2015年云南昆明中考真题数学.pdf

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1、2015 年云南省昆明市中考真题数学 一、选择题 ( 共 8 小题，每小题3 分，满分24 分) 1. -5 的绝对值是 ( ) A.5 B.-5 C. 1 5 D. 5 解析： -5 的绝对值是：|-5|=5. 答案： A 2. 某校组织了“讲文明、守秩序、迎南博”知识竞赛活动，从中抽取了7 名同学的参赛成绩 如下 ( 单位：分 ) ：80，90，70，100，60，80，80. 则这组数据的中位数和众数分别是( ) A.90 ，80 B.70 ，80 C.80，80 D.100，80 解析：在这一组数据中80 是出现次数最多的，故众数是80；排序后处于中间位置的那个数 是 80，那么由中位

2、数的定义可知，这组数据的中位数是80. 答案： C 3. 由 5 个完全相同的正方体组成的立体图形如图所示，则它的俯视图是( ) A. B. C. D. 解析：几何体的俯视图有3 列，每行小正方形数目分别为1，3，且第一行的一个在第二行 的最左边，由此得出答案即可. 答案： C 4. 如图，在 ABC中， B=40，过点C作 CD AB ， ACD=65 ，则 ACB的度数为 ( ) A.60 B.65 C.70 D.75 解析： CD AB ， A=ACD=65 ， ACB=180 - A-B=180 - 65 -40=75，即ACB的度数为75. 答案： D 5. 下列运算正确的是( )

3、A. 2 3=-3 B.a 22 a4=a6 C.(2a 2)3=2a6 D.(a+2) 2=a2+4 解析： A、 2 3=3，故错误： B、正确； C、(2a 2)3=8a6，故正确； D、(a+2) 2=a2+4a+4，故错误； 答案： B 6. 不等式组 1 1 1 2 x x x ， 的解集在数轴上表示为( ) A. B. C. D. 解析：不等式组 1 1 1 2 x x x ， 的解集为： -3 x1. 答案： A 7. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：AC BD ； OA=OB ； ADB= CDB ； ABC是等边三角形，其中一定成立的是( )

4、 A. B. C. D. 解析： 根据菱形的对角线互相垂直平分可得：正确；错误；根据菱形的对角线平分一组 内角可得正确. 错误 . 答案： D 8. 如图，直线y=-x+3 与 y 轴交于点A，与反比例函数y= k x (k 0) 的图象交于点C，过点 C 作 CB x 轴于点 B，AO=3BO ，则反比例函数的解析式为( ) A.y= 4 x B.y=- 4 x C.y= 2 x D.y=- 2 x 解析：直线y=-x+3 与 y 轴交于点 A， A(0，3) ，即 OA=3 ， AO=3BO ， OB=1 ，点 C的横坐标为 -1 ， 点 C在直线 y=-x+3 上，点C(-1 ，4) ，

5、反比例函数的解析式为：y=- 4 x . 答案： B 二、填空题 ( 共 6 小题，每小题3 分，满分18 分) 9. 若二次根式1x有意义，则x 的取值范围是 . 解析：根据二次根式有意义的条件，x-1 0， x1. 答案： x1 10. 据统计， 截止 2014 年 12 月 28 日，中国高铁运营总里程超过16000 千米， 稳居世界高铁 里程榜首，将16000 千米用科学记数法表示为千米 . 解析：将16000 用科学记数法表示为：1.6 3 10 4. 故答案为： 1.6 3 10 4 11. 如图，在 ABC中， AB=8 ，点 D、E分别是 BC 、 CA的中点，连接DE ，则

6、DE= . 解析：在 ABC中，点 D、E分别是 BC 、CA的中点， AB=8 ，DE是 ABC的中位线， DE= 1 2 AB=1 2 3 8=4. 答案： 4. 12. 计算： 2222 32aba abab = . 解析：原式 = 22 32aba ab = 2 ab abab = 2 ab . 答案： 2 ab 13. 关于 x 的一元二次方程2x 2-4x+m-1=0 有两个相等的实数根，则 m的值为 . 解析：方程有两个相等的实数根，=0，即 4 2-4 3 23 (m-1)=0 ，解得 m=3. 答案： 3 14. 如图， ABC是等边三角形，高AD 、 BE相交于点H，BC=

