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1、二次函数培优训练（3） 一解答题（共9 小题） 1已知抛物线经过A（ 2，0） ， B（0，2） ，C（，0）三点，一动点P 从原点出发以1 个单位 /秒的速度沿x 轴正方向运动，连接BP，过点 A 作直线 BP 的垂线交 y 轴于点 Q设 点 P 的运动时间为t 秒 （1）求抛物线的解析式； （2）当 BQ=AP 时，求 t 的值； （3）随着点P 的运动，抛物线上是否存在一点M，使 MPQ 为等边三角形？若存在，请 直接写 t 的值及相应点M 的坐标；若不存在，请说明理由 2如图，在平面直角坐标系中，已知点C（0，4） ，点 A、B 在 x 轴上，并且 OA=OC=4OB ， 动点 P 在
2、过 A，B，C 三点的抛物线上 （1）求抛物线的函数表达式； （2）是否存在点P，使得 ACP 是以 AC 为底边的等腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标； 若不存在，说明理由； （3）点 Q 为线段 AC 上一点，若四边形OCPQ 为平行四边形，求点Q 的坐标 3抛物线y=a（ x+1） （x3）交 x 轴于 A、B 两点，交y 轴于 C， ABC=45 （1）求 a值； （2）点 M 为抛物线上第一象限内一点，连接AM ，当 CAM=45 时，求 M 的坐标；（3）在（ 2）的条件下， P为抛物线上第一象限内一点，PRAM 交 AC 、BC 于 R、 Q，当 PQ=时，求 P 点坐标 4如
3、图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，二次函数y=x 2+c 的图象抛物线交 x 轴于点 A，B（点 A 在点 B 的左侧），与 y 轴交于点C（0， 3） （1）求 ABC 的度数；（2）若点 D 是第四象限内抛物线上一点，ADC 的面积为， 求点 D 的坐标；（3）若将 OBC 绕平面内某一点顺时针旋转60 得到 O B C，点 O ，B 均落在此抛物线上，求此时O的坐标 5在平面直角坐标系xOy 中，定义直线y=ax+b 为抛物线 y=ax 2+bx 的特征直线， C（a，b） 为其特征点设抛物线y=ax 2+bx 与其特征直线交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧） （1）当点
4、A 的坐标为 （0，0） ，点 B 的坐标为 （1，3）时，特征点 C 的坐标为； （2）若抛物线y=ax 2+bx 如图所示，请在所给图中标出点 A、点 B 的位置； 6如图，菱形ABCD 的边长为6 且 DAB=60 ，以点 A 为原点、边AB 所在的直线为x 轴 且顶点 D 在第一象限建立平面直角坐标系动点P从点 D 出发沿折线DCB 向终点 B 以 2 单位 /每秒的速度运动， 同时动点Q 从点 A 出发沿 x 轴负半轴以1 单位 /秒的速度运动， 当点 P到达终点时停止运动，运动时间为t，直线 PQ 交边 AD 于点 E （1）求出经过A、D、C 三点的抛物线解析式； （2）是否存在
5、时刻t 使得 PQDB ，若存在请求出t 值，若不存在，请说明理由； （3）设 AE 长为 y，试求 y 与 t 之间的函数关系式； （4）若 F、G 为 DC 边上两点，且点DF=FG=1 ，试在对角线DB 上找一点 M、抛物线 ADC 对称轴上找一点N，使得四边形FMNG 周长最小并求出周长最小值 7如图 1，抛物线y=ax 2+bx+3 （a 0）与 x 轴、 y 轴分别交于点 A（ 1，0） 、B（3，0） 、 点 C 三点 （1）试求抛物线的解析式； （2）点 D（ 2，m）在第一象限的抛物线上，连接BC 、BD 试问，在对称轴左侧的抛物线 上是否存在一点P，满足 PBC=DBC？如
