函数的奇偶性教案.pdf

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1、函数的奇偶性教案 教学目标 1从形与数两个方面进行引导，使学生理解函数奇偶性的概 念 2通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、 抽象的能力，渗透数形结合的数学思想方法 3培养学生从特殊到一般的概括能力 教学重点与难点 函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定 教学过程设计 师：同学们，“对称”是大自然的一种美，这种“对称美”在 数学中也有大量的反映让我们看看下列各函数有什么共性？ ( 幻灯翻折片 ) 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性( 图 1) 生： 函数 f(x)=x 2是定义域为全体实数的抛物线； 函数 f(x)=|x| 1 是定义域为全体 图象关于 y 轴对称 师：那么究竟什

2、么叫关于y 轴对称？ 师：( 幻灯演示 ) 将 f(x)=x 2 在 y 轴右侧的图象， 沿 y 轴折过来， 我们发现它与左侧的图象重合了， 这说明我们刚才的观察结果是正 确的既然图形是由点组成的，那么，让我们在直角坐标系中，观 察一对关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系？ ( 幻灯演示 )我们在函数 f(x)=x 2 位于 y 轴右侧的图象上任取一 点(x ，f(x)，通过沿 标有什么关系？ 对应的函数值相等 师：看来具备此种特征的函数还有很多，我们能不能用定义的 形式对这类函数做出刻划呢？ 生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f( x)=f(x)， 那么函数 f(x) 就叫做偶函数

3、 ( 当学生的表述不完整，不准确时，教师可做适当的提示和补 充) 师：下面我们来分析一下这个定义定义中“任意一个xD ， 都有 f( x)=f(x)成立”说明了什么？ 生：这说明 f( x) 与 f(x) 都有意义，即 x，x 同时属于定义 域，因此偶函数的定义域是关于原点对称的 师：定义域关于原点对称是函数为偶函数的什么条件？ 生：定义域关于原点对称是函数为偶函数的必要条件 师： 那么定义的实质是什么呢？同学们能不能用自己的语言来 表述一下偶函数的定义 生：当自变量任取两个互为相反数的值时，对应的函数值恰好 相等 师：下面我们看几个习题 ( 幻灯) 1判断下列函数是否是偶函数 (1)f(x)

4、=x 2，x 1，2 ； 生：函数 f(x)=x 2，x 1，2 不是偶函数因为它的定义域 关于原点不对称 于原点对称 ( 对于本题，学生很容易提取分子中的公因式x 2，进而化简成 f(x)=x 2，从而得出该函数是偶函数的错误结论 ) ( 多重复合幻灯 ) 2判断下列图象 (图 2)是否是偶函数的图象？ 师：首先，我们取几对相反数检验一下( 复片 1)当自变量取 1 这对相反数时，对应的函数值f(1) 与 f( 1)恰好相等；当自 变量取3 这对相反数时，对应的函数值f(3) 与 f( 3)也恰好相 等；当自变量取4时，也得到了相同的结果类似的相反数还可 以举出很多对由此，是否就能判断该图象

5、是偶函数的图象呢？ ( 有的学生认为能判断，有的学生认为不能，当学生发表完意 见后，教师总结 ) 师：当自变量取2 这对相反数时，我们观察到f(2) 与 f( 2) 并不相等，这就违背了偶函数定义中， 自变量取值的任意性， 即 不能使函数定义域内的 任意一个 x，都有 f( x)=f(x)，所以该图 象不是偶函数的图象 同学们，让我们再来观察一组函数的图象，看看它们之间有什 么共性？ ( 幻灯旋转片 ) 观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性 生：各函数之间的共性是它们的图象都关于原点对称 师：那么究竟什么叫做关于原点对称呢？ 师：( 幻灯演示 ) 将 f(x)=x 3 在第一象限内的图象，

6、绕着原点旋 转 180，我们发现它与f(x)=x 3在第三象限内的图象重合了这 说明我们刚才的观察结果是正确的 那么一对关于原点对称的点的 坐标又有什么关系呢？ 生：一对关于原点对称的点， 它们的横坐标互为相反数， 纵坐 标也互为相反数 即：当自变量任取定义域中的两个相反数时，对 应的函数值也互为相反数 师：我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？ 生：如果对于函数定义域内的任意一个x，都有 f( x)= f(x) ，那么函数 f(x) 就叫做奇函数 师：定义中“任意一个xD ，都有 f( x)=f(x)成立”说明了 什么？ 生：这说明 f( x) 与 f(x) 都有意义，即 x，x 同时

7、属于定义 域，因此奇函数的定义域是关于原点对称的 师：由此可见，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要 条件那么这个定义的实质是什么呢？ 生：当自变量任取定义域内两个互为相反数的值时，对应的函 数值也互为相反数 师：我们现在已接触过偶函数、 奇函数、既不是奇函数也不是 偶函数，即非奇非偶的函数， 那么有没有既是奇函数又是偶函数的 函数呢？ 生：有函数 f(x)=0 ，xR 就是一个 师：那么这样的函数有多少个呢？ 生：只有函数 f(x)=0 ，xR 一个 师：再想一想函数的三要素是什么呢？ 生：函数的三要素是对应法则、定义域和值域 师：对可见三要素不同的函数就是不同的函数 生：既是奇函数又是