7、43，在 BE上截取BG=2 ，以 GE为边作等边三角形GEF ，则 ABH与 GEF重叠 ( 阴影 ) 部分的面积为 . 解析：如图所示： 由 ABC是等边三角形，高AD 、BE相交于点H，BC=43，得 AD=BE= 3 2 BC=6 ， ABG= HBD=30 . 由直角三角的性质，得BHD=90 - HBD=60 . 由对顶角相等，得MHE= BHD=60 由 BG=2 ，得 EG=BE-BG=6-2=4. 由 GE为边作等边三角形GEF ，得 FG=EG=4 ， EGF= GEF=60 ， MHE 是等边三角形； SABC= 1 2 AC 2 BE=1 2 AC 3 EH 3 3，E

8、H=1 3 BE=1 3 3 6=2. 由三角形外角的性质，得BIF= FGE-IBG=60-30 =30， 由 IBG=BIG=30，得 IG=BG=2 ， 由线段的和差，得IF=FG-IG=4-2=2 ， 由对顶角相等，得FIN=BIG=30， 由 FIN+F=90，得 FNI=90， 由锐角三角函数，得FN=1 ，IN=3. S五边形 NIGHM=SEFG-SEMH-S FIN= 3 4 3 4 2-3 4 3 2 2-1 2 333 1= 5 3 2 . 答案： 5 3 2 三、解答题 ( 共 9 小题，满分58 分 ) 15. 计算： 9+(-1) 2015+(6- )0 -(- 1

9、 2 ) -2 . 解析： 原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用乘方的意义计算，第三项利用零指 数幂法则计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果. 答案：原式 =3-1+1-4=-1. 16. 如图，点B、 E、C、F 在同一条直线上，A=D， B=DEF ， BE=CF.求证： AC=DF. 解析：根据BE=CF ，求出 BC=EF ，根据 AAS推出 ABC DEF ，根据全等三角形的性质推出 即可 . 答案： BF=EC( 已知 ) ， BF+FC=EC+CF，即 BC=EF ， 在 ABC和 DEF中， AD BDEF BCEF ， ， ， ABC DEF(AAS)

10、， AC=DF(全等三角形对应边相等) 17. 如图， ABC三个顶点的坐标分别为A(2，4)， B(1，1) ，C(4，3). (1) 请画出 ABC关于 x 轴对称的 A1B1C1，并写出点A1的坐标； (2) 请画出 ABC绕点 B逆时针旋转90后的 A2BC2； (3) 求出 (2) 中 C点旋转到C2点所经过的路径长( 记过保留根号和). 解析： (1) 利用关于x 轴对称点的横坐标相等，纵坐标化为相反数可先找出点A1、B1、C1的 坐标，然后画出图形即可； (2) 利用旋转的性质可确定出点A2、C2的坐标； (3) 利用弧长公式进行计算即可. 答案： (1) 根据关于x 轴对称点的

11、坐标特点可知：A1(2 ，-4) ，B1(1 ，-1) ，C1(4 ，-3) ， 如下图：连接A1、 B1、 C1即可得到 A1B1C1. (2) 如图： (3) 由两点间的距离公式可知：BC= 22 3213， 点 C旋转到 C2点的路径长 = 90 1313 1802 . 18.2015 年 4 月 25 日，尼泊尔发生了里氏8.1 级地震，某中学组织了献爱心捐款活动， 该校教学兴趣小组对本校学生献爱心捐款额做了一次随机抽样调查，并绘制了不完整的频数 分布表和频数分布直方图( 每组含前一个边界值，不含后一个边界值). 如图所示： 捐款额 ( 元) 频数百分比 5x 0 5 10% 10x

12、15 a 20% 15x 20 15 30% 20x 25 14 b 25x 30 6 12% 总计100% (1) 填空： a= ，b= ； (2) 补全频数分布直方图； (3) 该校共有1600 名学生，估计这次活动中爱心捐款额不低于20 元的学生有多少人？ 解析：(1) 先利用第一组的频数与频率计算出样本容量，再利用样本容量乘以20% 即可得到a 的值，用14 除以样本容量得到b 的值； (2) 第二组的频数为10，则可补全频数统计图； (3) 根据样本可得爱心捐款额不低于20 元的百分比为28%+12%=40%，然后用总人数乘以40% 即可估计出爱心捐款额不低于20 元的学生数 . 答

13、案： (1)5 10%=50 ，a=503 20=10；b= 14 50 3 100%=28% ； (2) 如图， (3)1600 3 (28%+12%)=640(人). 答：估计这次活动中爱心捐款额不低于20 元的学生有640 人. 19. 小云玩抽卡片和旋转盘游戏，有两张正面分别标有数字1，2 的不透明卡片， 背面完全相 同；转盘被平均分成3 个相等的扇形，并分别标有数字-1 ，3，4( 如图所示 ) ，小云把卡片背 面朝上洗匀后从中随机抽出一张，记下卡片上的数字；然后转动转盘，转盘停止后，记下指 针所在区域的数字(若指针在分格线上，则重转一次，直到指针指向某一区域为止). (1) 请用列