6、果存在，请求出点P 点的坐标；如果不存在， 请说明理由； （3）如图 2，在（ 2）的条件下，将BOC 沿 x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度向右 平移， 记平移后的三角形为B O C 在平移过程中， BOC与 BCD 重叠的面积记为S， 设平移的时间为t 秒，试求S 与 t 之间的函数关系式？ 8如图，已知直线y=2x+2 与 x 轴交于点C，与 y 轴交于点 B，抛物线y=ax 22ax+c 过点 C 且与直线y=2x+2 交于点 A（5， 12） （1）求该抛物线的解析式； （2）D 为 x 轴上方抛物线上一点，若DCO 与DBO 的面积相等，求D 点的坐标； （3）在线段AB 上是
7、否存在点P，过 P作 x 轴的垂线交抛物线于E 点，使得以P、B、E 为 顶点的三角形与 BOC 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 9 （ 2013?黄冈模拟）如图，已知抛物线对称轴为直线x=4，且与 x 轴交于 A、 B 两点（ A 在 B 左侧） ，B 点坐标为（ 6，0） ，过点 B 的直线与抛物线交于点C（3，） （1）写出点A 坐标； （2）求抛物线解析式； （3）在抛物线的BC 段上，是否存在一点P，使得四边形ABPC 的面积最大？若存在，求 出这个最大值及此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由； （4）若点 M 在线段 AB 上以每秒1 个单位长度的速度从A
8、向 B 运动，同时，点N 在射线 BC 上以每秒2 个单位长度的速度从B 向 C 运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也随 之停止运动设运动时间为t 秒，当 t 为何值， MNB 为等腰三角形，写出计算过程 参考答案与试题解析 参考答案与试题解析 【解答】 解： （1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c ， 抛物线经过A（ 2，0） ， B（ 0，2） ， C（，0）三点， ，解得， y=x2x+2 （2） AQPB，BOAP， AOQ= BOP=90 ， PAQ=PBO， AO=BO=2 ， AOQ BOP， OQ=OP=t 如图 1，当 t 2 时，点 Q 在点 B 下方，此时BQ
9、=2 t，AP=2+t BQ=AP， 2t=（2+t） ， t= 如图 2，当 t2 时，点 Q 在点 B 上方，此时BQ=t 2，AP=2+t BQ=AP，t 2= （ 2+t） ，t=6综上所述， t= 或 6 时， BQ=AP （3） 当 t=1 时， 抛物线上存在点M （1， 1） ； 当 t=3+3 时，抛物线上存在点M（ 3，3） 分析如下： AQ BP， QAO+ BPO=90 ， QAO+ AQO=90 ， AQO= BPO在 AOQ 和 BOP 中， ， AOQ BOP， OP=OQ， OPQ 为等腰直角三角形， MPQ 为等边三角形， 则 M 点必在 PQ 的垂直平分线上，
10、 直线 y=x 垂直平分PQ， M 在 y=x 上，设 M（x，y） ， ， 解得或， M 点可能 为（ 1，1）或（ 3， 3） 如图 3，当 M 的坐标为（ 1，1）时， 作 MD x 轴于 D， 则有 PD=|1t|， MP 2=1+|1t|2=t22t+2， PQ 2=2t2， MPQ 为等边三角形， MP=PQ ， t2+2t2=0， t=1+，t=1（负值舍去） 如图 4，当 M 的坐标为（ 3， 3） 时，作 MEx 轴于 E， 则有 PE=3+t， ME=3 ， MP 2=32+（3+t）2=t2+6t+18，PQ2=2t2， MPQ 为等边三角形， MP=PQ ， t 26t
11、18=0， t=3+3，t=33（负值舍去） 综上所述，当t= 1+时，抛物线上存在点M（1，1） ，或当 t=3+3时，抛物线上存在 点 M（ 3， 3） ，使得 MPQ 为等边三角形 2 【解答】 解： （1） C （0，4） ， OC=4 OA=OC=4OB ， OA=4 ，OB=1， A （4， 0） ，B （ 1，0） ，设抛物线解析式：y=a（ x+1） （x4） ， 4=4a， a=1 y=x 2+3x+4 （2）存在若 ACP 是以 AC 为底的等腰三角形，则点P 在 AC 的垂直平分线上， OA=OC ， AC 的垂直平分线OP 即为 AOC 的平分线，设P（m， m2+3m
