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1、1 广州市荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题 本试卷分选择题和非选择题两部分，共三大题 24 小题，共 4 页，满分 150 分考 试时间 120 分钟 注意事项： 1答卷前，请务必在答卷上端正填写自己的姓名及所在学校 2 用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题指定区域内的相应位置上， 不能答在试卷上不按以上要求作答的答案无效 第 I 卷（选择题，共44 分） 一、选择题（本大题共11 小题，每小题4 分，满分 44 分， 请将唯一正确的答案代号填 在答题卷上 ） 1、 a是负实数，下列判断正确的是（* ）. （A）aa（B）a a 2 （C） 23 aa（D） 2 0a 2、已
2、知集合 2 | 22,|230,MxxNx xx则集合MN（*）. （A）2|xx（B）3|xx（C）|23xx（D）|13xx 3、 已知函数)2( x fy的定义域是 1,1 ， 则函数)(log2 x fy的定义域是 (*). (A) (0 ，)(B) (0 ，1) (C) 1 ，2 (D) 2 ，4 4、函数224)( 1xx xf的值域是（*）. （A）), 1 （B）),2(（C）),3(D),4 5、如果 1 x 、 2 x 是两个不相等的实数， 且满足12003 1 2 1 xx，12003 2 2 2 xx， 那么 12 xx = （ * ）. （A）2003 （B）2003
3、（C）1（D）1 6、已知0abc，930abc, 则二次函数 2 yaxbxc 的图象的顶点可能在（ * ）. (A) 第一或第四象限 (B)第三或第四象限 (C) 第一或第二象限 (D)第二或第三象限 2 7、如图 1，O 中，弦 ADBC，DADC，BCO15， 则AOC 等于（ * ）. （A）120（B）130（C）140（D）150 8 、 已 知 a 、b是 不 全 为 零 的 实 数 ， 则 关 于 x 的 方 程 222 ()0xab xab的根的情况为（* ）. （A）有两个负根（B）有两个正根 （C）有两个异号的实根（D）无实根 9、用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所
4、示的规律，拼成若干个图案： 则第（ *）个图案中有白色地面砖38块. (A)8 (B)9 (C)10 (D)11 10、甲、乙、丙三位同学进行立定跳远比赛, 每人轮流跳一次称为一轮, 每轮按 名次从高到低分别得3 分、2 分、1 分( 没有并列名次 ), 他们一共进行了五 轮比赛 , 结果甲共得 14 分；乙第一轮得3 分, 第二轮得 1 分, 且总分最低 . 那么丙得到的分数是（ * ） (A)8 分 (B)9分 (C)10分 (D)11分 11、一个围棋盘由1818 个边长为 1 的正方形小方格组成，一块边长为1.5 的正方形卡片放在棋盘上，被这块卡片覆盖了一部分或全部的小方格共有 n 个
5、，则 n 的最大值是（ * ） ( A)4 (B)6 (C)10 (D)12 第 II 卷（非选择题，共106分） 二、填空题（ 本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 12、在实数范围内把多项式 2 2x yxyy 分解因式所得的结果是 _*_ 13、已知函数)2 4 (log)( 3 x xf，则方程4)( 1 xf的解x_*_ O CB A D 图 1 3 14、设 x、y、z满足关系式x1 2 1y 3 2z ， 则 x 2y2z2 的最小值为 * . 15、不等边三角形 ABC的两条高的长度分别为4 和 12， 若第三条 高也为整数，那么它的长度最大可能是_*_ 16、已
6、知：如图 2，正方形 ABCD 的边长为 8，M在 CD上， 且 DM=2 ， N是 AC上的一个动点，则 DN+MN 的最小值为 * 三、解答题 （共 7 小题，满分 86分.解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 17、 （本题满分 9 分） 已知 1, 1 1, 1 )( x x xf，求不等式3)1()1(xxfx的解集 . 18、 （本题满分 9 分） 求圆0644 22 yxyx截直线 x- y- 50 所得的弦长？ 19、 （本题满分 10 分） . 等差数列 n a 中，公差为 d， 84 4 a ，前 n 项和为 n S ，且 10 S 0， 11 S 0， 求 d 的
7、取值范围 . 20、 （本题满分 10 分） 如图 3，在 ABC 中，以 BC 为直径的 O 交 AB 于 D，交 AC 于 E，BD=CE，求证： AB=AC （要求：用多种方法证明.详写其中一种证明， 其余证明则略写 .用三种方法证明结论成立的满分） 4 21、 （本通满分 10 分） 已知：不论 k 取什么实数，关于x 的方程 1 63 2bkxakx （a、b 是常数）的根总是x1， 试求 a、b 的值 . 22（本题满分 10分） 已知 m 为整数，且 12m40，试求 m 为何值时，关于未知数x 的方程 08144) 32(2 22 mmxmx 有两个整数根 23 （本题满分 1
