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1、第 1 页 2019 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷 学校姓名准考证号 考 生 须 知 1本试卷共6 页，共五道大题，25 道小题，满分120 分。考试时间120 分钟。 2在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。 3试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 4在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 来源 学 科 网 Z|X|X|K 5考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 一、选择题（本题共32 分，每小题4 分） 下面各题均有四个选项，其中只有一个 是符合题意的。 1. 在关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（
2、2019-2019）中，北京市提 出了总计约3 960 亿元的投资计划。将3 960 用科学计数法表示应为 A. 39.610 2 B. 3.9610 3 C. 3.9610 4 D. 3.9610 4 2. 4 3 的倒数是 A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 D. 3 4 3. 在一个不透明的口袋中装有5 个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2， 3，4，5， 从中随机摸出一个小球，其标号大于2 的概率为 A. 5 1 B. 5 2 C. 5 3 D. 5 4 4. 如图，直线a，b被直线c所截，ab， 1=2，若 3=40，则 4 等于 A. 40B. 50 C. 70D. 80
3、 5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸 取点 B，C，D，使得 AB BC，CD BC，点 E 在 BC 上，并且点 A，E，D 在同一条直线上。若测得BE=20m ，EC=10m ，CD=20m ， 则河的宽度AB 等于 A. 60m B. 40m C. 30m D. 20m 第 2 页 6. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是 7. 某中学随机地调查了50 名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示： 时间（小时）5 6 7 8 人数10 15 20 5 则这 50 名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是 A. 6.2 小时B. 6.4 小
4、时C. 6.5 小时D. 7 小时 8. 如图，点P 是以 O 为圆心， AB 为直径的半圆上的动点，AB=2 ，设 弦 AP 的长为x， APO 的面积为y， 则下列图象中， 能表示y与x 的函数关系的图象大致是 二、填空题（本题共16 分，每小题4 分） 9. 分解因式：aabab44 2 =_ 10. 请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（ 0，1）的抛物线的解析式_10 11. 如图， O 是矩形 ABCD 的对角线AC 的中点， M 是 AD 的中点， 若 AB=5 ，AD=12 ，则四边形ABOM 的周长为 _ 12. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：1xt，双 曲线
5、 x y 1 。在l上取点 A1，过点 A1作x轴的垂线交双曲线于 点 B1，过点 B1作y轴的垂线交l于点 A2，请继续操作并探究： 过点 A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过点 B2作y轴的垂线 交l于点 A3， ，这样依次得到 l上的点 A1， A2， A3， ，An， 。 记点 An的横坐标为 n a，若2 1 a，则 2 a=_， 2013 a=_；若要将上 述操作无限次地进行下去，则 1 a不能取 的值是 _ 三、解答题（本题共30 分，每小题5 分） 13. 如图，已知 D 是 AC 上一点，AB=DA ， DE AB， B=DAE 。 求证： BC=AE 。 14. 计算： 1
6、0 ) 4 1 (45cos22)31 (。 15. 解不等式组： x x xx 2 3 1 23 第 3 页 16. 已知014 2 xx，求代数式 22 )()32(yyxyxx的值。 17. 列方程或方程组解应用题： 某园林队计划由6 名工人对180 平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工 人，结果比计划提前3 小时完成任务。 若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿 化面积。 18已知关于x的一元二次方程0422 2 kxx有两个不相等的实数根 （1）求k的取值范围； （2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求 k的值。 四、解答题（本题共20 分，每小题5 分） 19如图，
7、在ABCD 中，F 是 AD 的中点，延长BC 到点 E， 使 CE= 2 1 BC，连结 DE，CF。 （1）求证：四边形CEDF 是平行四边形； （2）若 AB=4 ，AD=6 ， B=60，求 DE 的长。 20如图， AB 是 O 的直径， PA， PC 分别与 O 相切于点 A，C，PC 交 AB 的延长线于点D，DEPO 交 PO 的延 长线于点 E。 （1）求证： EPD=EDO （2）若 PC=6，tan PDA= 4 3 ，求 OE 的长。 21第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013 年 5 月 18 日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分