12、+4） ，则可 得： m=m2+3m+4， m1= +1，m2=1 存在点 P1（+1，+1） ，P2（1，1） ，使得 ACP 是以 AC 为底边的等腰三 角形 （3）设 lAC：y=kx+b （k 0） ，过 A （4，0） ，C （0，4） ， lAC：y=x+4 四边形 OCPQ 为平行四边形，PQOC，PQ=OC，设 P（t， t2+3t+4） ，Q（t， t+4） ， t 2+3t+4（ t+4）=4 t 1=t2=2，点 Q（2，2） 3 【解答】 解（ 1）抛物线y=a（ x+1） （x3） ，令 y=0， x=1，或 x=3， A（ 1，0） ，B（3，0） ， ABC=45
13、 ， BOC=90 ， OB=OC=3 ， C（0，3） ，将点 C（0， 3）代入二次函数解析式得：a=1 （2）设 AM 交 y 轴于点 D，作 DEAC 交 AC 于点 E，如下图： OA=1 ，OC=3， AC=， 设 DE=x， CAM=45 ， AE=DE=x ， CE=10x， DEC= AOC， ECD= OCA ， AOC DEC， =，即：=， 解得： x=， CD=， OD=3 =， D（0，） ， 设直线 AM 解析式为y=kx+b ， （k 0） ，将点 D（0，） 、A（ 1，0）代入得： ，解得： k=， b=，直线AM 解析式为y=x+ 联立：解得： x=1，或
14、 x=， 将 x=代入抛物线解析式得：y=， M（，） 所以 M 点横坐标为M（，） （3） PRAM ，直线 AM 解析式为 y=x+，设直线PR：y=x+b， 联立：解得： x=，y=， Q（，） ， 联立：，解得： x=， 点 P 在第一象限，x=y= P（，） ， PQ=，点 P 在第一象限， b=，代入点P， P（，） 所以 P 点横坐标为P（，） 4 【解答】 解： （1）由题意与y 轴交于点C（0， 3） ，得解析式为y=x 23， 令 y=0，x=， B（，0） ，A（，0） ， OA=，OC=3，AC=2， OCA=30 ， ABC=60 ； （2）由（ 1）得： OA=，O
15、C=3， SOAC= 3=，过原点与AC 平行的直线y= ， 直线与抛物线的交点即为点D，联立：， 解得 x1= ，x2=（舍去）， D （，） （3）设点 O（m，m23） ，顺时针旋转60 ，则点 B （m+，m2） ， （ m+）23=m 2 ， m=， O （，） 5解答】 解： （1） A（0，0） ，B（1.3） ，代入：直线y=ax+b， 解得： a=3，b=0，直线y=3x，抛物线解析式：y=3x 2， C（3， 0） 故答案为： （3，0） ； （2）联立直线y=ax+b 与抛物线y=ax 2+bx，得： ax2+（ba）xb=0， （ ax+b） （ x1）=0，解得： x
16、=，x=1， A（1，a+b） ，B（，0） 点 A、点 B 的 位置如图所示； 6 【解答】 解： （1）DAB 中， DAB=60 ，DA=AB=6 则： D 到 y 轴的距离 =AB=3 、D 到 x 轴的距离 =DA ?sinDAB=3； D（3， 3） ； 由于 DC x 轴，且 DC=AB=6 ，那么将点D 右移 6 个单位后可得点C，即 C（9，3） ； 设抛物线的解析式为：y=ax 2+bx，有： ，解得抛物线解析式为：y=x2+ x （2）如图 1，连接 AC 知 AC BD ，若 PQDB，则 PQAC ，那么 P 在 BC 上时不存在符 合要求的t 值，当 P 在 DC
17、上时， 由于 PCAQ 且 PQAC ，所以四边形PCAQ 是平行四边 形， 则 PC=AQ，有 62t=t，得 t=2 （3） 如图 1，当点 P在 DC 上，即 0t 3 时，有 EDP EAQ， 则=，那么 AE=AD=2 ，即 y=2； 如图 2， 当点 P 在 CB 上，即 3t 6 时，有 QEA QPB， 则=，即=， 得 y=，综上所述：y=； （4）如图 3，作点 F 关于直线 DB 的对称点F ，由菱形对称性知F 在 DA 上，用 DF=DF=1 ； 作点 G 关于抛物线ADC 对称轴的对称点G， 易求 DG=4，连接 F G 交 DB 于点 M、交对称轴于点N，点 M、