8、4 分） 已知抛物线 yx 2mxm2. （1）若抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧，并且AB5 ， 试求 m的值； （2）设 C 为抛物线与 y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、 N，并且 MNC 的面积等于 27，试求 m 的值. 24. （本题满分 14 分） 如图 4 直线 3 3 3 xy 分别与 x 轴、y 轴交于点 A、B，E经过原点 O 及 A、B两点 （1）C是E上一点，连结 BC交 OA于点 D，若COD CBO ，求点 A、B、 C的坐标； （2）求经过 O 、C、A三点的抛物线的解析式： （3）若延长 BC到 P，使 DP 2，连结 AP
9、 ，试判断直线 PA与E的位置关系， 并说明理由 图 4 5 2006年广州市荔湾区初中数学青年教师解题比赛试题评分标准 第 I 卷（选择题，共44分） 二、选择题 第 II 卷（非选择题，共106分） 二、填空题（ 本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 三、解答题 17、解： 当0x时(1)1f x则不等式变为 (1)3,1xxx解得 当0x时(1)1f x则不等式变为(1)3,xxx解得 为任意实数 不等式3)1()1(xxfx的解集是1| xx 18、解： 解法 1：先求交点坐标，设A 1122 (,),(,)xyB xy 0644 22 yxyx x- y- 50 弦长
10、AB= 22 1212 ()()336xxyy 解法 2：把 x=y+5 代入0644 22 yxyx中得 2 210110yy 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案D C D B A A C D B B D 题号12 13 14 15 1 6 答案 (12)(12)y xx 1 59 14 5 10 1 1 153 2 153 2 x y 2 2 53 2 53 2 x y 6 所以 222 121212 11 ()()4( 5)43 2 yyyyy y 同理得 22 121212 ()()43xxxxx x 弦长 AB= 22 1212 ()()336xxyy 解法 3
11、：由0644 22 yxyx得圆心（ 2，-2）半径2 圆心到直线的距离 22 225 12 2 2 11 d 根据勾股定理弦长AB= 2226 2 (2)()26 22 19、解：由 0 2 1011 11 0 2 910 10 843 1 1 1 da da da 解之得56d42 20、解： 7 21、解：把 x1 代入原方程并整理得（ b4）k72a 要使等式（ b4）k72a不论 k 取什么实数均成立， 只有 027 04 a b 解之得 2 7 a，4b 22、解： 08144)32(2 22 mmxmx 2 2 =2(23)-4414884mmmm（）= 2(23)84 =(23
12、)21 2 mm xmm= 又 12m40 所以 521m9， 方程有两个整数根必须使21m为整数 且 m 为整数，所以21=7m得 m=24 23、解: (1)（x1，0）,B(x2，0) . 则 x1，x2是方程 x 2mxm20 的两 根. x1 x2m , x1 x2 =m2 0 即 m2 ; 又 ABx1 x2 1212 45xxx x 2 （+ ）, m24m3=0 . 解得： m=1 或 m=3(舍去) , m 的值为 1 . （2）M(a，b)，则 N(a，b) . M、N 是抛物线上的两点 , 2 2 2, 2. amamb amamb 得： 2a22m40 . a2m2 .
13、 当 m2 时，才存在满足条件中的两点M、N. N M C x y O 8 2am . 这时 M、N 到 y 轴的距离均为2m , 又点 C 坐标为（ 0，2m）,而 SM N C = 27 , 2 1 2 （2m）2m =27 . 解得 m=7 . 24、解： （1）连结 EC交 x 轴于点 N（如图） A、B是直线3 3 3 xy分别与 x 轴、y 轴的交点 A（3，0） ，B)3,0( 又COD CBO CBO ABC C 是的中点 ECOA 2 3 2 , 2 3 2 1OB ENOAON 连结OE 3OEEC 2 3 ENECNC C点的坐标为 （ 2 3 , 2 3 ） （2）设经过 O 、C、A三点的抛物线的解析式为3xaxy C（ 2 3 , 2 3 ） )3 2 3 ( 2 3 2 3 a3 9 2 a 22 32 3 93 yxx为所求 （3） 3 3 tanBAO， BAO 30， ABO 60 由（1）知OBD ABD 3060 2 1 2 1 ABOOBD ODOB tan30 =1 DA2 9 ADC BDO 60，PD AD 2 ADP 是等边三角形 DAP 60 BAP BAO DAP 306090即PA AB 即直线 PA是 E的切线