到最小值 0 000 0 1 ()ln11 x r xexx x 0 0 1 21 10
16、x x ， 14 分 所以( )0h x，即( )h x在区间 1 (,) 2 内单调递增 . 所以 11 22 1111 ( )lnln 21.99525 2222 khee， 所以存在实数k满足题意，且最大整数k的值为1. 16分 20解：（1）证明：由1p，0r，得 nn Sna，所以 11 (1)(2) nn Snan， 两式相减，得 1 0(2) nn aan，所以 n a是等差数列 . 4分 （2）令1n，得1pr，所以 2 3 r，5分 则 12 () 33 nn Sna，所以 11 11 ()(2) 33 nn Snan，两式相减， 得 1 1 (2) 1 n n an n a
17、n ，7 分 所以 324 1231 3 4 51 1 2 31 n n aaaan aaaan ，化简得 1 (1) (2) 1 2 n an n n a ， 所以 2 (2) n ann n，9分 又 1 2a适合 2 (2) n ann n，所以 2 n ann. 10分 （3）由（ 2）知1rp，所以(1) nn Spnp a，得 11 (1 2 )(2) nn Spnp an， 两式相减，得 1 (1)(12 )(2) nn p napnp an， 易知0p，所以 1 (2) 12(1) nn aa n pnpp n . 12分 当 1 2 p 时，得 1 (2) 1 nnaa n nn ，所以 201520141 201520141 aaa ， 满足 20151 2015aa；14分 当 1 2 p时，由 1 (1)(12 )(2) nn p napnp an，又0 n a， 所以 1 (1)(2) nn p napnan，即 1 (2) 1 nn aa n nn ， 10 所以 20151 20151 a a ，不满足 20151 2015aa； 当 1 2 p且0p时，类似可以证明 20151 2015aa也不成立； 综上所述， 1 2 p， 1 2 r，所以 1 4 pr. 16分