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1、1 专题：三角函数与解三角形 第二讲三角恒等变换与解三角形 必记公式：（自学整理） 1. 同角三角函数之间的关系（平方关系、商数关系）；2. 诱导公式 （奇变偶不变，符号看象限）； 3. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（辅助角公式）；4. 二倍角的正弦、余弦、正切公式；5. 降幂公式 （两个）； 6. 正弦定理及变形； 7.余弦定理及推论； 8.三角形面积公式。 失分警示： 1. 同角关系应用错误：利用同角三角函数的平方关系开方时，忽略判断角所在的象限或判断出错，导致三角函数符号错误。 2. 诱导公式的应用错误：利用诱导公式时，三角函数名变换出错或三角函数值的符号出错。 3. 忽视解的多种情
2、况：如已知a,b 和 A，应先用正弦定理求B，由 A+B+C= ，求 C，再由正弦定理或余弦定理求边c，但解 可能有多种情况。 4. 忽略角的范围：应用正、余弦定理求解边、角等量的最值（范围）时，要注意角的范围。 5. 忽视解的实际意义：求解实际问题，要注意解得的结果要与实际相吻合。 热点考向： 考点一：三角恒等变换 题型一：求角 例 1. 已知 24 0 , 7 34 )2sin(, 14 11 )2cos( ，则 =_ 题型二：求值 例 2. 已知) 2 , 3 (, 4 1 3 cos) 6 cos(.求2sin的值；求 tan 1 tan的值 . 考点二：正、余弦定理 题型一：应用正、
3、余弦定理求边、角 例 3. 已知cba,分别为ABC的内角CBA,的对边，且0sin3coscbCaCa 求 A；若2a，求ABC面积的最大值 . 题型二：判断三角形的形状 例 4. 设ABC的内角CBA,所对的边分别为cba,，若AaBcCbsincoscos，则ABC的形状为（） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 题型三：求有关三角形的面积 例 5. 在ABC中，内角CBA,所对的边分别为cba,，已知BBAABAcossin3cossin3coscos 22 ,3,cba求角 C的大小；若 5 4 sin A , 求ABC的面积 . 针对训练 1. ABC的内角
4、 A，B，C所对的边分别为a，b， c，已知向量m(cosA ，3sinA) ，n(2cosA ， 2cosA) ， mn 1. (1) 若 a23，c2，求 ABC的面积； (2) 求 b2c acos（ 3 C） 的值 针对训练 2. 在 ABC中， B 3 ，点 D在边 AB上， BD 1，且 DA DC. (1) 若 BCD的面积为3，求 CD ； (2) 若 AC 3，求 DCA. 考点三：正、余弦定理的实际应用 例 6、如图，某公园有三条观光大道ACBCAB,围成直角三角形，其中直角边mBC200，斜边mAB400现有甲、 乙、丙三位小朋友分别在ACBCAB,大道上嬉戏，所在位置分
5、别记为点FED, （1）若甲乙都以每分钟m100的速度从点B出发在各自的大道上奔走，到大道的另一端时即停，乙比甲迟2分钟出发，当 乙出发1分钟后，求此时甲乙两人之间的距离； （2）设CEF，乙丙之间的距离是甲乙之间距离的2倍，且 3 DEF，请将甲乙之间的距离y表示为的函数， 并求甲乙之间的最小距离 高考随堂演练： 1、 0 240sin= 。 2、在ABC中，已知sin:sin: sin3: 5: 7ABC，则此三角形的最大内角的大小为 3.ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，若 4 cos 5 A ， 5 cos 13 C ，1a，则b 2 4、已知 1 cos() 33
6、 () 2 0，则sin() 5. 若 3 tan 4 ，则 2 cos2sin 2（） (A) 64 25 (B) 48 25 (C) 1 (D) 16 25 6、在ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且sin 2sinbCcB （1）求角C；（ 2）若 3 sin() 35 B，求sin A的值 . 7、如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角，其终边与单位圆交于点A以OA为始边作锐角， 其终边与单位圆交于点B，AB= 2 5 5 （1）求 cos的值；（ 2）若点A的横坐标为 5 13 ，求点B的坐标 8已知 f(x)2cos x 2( 3sin x 2cos
7、 x 2) 1， xR. (1) 求 f(x)的最小正周期；(2) 设， (0， 2 ) ，f( ) 2，f( ) 8 5，求 f( ) 的值 9、已知函数( )2sin() cos 3 f xxx （1）若0 2 x ，求函数( )f x的值域； （2）设ABC 的三个内角,A B C 所对的边分别为, ,a b c ，若A为锐角且 3 ( ) 2 f A，2b，3c，求cos()AB的值 10设 ABC的内角 A ， B，C的对边分别是a，b，c，且 (a 2b2c2)sinA ab(sinC 2sinB) ，a1. (1) 求角 A的大小； (2) 求 ABC的周长的取值范围 11. 已
8、知函数f(x)(3sin xcosx) cosx 1 2( 其中 0)，若 f(x) 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为 4 . (1) 求 yf(x)的单调递增区间；(2) 在 ABC中，角 A ，B，C的对边分别是a，b，c，满足 (2b a)cosC ccosA，且 f(B) 恰是 f(x)的最大值，试判断ABC的形状 12. 已知 f(x) cosx( sinx cosx) cos 2( 2 x) 1( 0)的最大值为3. (1) 求函数 f(x)的对称轴； (2) 在 ABC中，内角A，B， C的对边分别为a，b，c，且 cosA cosB a 2cb，若不等式 f(B)m 恒成 立，求实数m的取值范围