14、表或树状图的方法( 只选其中一种) ，表示出两次所得数字可能出现的所有结果； (2) 求出两个数字之积为负数的概率. 解析： (1) 首先根据题意列出图表，然后由图表求得所有可能的结果； (2) 由(1) 列出的图表可得出所有出现的结果，再根据概率公式即可求出答案. 答案： (1) 列表如下： 0 -1 3 4 1 1，-1 1，3 1，4 2 2，-1 2，3 2，4 (2) 两数之积为负数的情况共有2 种可能：(1 ， -1) ， (2 ， -1) ， P( 两数之积为负数)= 21 63 . 20. 如图，两幢建筑物AB和 CD ，ABBD ，CD BD ，AB=15cm ，CD=20c

15、m ，AB和 CD之间有一景 观池， 小南在 A点测得池中喷泉处E点的俯角为42， 在 C点测得 E点的俯角为45( 点 B、 E、D在同一直线上) ，求两幢建筑物之间的距离BD(结果精确到0.1m).( 参考数据： sin42 0.67 ，cos42 0.74 ， tan42 0.90) 解析：在RT ABE中，根据正切函数可求得BE ，在 RTDEC中，根据等腰直角三角形的性 质求得 ED ，然后根据BD=BE+ED 求解即可 . 答案：由题意得：AEB=42 ， DEC=45 ， ABBD ，CD BD， 在 RTABE中， ABE=90 ， AB=15 ， AEB=42 ， tan A

16、EB=AB BE ， BE= 15 tan42 15 0.90= 50 3 ， 在 RTDEC中， CDE=90 ， DEC= DCE=45 ， CD=20 ， ED=CD=20 ， BD=BE+ED= 50 3 +2036(m). 答：两幢建筑物之间的距离BD约为 36.7m 21. 某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接 到抢修一段长3600 米道路的任务， 按原计划完成总任务的 1 3 后， 为了让道路尽快投入使用， 工兵连将工作效率提高了50% ，一共用了10 小时完成任务 . (1) 按原计划完成总任务的 1 3 时，已抢修道路米； (2) 求原

17、计划每小时抢修道路多少米？ 解析： (1) 按原计划完成总任务的 1 3 时，列式计算即可； (2) 设原计划每天修道路x 米. 根据原计划工作效率用的时间+实际工作效率用的时间=10 等 量关系列出方程. 答案： (1) 按原计划完成总任务的 1 3 时，已抢修道路36003 1 3 =1200 米. (2) 设原计划每小时抢修道路x 米， 根据题意得： 12003600 1200 150%xx =10 ，解得： x=280， 经检验： x=280 是原方程的解. 答：原计划每小时抢修道路280 米 . 22. 如图，AH是 O的直径， AE平分 FAH ，交 O于点 E，过点 E的直线 F

18、G AF，垂足为 F， B为直径 OH上一点，点E、F 分别在矩形ABCD的边 BC和 CD上 . (1) 求证：直线FG是 O的切线； (2) 若 CD=10 ，EB=5 ，求 O的直径 . 解析： (1) 连接 OE ，证明 FG是 O的切线，只要证明OEF=90 即可； (2) 设 OA=OE=x ， 则 OB=10-x， 在 RtOBE中， OBE=90 ， BE=5 ， 由勾股定理得： OB 2 +BE 2=OE2， 即(10-x) 2+52=x2，求出 x 的值，即可解答 . 答案： (1) 如图 1，连接 OE ， OA=OE ， EAO= AEO ， AE平分 FAH ， EA

19、O= FAE ， FAE= AEO ， AF OE ， AFE+OEF=180 ， AFGF ， AFE= OEF=90 ， OE GF ， 点 E在圆上， OE是半径， GF是 O的切线 . (2) 四边形ABCD是矩形， CD=10 ， AB=CD=10 ， ABE=90 ， 设 OA=OE=x ，则 OB=10-x，在 RtOBE中， OBE=90 ， BE=5 ， 由勾股定理得：OB 2+BE2 =OE 2， (10-x)2+52=x2， x=25 4 ，AH=2 3 25 4 = 25 2 ， O的直径为 25 2 . 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+3 2 x