8、偶函数的函数有无数多个虽然解析式都 为 f(x)=0 ，但取关于原点对称的不同的定义域，就可得到不同的 函数，例如：f(x)=0 ，x 3，1 1 ，3 ；f(x)=0 ，x 5， 2 2，5 等等 师：所以函数按奇偶性可分为四类：奇函数、偶函数、既奇且 偶函数和非奇非偶函数 例 1 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)=lg(4x) lg(4 x) ； 分析：先验证函数定义域的对称性，再考察f( x) 是否等于 f(x) 或f(x) 解(1) f(x) 的定义域是 x|4 x0 且 4x0=x| 4x 4，它具有对称性 因为 f( x)=lg(4 x) lg(4 x)=f(x)， 所以 f

9、(x) 是偶函数，不是奇函数 (2) 解法一：当 x0 时， x0，于是 当 x0 时， x0，于是 综上可知，在 R-R+ 上， g(x) 是奇函数 这两条曲线 ( 图 4)关于原点对称，因此函数g(x) 在 R-R+ 上 是奇函数 例 2 设 F(x) 是定义在 R上的奇函数，且当 x0 时，F(x) 的解 析式是 e x ，求 F(x) 在 R上的表达式 解 任取 x(， 0) ，设 P(x ，y) 是函数 F(x) 图象上的一 个点由于 F(x) 是奇函数 , ye -x ye -x 上式就是点 P(x，y) 的坐标满足的关系式，即x0 时 F(x) 的 解析式 当 x=0 时，F(0

10、)=F(0) ，即 F(0)=0 所以奇函数 ( 今后遇到函数奇偶性这类的问题时， 要善于选择恰当的方法， “定义法”是基本方法) 练习 ( 幻灯) 判断下列函数的奇偶性，并说明理由 1f(x)=x 23，x 10，20 ； 2f(x)=x 3x，x 2，2) ； 3f(x)=0 ，x 6，2 2 ，6 ； 5f(x)=|x2| |x 2| ； 6f(x)=|x2| |x 2| ； 7f(x)=5 ； 生：1f(x)=x 23，x 10，20) 的定义域关于原点不对称，因 此是非奇非偶函数 2f(x)=x 3x，x 2，2)的定义域关于原点也不对称，因此是 非奇非偶函数 3f(x)=0 ，x

11、6，2 2 ，6 是既奇且偶函数 这是因为 f( x)=f(x)且 f( x)= f(x)，定义域关于原点也对称，所以是既奇且偶函 数 点也对称，所以是奇函数 5f(x)=|x2| |x 2| 是偶函数这是因为f( x)=| x2| | x2|=|x 2| |x 2|=f(x)，且 xR ，所以是偶函数 6f(x)=|x2| |x 2| 是奇函数这是因为f( x)=| x2| | x2|=|x 2| |x 2|= (|x 2| |x 2|)= f(x)，且 xR ，所以 是奇函数 7f(x)=5是偶函数这是因为f( x)=5=f(x)，且 xR ，所以是 偶函数 =lg1=0，即 f( x)=

12、 f(x)，且 xR ，所以是奇函数 师：函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质，注意要与函数的 单调性加以区分我们在记忆奇函数与偶函数定义的基础上，还应加以 理解，定义域关于原点对称是函数有奇偶性的必要条件 作业 课本 P52练习第 2 题， P59习题五第 8，9，10 题其中第10 题加 一问“为什么？” 补充题： 1设 f(x) 在 R上是奇函数，当x0 时， f(x)=x(1x) 试问：当 x0 时，f(x)的表达式是什么？ (解 当 x0 时， x0，所以 f( x)=x(1x) 又因为 f(x) 是 奇函数，所以f(x)= f( x)= x(1 x)=x(1 x) ) 2 若奇函

13、数 f(x)在3 ， 7 上是增函数且最小值为5， 那么 f(x)在 7，3 上是 ( ) A增函数且最小值为5 B增函数且最大值为5 C 减函数且最小值为5 D 减函数且最大值为5 (答 B) 课堂教学设计说明 我们可以根据定义来判断一个函数的奇偶性，也可以根据一个函数 的图象关于原点或y 轴对称的特征来判断它的奇偶性反过来，我们若 已知一个函数的奇偶性， 也可以推断它在整个定义域内的图象和性质可 见，在“函数的奇偶性”这一节中，“数”与“形”有着密切的联系所 以，我没有一上来就给出定义，而先给出一组图形，让学生们在观察中 寻找它们的共性，目的是让学生先有个直观上的认识为了引导学生由 图形的直观认识上升到数量关系的精确描述，先提示学生图形是由点组 成的，找出其间的关系后， 再提示学生“具备此种特征的函数还有很多， 我们能不能用定义的形式对这类函数做出刻划呢？”然后，引导学生表 述定义，目的是为了培养学生从特殊到一般的概括能力最后，通过例 题和练习进一步加深学生对定义的理解