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1、1 上海市 2019 届秋季高考数学考试卷（教师解析版）2019.06.10 一、填空题（本大题共12 题， 1-6 题每题 4 分， 7-12 题每题 5 分，共 54 分） 1、已知集合,32,AB、，则BA_.【解】 根据交集概念，得出： )3,2( . 2、已知Cz且满足 i z 5 1 ，求z_.【解】i z 5 1 ， i ii i i z 26 1 26 5 )5)(5( 5 5 1 . 3、已知向量)2, 0, 1(a，)0, 1 ,2(b，则a与b的夹角为 _.【解】 5 2 55 2 cos ba ba . 4、已知二项式 5 21x，则展开式中含 2 x 项的系数为 _.
2、 【解】 rrrrrr r xCxCT 55 5 5 51 21)2(令25r，则3r， 2 x 系数为4022 3 5 C. 6、已知 x、y 满足 0 0 2 x y xy ，求23zxy的最小值为 _. 【解】 线性规划作图：后求出边界点代入求最值， 当0x，2y时，6 min z. 6、已知函数fx周期为1，且当01x， 2 logfxx，则) 2 3 (f_. 【解】1 2 1 log) 2 1 () 2 3 ( 2 ff. 7、若xyR、，且 1 23y x ，则 y x 的最大值为 _. 【解】法一：y x y x 2 1 22 1 3， 8 9 22 3 2 x y ； 法二：
3、 由y x 23 1 ，yyyy x y 32)23( 2 （ 2 3 0y），求二次最值 8 9 max x y . 8、已知数列 n a前 n 项和为 n S，且满足2 nn Sa，则 5 S_. 【解】 由 )2(2 2 11 naS aS nn nn 得： 1 2 1 nn aa（2n） n a为等比数列，且1 1 a， 2 1 q， 16 31 2 1 1 ) 2 1 (11 5 5 S. 9、过 2 4yx的焦点F并垂直于x轴的直线分别与 2 4yx交于AB、，A在B上方，M为抛物 线上一点，OMOA2 OB，则_. 【解】 依题意求得：)2, 1(A，)2, 1(B，设 M 坐标
4、),(yxM 有：)4, 22()2, 1()2()2, 1(),(yx，代入xy4 2 有： )22(416 即：3. 10、某三位数密码锁，每位数字在90数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是_. 【解】法一： 100 27 10 3 1 9 2 3 1 10 CCC P（分子含义：选相同数字选位置选第三个数字） 法二： 100 27 10 1 3 3 10 1 10 PC P（分子含义：三位数字都相同+三位数字都不同） 11、已知数列 n a满足 1nn aa（ Nn）， , nn P n a在双曲线1 26 22 yx 上，则 1 lim nn n P P _. 【解】法一：由1 2
5、8 22 n an 得：)1 6 (2 2 n an，) 1 6 (2,( 2 n nPn， ) 1 6 )1( (2, 1( 2 1 n nPn，利用两点间距离公式求解极限。 1 lim nn n P P3 3 2 法二（极限法）： 当 n 时， n P 1n P 与渐近线平行，1nnP P 在 x 轴投影为1，渐近线倾斜角满 2 足： 3 3 tan，所以 3 32 6 cos 1 1nnP P . 12、已知 2 1,0 1 fxaxa x ，若 0 aa，fx与 x轴交点为 A， fx为曲线 L， 在L上任意一点 P，总存在一点 Q（ P异于A）使得 APAQ且APAQ， 则 0 a_
6、.【解】 2 0 a ，数形结合，详细过程见压轴题视频. 二、选择题（本大题共4 题，每题5 分，共 20 分） 13、已知直线方程 02cyx的一个方向向量 d 可以是（） A. )1, 2( B. )1 , 2( C. )2, 1( D. )2, 1( 【解】 依题意：) 1,2(为直线的一个法向量，方向向量为)2, 1(，选 D. 14、一个直角三角形的两条直角边长分别为1 和 2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两 个圆锥的体积之比为（） A.1 B. 2 C. 4 D. 8 【解】 依题意： 3 4 12 3 12 1 V， 3 2 21 3 12 2 V，选 B. 15、已知
7、R，函数 2 6sinfxxx，存在常数Ra，使得fxa为偶函数， 则 可能的值为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【解】法一（推荐）：依次代入选项的值，检验fxa的奇偶性，选C； 法二：)(sin)6()( 2 axaxaxf，若 )(axf为偶函数，则6a，且)6(sinxw也为 偶函数（偶函数偶函数=偶函数），k 2 6，当1k时， 4 ，选 C. 16、已知)tan(tantan. 存在在第一象限，角在第三象限； 存在在第二象限，角在第四象限； A. 均正确；B. 均错误；C. 对，错；D. 错，对； 【解】（推荐）取特殊值检验法：例如：令 3 1 tan和 3 1 tan
8、，求tan看是否存在 . (考试中，若有解时则认为存在，取多组解时发现没有解，则可认为不存在)，选 D. 三、解答题（本大题共5 题，共 76 分） 17、 （本题满分14 分）如图，在长方体 1111 ABCDA B C D中，M为 1 BB上一点，已知 2BM， 4AD，3CD， 1 5AA. （1）求直线 1 AC与平面ABCD的夹角；（2）求点 A到平面 1 A MC 的距离 . 【解】 （1） 依题意：ABCDAA面 1 ， 连接 AC， 则CA1与平面 ABCD 所成夹角为CAA 1 ； 5 1A A，543 22 AC，CAA1 为等腰直角， 4 1CA A； 直线 1 AC与平
