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1、数学 高考专题复习 三角函数专题 模块一 选择题 一、选择题：(将正确答案的代号填在题后的括号内) 1(2010 天津 )下图是函数yAsin(x )(xR)在区间 6， 5 6 上的图象，为了得到这个函数的图 象，只要将ysinx(xR)的图象上所有的点() A向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2，纵坐标不变 B向左平移 3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 C向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的 1 2，纵坐标不变 D向左平移 6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变 解析： 观察图象可
2、知，函数yAsin(x )中 A1， 2 ，故 2， 6 0，得 3， 所以函数ysin 2x 3 ，故只要把ysinx 的图象向左平移 3个单位，再把各点的横坐标缩短到原来的 1 2即 可 答案： A 2(2010 全国 )为了得到函数ysin 2x 3 的图象，只需把函数ysin 2x 6 的图象 () A向左平移 4个长度单位 B向右平移 4个长度单位 C向左平移 2个长度单位 D向右平移 2个长度单位 解析： 由 ysin 2x 6 xx ysin 2(x ) 6 sin 2x 3 ，即 2x2 62x 3，解得 4， 数学 即向右平移 4个长度单位故选 B. 答案： B 3(2010
3、 重庆 )已知函数ysin(x ) 0，| |0)和 g(x)2cos(2x )1 的图象的对称轴完全相同若 x 0， 2 ，则 f(x)的取值范围是 _ 解析：f(x)与 g(x)的图象的对称轴完全相同，f(x)与 g(x)的最小正周期相等， 0， 2，f(x) 3sin 2x 6 ，0x 2， 6 2x 6 5 6 ， 1 2sin 2x 6 1， 3 23sin 2x 6 3，即f(x) 的取值范围为 3 2，3 . 答案： 3 2，3 8设函数 ycos1 2 x 的图象位于 y 轴右侧所有的对称中心从左依次为A1，A2， An， .则 A50的坐 标是 _ 解析： 对称中心横坐标为x
4、 2k1，k0 且 kN，令 k49 即可得 答案： (99,0) 9把函数ycos x 3 的图象向左平移m 个单位 (m0)，所得图象关于y 轴对称，则m 的最小值是 _ 解析： 由 ycos(x 3m)的图象关于 y 轴对称，所以 3mk ，kZ，mk 3，当 k1 时， m 最 小为 2 3. 答案： 2 3 10定义集合A， B 的积 AB( x，y)|xA，yB已知集合M x|0x2，N y|cosxy 1 ， 则 MN 所对应的图形的面积为_ 解析： 如图所示阴影面积可分割补形为ABCD 的面积即BC CD22. 数学 答案： 2 模块三解答题 三、解答题：(写出证明过程或推演步
5、骤) 11若方程3sinxcosxa 在0,2 上有两个不同的实数解x1、x2，求 a 的取值范围，并求 x1x2的 值 分析： 设函数 y13sinx cosx，y2a，在同一平面直角坐标系中作出这两个函数的图象，应用数形 结合解答即可 解： 设 f(x)3sinxcosx2sin x 6 ，x0,2 令 x 6t，则 f(t)2sint，且 t 6， 13 6 .在同一平面直角坐标系中作出y2sint 及 ya 的图象，从 图中可以看出当1a 2 和 2 a1 时，两图象有两个交点，即方程3sinx cosxa 在0,2 上有两个 不同的实数解 当 1a2 时， t1t2 ， 即 x1 6
6、x2 6 ， x1x2 2 3 ； 当 2a1 时， t1t2 3 ， 即 x1 6x2 63 ， x1x2 8 3 . 综上可得， a 的取值范围是 (1,2)(2,1) 当 a(1,2)时， x1 x2 2 3 ； 当 a(2,1)时， x1x2 8 3 . 数学 评析： 本题从方程的角度考查了三角函数的图象和对称性，运用的主要思想方法有：函数与方程的思 想、 数形结合的思想及换元法解答本题常见的错误是在换元时忽略新变量t的取值范围， 仍把 t当成在 0,2 中处理，从而出错 12(2010 山东 )已知函数f(x) 1 2sin2xsin cos 2xcos 1 2sin 2 (0 )
7、，其图象过点 6， 1 2 . (1)求 的值； (2)将函数 yf(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2，纵坐标不变，得到函数 y g(x)的图象，求函 数 g(x)在 0， 4 上的最大值和最小值 解： (1)因为 f(x) 1 2sin2xsin cos 2xcos 1 2sin 2(0 ) ， 所以 f(x) 1 2sin2xsin 1cos2x 2 cos 1 2cos 1 2sin2xsin 1 2cos2xcos 1 2(sin2xsin cos2xcos ) 1 2cos(2x )， 又函数图象过点 6， 1 2 ， 所以 1 2 1 2cos 2 6，即 cos 3