18、N 即为所求的两点 过 F 作 FHDG 于 H，在 RtFHD 中， FDH=180 ADC=60 ， F D=1； 则： FH=F D?sin60 =， HD=F D?cos60 =，HG=HD+DG = 用勾股定理计算得F G =，所以四边形FMNG 周长最小为F G +FG=+1 7 【解答】 解： （1）将 A（ 1，0） 、B（3，0）代入抛物线y=ax 2+bx+3（a 0） ， ，解得： a=1，b=2故抛物线解析式为：y=x 2+2x+3 （2）存在将点D 代入抛物线解析式得：m=3， D（2，3） ，令 x=0，y=3， C（0，3） ， OC=OB ， OCB= CBO=
19、45 ，如下图，设BP 交 y 轴于点 G， CDx 轴， DCB= BCO=45 ，在 CDB 和 CGB 中： CDB CGB（ASA ） ， CG=CD=2 ， OG=1，点 G（0，1） ，设直线BP：y=kx+1 ， 代入点 B（3，0） ， k=，直线BP：y=x+1，联立直线BP 和二次函数解析式： ，解得：或（舍）， P（，） （3）直线 BC：y=x+3，直线 BD：y=3x+9，当 0 t 2 时，如下图： 设直线 C B ：y=（ xt）+3 联立直线BD 求得 F（，） ， S=SBCDSCC ESC DF = 2 3 t t （ 2t） （3） 整理得： S=t2+3
20、t （ 0 t 2） 当 2 t 3 时， 如下图： H（t， 3t+9） ，I（t， t+3） S=SHIB=（ 3t+9）（ t+3） （3t） 整理得： S=t26t+9（2t 3） 综上所述： S= 8 【解答】 解： （1）由直线 y=2x+2 知：点 C（ 1，0） 、B（0，2） ； 抛物线 y=ax22ax+c 过点 C（ 1，0） 、A（5，12） ，有： ，解得抛物线的解析式：y=x 22x3 （2）由（ 1）知： OB=2、OC=1；由题意知： SDBO=SDCO，则： BO |xD|= CO |yD|，即： |yD|=2|xD|可以设点D 的坐标为：（x， 2x）或（
21、x， 2x） （x 1 或 x 3） ，代入抛物线的解析式中，有： 当点 D 坐标为（ x，2x）时，有： x22x 3=2x；解得： x1=2 （舍） ， x2=2+； 当点 D 坐标为（ x， 2x）时，有： x 22x3=2x；解得： x 3=（舍） ，x4=； 点 D 的坐标为：（2+，4+2）或（，2） 9 【解答】 解： （1） B 点坐标为（ 6，0） ，抛物线对称轴为直线x=4， 4 26=2，点 A 的坐标为（ 2，0） ； （2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c， A（ 2，0） ， B（ 6，0） ， C（3， ） ， ，解得，抛物线解析式为y=x2+6x 9； （3
22、）存在理由如下： 如图，设存在点P（x，x 2+6x9） ，使得四边形 ABPC 的面积最大， 过点 C 作 CEAB 于点 E，过点 P 作 PF x 轴于点 F，A（2，0） ，B（6，0） ，C（3，） ， S四边形ABPC=SACE+S 梯形CEFP+SBPF = （32） +（x 2+6x9） （x3） + （6x） （x 2+6x9） =+（x3）+（x 2+6x9） （x3）+ （6x） （x 2+6x 9） =（x 29x+14） =（x） 2+ ，36， 当 x=时，四边形ABPC 的面积有最大值，最大值为， 此时，x2+6x 9= （） 2+6 9= ，点 P 的坐标为（，） ； （4） A（2，0） ，B（6，0） ， AB=6 2=4， B（6，0） ，C（3，） ， BC= BN=MN 时，如图，过点N 作 ND BM 于点 D，则 BD=MD=（ 4t） ， cosABC=，解得 t=， BN=BM 时，如图， BM=4 t， BN=2t ，所以， 4t=2t，解得 t=， BM=MN 时，如图，过点M 作 MH BN 于点 H， 则 BH=BN= 2t=t，BM=4 t，cosABC=，解得 t=， 综上所述，当t 为或或秒时， MNB 为等腰三角形