9、面ABCD的夹角为 4 . （2）法一（空间向量）：如图建立坐标系：则： )0,0,0(A ， )0,4, 3(C ， )5,0,0( 1 A ， )2,0,3(M )0,4,3(AC，)5,4,3( 1C A，)2, 4, 0(MC求平面 MCA1的法向量),(zyxn： 024 0543 1 zyMCn zyxCAn ，得：)2, 1, 2(n A 到平面 MCA1的距离为： 3 10 212 1423 222 n nAC d 法二（等体积法） ： 利用AMACMCAAVV 11 求解，求MCAS 1 时，需要求出三边长 （不是特殊三角形）， 利用CabSsin 2 1 求解 . 3 18
10、、 （本题满分14 分）已知 1 1 fxax x )(Ra. （1）当1a时，求不等式11fxfx的解集； （2）若 1,2x 时， fx 有零点，求a的范围 . 【解】 （1） 当1a时， 1 1 )( x xxf； 代入原不等式： 2 1 11 1 1 x x x x； 即： 2 1 1 1 xx 移项通分：0 )2)(1( 1 xx ，得：12x； （2）依题意：0 1 1 )( x axxf在 2, 1x上有解 参编分离： ) 1( 1 xx a，即求 ) 1( 1 )( xx xg在2, 1x值域， ) 1(xx在 2, 1x单调递增， 6,2) 1(xx； 2 1 , 6 1 )
11、 1( 1 xx ，故： 2 1 , 6 1 a. 19、（本题满分14 分） 如图，ABC为海岸线，AB为线段，BC为四分之一圆弧，39.2BDkm， 22BDC，68CBD，58BDA. （1）求BC长度；（2）若40ABkm，求D到海岸线ABC的最短距离 .（精确到0.001km） 【解】 （1）依题意： 22sinBDBC，弧 BC 所在圆的半径 4 sinBCR 弧 BC 长度为：310.1622sin2.39141.3 4 2 2 2 22 BCRkm （2）根据正弦定理： 58sinsin AB A BD ，求得：831.058sin 40 2.39 sin A，2.56A 8.
12、65582.56180ABD752.35sinABDBDDHkmCD= 36.346km D 到海岸线最短距离为35.752km. 20、（本题满分16 分） 已知椭圆 22 1 84 xy ， 12 ,FF为左、右焦点，直线l过 2 F交椭圆于A、B 两点 . （1）若 AB 垂直于x轴时，求AB； （2）当 1 90F AB时，A在x轴上方时，求,A B的坐标； （3）若直线 1 AF交y轴于 M，直线 1 BF交y轴于 N，是否存在直线l，使 MNFABF SS 11 ，若存在， 求出直线l的方程；若不存在，请说明理由. 【解】 （ 1）依题意：)0, 2( 2 F，当 ABx 轴，则坐
13、标)2, 2(A，)2, 2(B，22AB （2）法一（秒杀）：焦点三角形面积公式：4 4 tan4 2 tan 2 21 bS AFF ； 又：42 21 cFF，422 2 1 21 AAAFF yycS ，即2 A y所以 A 在短轴端点，即)2, 0(A 直线 AF l （即AB l ）方程为： 2xy ，联立： 1 48 2 22 yx xy ，得) 3 2 , 3 8 (B . 法二（常规）：依题意：设坐标),( 11 yxA， 2 21AF F（注意：用点 2 F更方便计算） 则有： 2 1 2 1111121 4),2(), 2(yxyxyxAFAF又 A 在椭圆上，满足：1
14、48 2 1 2 1 yx ， 即：) 8 1(4 2 12 1 x y0) 8 1(44 2 12 121 x xAFAF，解出：0 1 x，)2, 0(A B 点坐标求解方法同法一，) 3 2 , 3 8 (B. （3）设坐标),( 11 yxA，),( 22 yxB，), 0( 3 yM，),0( 4 yN，直线l：2myx（k 不存在时不满足 题意）则： 212121 2 2 1 1 yyyyFFS ABF ； 43431 2 1 1 yyyyOFS MNF ； 联立方程： 1 48 2 22 yx myx ，044)2( 22 myym，韦达定理： 2 4 2 4 2 21 2 21
15、 m yy m m yy 4 由直线 1 AF方程：)2( 2 1 1 x x y y得 M 纵坐标： 2 2 1 1 3 x y y； 由直线 1 BF方程：)2( 2 2 2 x x y y得 N 纵坐标： 2 2 2 2 4 x y y； 若 MNFABF SS 11 ，即43212yyyy 21 21 21 2 2 1 1 2 2 1 1 43 2 )4)(4( )(8 4 2 4 2 2 2 2 2 yy mymy yy my y my y x y x y yy 4)4)(4( 21 mymy，416)(4 2121 2 yymyym，代入韦达定理： 得：416 2 4 4 2 4 22 2 m m m m m ，解出：3m 存在直线023yx或023yx满足题意 . 21、 （本题满分18 分） 数列 n a有100项， 1 aa，对任意2,100n，存在,1,1 ni aad in，若 k a与前n项 中某一项相等，则称 k a具有性质 P. （1）若 1 1a，求 4 a可能的值； （2）若 n a不为等差数列，求证： n a中存在满足性质P； （3）若 n a中恰有三项具有性质P，这三项和为C，使用,a d c表示 12100 aaa. 【解】 （1） 4 a可能的值为3,5,7；（ 2）取逆否命题证明、略；（3）cda465697