8、1， 又 0 ，所以 3. (2)由(1)知 f(x)1 2cos 2x 3 ，将函数y f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 2，纵坐标不变，得 到函数 yg(x)的图象，可知g(x)f(2x) 1 2cos 4x 3 ， 因为 x 0， 4 ，所以 4x 0， 因此 4x 3 3， 2 3 ，故 1 2cos 4x 3 1. 所以 yg(x)在 0， 4 上的最大值和最小值分别为 1 2和 1 4. 13. （ 2009 天津卷理）在ABC中， BC=5，AC=3，sinC=2sinA 数学 (I) 求 AB的值： (II) 求 sin2 4 A的值 本小题主要考查正弦定理、余弦定
9、理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等 基础知识，考查基本运算能力。满分12 分。 （）解：在ABC中，根据正弦定理， A BC C AB sinsin ，于是 AB= 522 sin sin BCBC A C （）解：在ABC中，根据余弦定理，得cosA= 5 52 2 222 ACAB BDACAB 于是 sinA= 5 5 cos1 2 A，从而 sin2A=2sinAcosA= 5 4 ,cos2A=cos 2A-sin2A= 5 3 所以 sin(2A- 4 )=sin2Acos 4 -cos2Asin 4 = 10 2 14. （ 2009 广东地区高三模拟
10、）在ABC中，角 A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知 a+b=5，c =7，且 . 2 7 2cos 2 sin4 2 C BA (1) 求角C的大小； （2）求ABC的面积 . (1) 解：A+B+C=180 由 2 7 2cos 2 cos4 2 7 2cos 2 sin4 22 C C C BA 得 1 分 2 7 ) 1cos2( 2 cos1 4 2 C C 3 分 整理，得01cos4cos4 2 CC 4 分 解 得： 2 1 cosC 5 分 1800C C=606 分 （2）解：由余弦定理得：c 2 =a 2+b22abcosC，即 7=a2+b2ab 7 分 abba
11、3)(7 2 8 分 由条件 a+b=5 得 7=25 3ab 9 分 ab=6 10 分 数学 2 33 2 3 6 2 1 sin 2 1 CabS ABC 12 分 15.( 山东省济南市2008 年 2 月高三统考 ) 设向量(cos(),sin()a，且 4 3 (,) 5 5 ab （1）求tan； （2）求 2 2cos3sin1 2 2sin() 4 解： （ 1）ab 4 3 (2coscos ,2sinsin)(,) 5 5 43 2coscos,2sinsin 55 3 tan 4 （ 2） 2 2cos3sin1 cos3sin13tan5 2 cossin1tan7
12、2sin() 4 16. （广东地区2008 年 01 月份期末试题）已知：函数m x xxf 2 sin2)sin(3)( 2 的周期为3， 且当,0x时，函数)(xf的最小值为0 （ 1）求函数)(xf的表达式； （ 2）在 ABC中，若.sin),cos(cossin2, 1)( 2 的值求且ACABBCf 解： （ 1）mxmxxxf1) 6 sin(21)cos()sin(3)(3 分 依题意函数)(xf的周期为3，4 分 即m x xf1) 63 2 sin(2)(, 3 2 ,3 2 5 分 1) 63 2 sin( 2 1 6 5 63 2 6 ,0 xx x )(xf的最小值
13、为m,0m6 分 即1) 63 2 sin(2)( x xf7 分 （ 2）1) 63 2 sin(11) 63 2 sin(2)( CC Cf 数学 而 C(0 ，), C= 2 9 分 在 Rt ABC中，)cos(cossin2, 2 2 CABBBA 2 51 sin0sinsincos2 2 AAAA解得11 分 . 2 15 sin, 1sin0AA12 分 17. （广东 2008 年 01 月份期末试题）已知向量(1sin 2 , sincos )axxx，(1, sincos )bxx，函数 ( )f xa b （）求( )f x的最大值及相应的x 的值； （）若 8 ( )
14、 5 f，求 cos22 4 的值 解： （）因为(1sin 2 , sincos )axxx，(1, sincos )bxx，所以 22 ( )1sin2sincos1sin 2cos2f xxxxxx 2sin 21 4 x 因此，当 22 42 xk，即 3 8 xk（kZ）时，( )f x取得最大值21； （）由( )1sin 2cos2f及 8 ( ) 5 f得 3 sin2cos2 5 ，两边平方得 9 1sin 4 25 ，即 16 sin 4 25 因此， 16 cos22cos4sin4 4225 18. （ 2008 年高三名校试题汇编）设)0, 1(),sin,cos1(
15、),sin,cos1(cba，其 )2,(),0(，a与 c 的夹角为 1，b 与 c 的夹角为2，且 6 21 ，求 4 sin 的值 解 a=（2cos 2 2 ,2sin 2 cos 2 ）=2cos 2 （cos 2 ,sin 2 ）, 数学 b=（2sin 2 2 ,2sin 2 cos 2 ）=2sin 2 （sin 2 ,cos 2 ） , （ 0, ）, （ ,2 ）, 2 （ 0, 2 ）, 2 （ 2 , ） ，故 |a|=2cos 2 ,| b|=2sin 2 , 2 1 2cos 2 cos2cos | |2 2cos 2 a c a c , ) 22 cos( 2 sin 2 sin2 2 sin2 | cos 2 2 cb cb ， 0 22 2 , 2= 22 , 又 12= 6 , 2 2 + 2 = 6 , 故 2 = 3 , sin 4 =sin （ 6 ）= 1 2 .