20、+c(a 0)与 x 轴交于 A、B 两点 ( 点 A 在 点 B的右侧 ) ，与 y 轴交于点C，点 A的坐标为 (4，0) ，抛物线的对称轴是直线x= 3 2 . (1) 求抛物线的解析式； (2)M 为第一象限内的抛物线上的一个点，过点M作 MG x 轴于点 G，交 AC于点 H，当线段 CM=CH 时，求点M的坐标； (3) 在(2) 的条件下，将线段 MG 绕点 G顺时针旋转一个角(0 90 ) ， 在旋转过程中， 设线段 MG 与抛物线交于点N，在线段GA上是否存在点P，使得以P、N、G为顶点的三角形 与 ABC相似？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 解析： (

21、1) 首先利用对称轴公式求出a 的值，然后把点A的坐标与a 的值代入抛物线的解析 式，求出c 的值，即可确定出抛物线的解析式. (2) 首先根据抛物线的解析式确定出点C的坐标， 再根据待定系数法，确定出直线AC解析式 为 y=- 1 2 x+2；然后设点M的坐标为 (m， - 1 2 m 2+3 2 m+2)， H(m ，- 1 2 m+2)，求出MH的值是多 少，再根据CM=CH ，OC=GE=2 ，可得 MH=2EH ，据此求出m的值是多少，再把m的值代入抛物 线的解析式，求出y 的值，即可确定点M的坐标 . (3) 首先 判断出ABC 为直角三角形，然后分两种情况：当 111 N PPG

22、 ACCB 时 ；当 222N PPG BCCA 时；根据相似三角形的性质，判断出是否存在点P，使得以 P、N、G为顶点的 三角形与 ABC相似即可 . 答案： (1) x=- 2 b a = 3 2 ，b= 3 2 ， a=- 1 2 ， 把 A(4， 0)，a=- 1 2 代入 y=ax 2+3 2 x+c， 可得 (- 1 2 ) 3 4 2 + 3 2 3 4+c=0，解得 c=2，则抛物线解析式为y=- 1 2 x 2+3 2 x+2. (2) 如图 1，连接 CM ，过 C点作 CE MH于点 E， y=- 1 2 x 2+3 2 x+2，当 x=0 时， y=2， C点的坐标是

23、(0，2) ， 设直线 AC解析式为y=kx+b(k 0) ， 把 A(4， 0)、C(0，2)代入 y=kx+b， 可得 40 2 kb b ， ，解得： 1 2 2 k b ， ， 直线 AC解析式为y=- 1 2 x+2， 点 M在抛物线上，点H在 AC上， MG x 轴， 设点 M的坐标为 (m，- 1 2 m 2+3 2 m+2)，H(m，- 1 2 m+2)， MH=- 1 2 m 2+3 2 m+2-(- 1 2 m+2)=- 1 2 m 2+2m ， CM=CH ，OC=GE=2 ， MH=2EH=2 3 2-(- 1 2 m+2)=m， 又 MH=-1 2 m 2+2m ，

24、-1 2 m 2+2m=m ，即 m(m-2)=0， 解得 m=2或 m=0(不符合题意，舍去) ， m=2 ， 当 m=2时， y=- 1 2 3 2 2+3 2 3 2+2=3，点 M的坐标为 (2 ，3). (3) 存在点 P，使以 P，N， G为顶点的三角形与ABC相似，理由为： 抛物线与x 轴交于 A、 B两点， A(4，0) ，A、B两点关于直线x= 3 2 成轴对称， B(-1 ，0)， AC= 22 42=25，BC= 22 12=5，AB=5， AC 2+BC2=(2 5) 2 +(5) 2=25，AB2 =5 2=25， AC 2+BC2=AB2=25， ABC为直角三角形

25、， ACB=90 ， 线段 MG 绕 G点旋转过程中，与抛物线交于点N，当 NP x 轴时， NPG=90 ， 设 P点坐标为 (n ， 0)，则 N点坐标为 (n，- 1 2 n 2+3 2 n+2)， 如图 2， 当 111 N PPG ACCB 时， N1P1G= ACB=90 ， N1P1G ACB ， 213 2 2 22 2 55 nn n ， 解得： n1=3，n2=-4( 不符合题意，舍去) ， 当 n1=3 时， y=- 1 2 3 3 2+3 2 3 3+2=2， P的坐标为 (3 ，2). 当 222N PP G BCCA 时， N2P2G= BCA=90 ， N2P2G BCA ， 2 13 2 2 22 52 5 nn n ， 解得： n1=1+7， n2=1-7( 不符合题意，舍去) ， 当 n1=1+ 7时， y=- 1 2 3 (1+ 7) 2 + 3 2 3 (1+ 7)+2= 71 2 ， P的坐标为 (1+7， 71 2 ). 又点 P在线段 GA上，点P的纵坐标是0， 不存在点P，使得以P、 N、G为顶点的三角形与ABC相似 .