8、： （1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04 平方千米， 牡丹园面积为 _平方千米； （2）第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18 倍，水面面积是第七、八两 届园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据； （3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位 数量与日接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系，根据小 娜的发现，请估计将于2019 年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直 接写出结果，精确到百位）。 第 4 页 第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表 日均接待游
9、客量 （万人次） 单日最多接待游客量 （万人次） 停车位数量 （个） 第七届0.8 6 约 3 000 第八届2.3 8.2 约 4 000 第九届8（预计）20（预计）约 10 500 第十届1.9（预计）7.4（预计）约_ 22阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为)2(aa的正方形ABCD各边上分别 截取 AE=BF=CG=DH=1，当 AFQ= BGM= CHN= DEP=45 时，求正方形MNPQ 的面积。 小明发现：分别延长QE，MF ，NG，PH，交 FA，GB，HC，ED 的延长线于点R， S，T，W，可得 RQF，SMG，TNH ， WPE 是四个全等的等腰直
10、角三角形（如 图 2） 请回答： （1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙，不重叠），则这个新 的正方形的边长为_； （2）求正方形MNPQ 的面积。 参考小明思考问题的方法，解决问题： 如图 3，在等边 ABC 各边上分别截取AD=BE=CF ， 再分别过点D，E， F 作 BC ，AC，AB 的垂线，得到等边 RPQ，若 3 3 RPQ S， 则 AD 的长为 _。 五、解答题 （本题共22 分，第 23 题 7 分， 第 24 题 7 分， 第 25 题 8 分） 23在平面直角坐标系xOy中 ，抛物线 22 2 mxmxy（0m）与y轴交于点 A，其 对称轴与x轴交于
11、点B。 （1）求点 A，B 的坐标； （2） 设直线l与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称， 第 5 页 求直线l的解析式； （3）若该抛物线在12x这一段位于直线l的上方， 并且在32x这一段位于 直线 AB 的下方，求该抛物线的解析式。 24在 ABC 中， AB=AC ， BAC=（600），将线段BC 绕点 B 逆时针旋转 60得到线段BD。 图 1 图 2 （1）如图 1，直接写出 ABD 的大小（用含的式子表示）； （2）如图 2， BCE=150 ， ABE=60 ，判断 ABE 的形状并加以证明； （3）在（ 2）的条件下，连结DE，若 DEC=45，求的值。 25对于平面直
12、角坐标系xOy中的点 P 和 C，给出如下定义： 若 C 上存在两个点A，B， 使得 APB=60 ，则称P为 C 的关联点。 已知点 D（ 2 1 ， 2 1 ）， E（0，- 2）， F（32，0） （1）当 O 的半径为1 时， 在点 D， E，F 中， O 的关联点是 _； 过点 F 作直线l交y轴正半轴于点G，使 GFO=30 ，若直线l上的点 P（m， n）是 O 的关联点，求m的取值范围； （2）若线段EF 上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围。 2019 年北京市高级中等学校招生考试 数学试卷答案及评分参考 阅卷须知： 1为便于阅卷，本试卷答案中有关解答题的
13、推导步骤写得较为详细，阅卷时，只要考 生将主要过程正确写出即可 2若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分 3评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数 一、选择题 （本题共32 分，每小题4 分） 题 号1 2 3 4 5 6 7 8 答 案B D C C B A B A 二、填空题 （本题共16 分，每小题4 分） 题 号9 10 11 12 答 案a(b 2) 2 答案不唯一， 如： x 2 1 20 3 2 1 3 -1， 0 三、解答题（本题共30分，每小题 5分） 13（本小题满分5 分） 证明： DE AB， 第 6 页 BAC=ADE.1 分 在
14、ABC 和 DAE 中， BAC= ADE ， AB=DA B=DAE ABC DAE4 分 BC=AF5 分 14（本小题满分5 分） 解： 011 (13)22cos45( ) 4 = 2 1224 2 4 分 =55 分 15（本小题满分5 分） 解：3x2x， 解不等式，得x-12 分 解不等式，得x0 第 7 页 k2 时，点 P 不是 O 的关联点 F3（2,0 ），且 GFO=30， OGF=60， OF=2 3，OG=2 如图，以O 为圆心， OG 为半径作圆，设该圆 与 l 的另一个交点为M 当点 P 在线段 GM 上时， OP2，点 P 是 O 的关联点； 当点 P 在线段
15、 GM 的延长线或反向延长线上时，OP2，点 P 不是 O 的 关联点 连结 OM，可知 GOM 为等边三角形3 分 过点 M 作 MNx 轴与点 N，可得 MON =30， ON=3 0m35 分 （2）设该圆的圆心为C 根据可得，若点P 是 C 的关联点，则0PC2r 由题意，点E，F 都是 C 的关联点， EC2r，FC 2r6 分 EC+FC4r 又EC+FCEF（当点 C 在线段 EF 上时，等号成立）， 4rEF7 分 E（0，-2）， F3（2,0 ）， EF=4 r1 事实上，当点C 是 EF 中点时，对所有r1 的 C，线段 EF 上的所有点 都是 C 的关联点 综上所述， r18 分