人教版必修二高中数学笔记讲义(适合大班新课讲解).pdf

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1、第 1 章第 1 讲 1.1.1柱、锥、台、球的结构特征 学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构. 逐步培养观 察能力和抽象概括能力. 知识要点： 结构特征 （ 1）两底面相互平 行，其余各面都是平 棱 行四边形； 柱 （ 2）侧棱平行且 相等 . （ 1）底面是多边形， 棱 各侧面均是三角形；锥 （ 2）各侧面有一个 图例 （ 1）两底面相互平行；（ 2）侧 面的母线平行于圆柱的轴； 圆 （ 3）是以矩形的一边所在直线 柱 为旋转轴，其余三边旋转形成的 曲面所围成的几何体. （ 1）底面是圆；（ 2）是以直角 圆三角形的一条直角边所在的直 锥线为旋转

2、轴，其余两边旋转形成 棱 台 公共顶点 . （ 1）两底面相互平 行；（ 2）是用一个 平行于棱锥底面的平 面去截棱锥，底面和 截面之间的部分 . 的曲面所围成的几何体. （ 1）两底面相互平行； 圆（ 2）是用一个平行于圆锥底面 台的平面去截圆锥，底面和截面之 间的部分 . （1）球心到球面上各点的距离相等；（2）是以半圆的直径 球 所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体. 例题精讲： 1. 下列说法错误的是（） A. 多面体至少有四个面B.九棱柱有9 条侧棱，9 个侧面，侧面为平行四边形 C. 长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形 分析：多面体至少应有四个顶点组成（否则至多

3、3 个顶点，而3 个顶点只围成一个平面图形），而四个顶点当然 必须围成四个面，所以A 正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B 正确；长方体、正方体都是棱柱，所以C 正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D 错误 . 答案： D 2. 一个棱柱有 10 个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为_ cm. 分析： n 棱柱有 2n 个顶点，由于此棱柱有10 个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱 长的和为 60 cm ，可知每条侧棱长为12 cm. 答案： 12 3. 在本节我们学过的常见几何体中, 如果用一个平面去

4、截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是 _. 分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全. 答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥 第 2 讲 1.1.2 简单组合体的结构特征 学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体 的结构 . 知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体. 例题精讲：【例 1】在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有（） . A.1个B.2个C.3个D.4个 解：在长方体 ABCD A B C D 中，取四棱锥A ABCD ，

5、它的四个侧面都是直角三角形.选 D. 【例 2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r , R ，求球的半径. 解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得 梯形腰长为R+r ，梯形的高即球的直径为(r R) 2 ( R r ) 2 2 rR ，所以，球的半径为rR . 有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；1 第 3 讲 1.2.2 空间几何体的三视图 学习目标：能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述 的三视图所表示的立体模型，会使用材料（如：纸板）制作模型. 知识要点： 1.“视图”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自

6、物体的前面向后投影所得的投影 图成为“正视图” ，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”.用这 三种视图即可刻划空间物体的几何结构，称为“三视图”. 2.画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上 方三个不同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力.在绘制三视图时，分界线和可 见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分用虚线表示出来. 例题精讲： 【例 1】画出下列各几何体的三视图： 解：这两个几何体的三视图如下图所示. 【例 2】画出下列三视图所表示的几何体. 解：先画几何体的正面，再侧面，然

7、后结合三个视图完成几何体的轮廓.如下图所示. 【例 3】如图，图（ 1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单 位： cm），所给的方向为物体的正前方.试分别画出它们的三视图. 解：图（ 1）为圆柱和正六棱柱的组合体 . 图（ 2）是由长方体切割出来的 规则组合体 . 从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示. 第 第 4 讲 1.2.3空间几何体的直观图 学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图.了 解空间图形的不同表示形式. 知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在

8、坐 标系中确定点的位置的画法.基本步骤如下：（1） 建系：在已知图形中取互相垂直的x 轴和 y 轴，得到直角坐 标系 xoy ，直观图中画成斜坐标系x o y ，两轴夹角为45 . （2）平行不变：已知图形中平行于x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x或 y轴的线段. （3）长度规则：已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原 来的一半 . 例题精讲：【例 1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形. 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴2 解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示 . 【例 2】（ 1）画水平放置的一个直

9、角三角形的直观图；（ 2）画棱长为 4cm 的正方体的直观图 . 解：（ 1）画法：如图，按如下步骤完成 . 第一步，在已知的直角三角形中取直角边所在的直线为 x 轴，与垂 ABCCBBC 直的直线为 y 轴，画出对应的x 轴和y轴，使x O y 45 . 第二步，在 x 轴上取 OC BC ，过 C 作y 轴的平行线，取C A 1 CA . 第三步，连接 AO ，即得到该直角三角形的直观图 . 2 （2）画法：如图，按如下步骤完成 . ABCD， 使第一步，作水平放置的正方形的直观图 BAD 45A,B4 c ,mA D2. c m 第二步，过 A作 z 轴，使BAz90. 分别过点B, C

10、, D作 z 轴的平 行线，在 z 轴及这组平行线上分别截取. AA BB CC DD 4cm 第三步，连接 A B , B C ,C D , D A ，所得图形就是正方体的直观图. 点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长 度，然后运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图. 注意被遮挡的部分画成虚线 . 第 5 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积 学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进 行计算和解决有关实际问题 . 知识要点： 表面积相关公式表面积相关公式

11、 棱柱 S 全S侧2S底， 圆柱S全2 r 2 2 rh （r ：底面半径， h：高） 其中 S侧l 侧棱长c直截面周长 棱锥S全S 侧S底 圆锥S全r 2 rl（ r ：底面半径， l ：母线长） 棱台S全S侧 S 上底 S 下底 圆台 S全(r 2r 2 r lrl ) （r ：下底半径， r ：上底半径， l ：母线长） 例题精讲： 【例 1】已知圆台的上下底面半径分别是2、 5，且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长 . 解：设圆台的母线长为l，则圆台的上底面面积为 S上2 2 4 ，圆台的上底面面积为 S下5 2 25， 所以圆台的底面面积为SS上S下 29. 又圆台的侧面积

12、S 侧(25)l7 l ， 于是 7 l25，即 l 29 为所求 . 7 【例 2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积 . 解：由三视图知正三棱柱的高为 2mm. 由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为2 3mm . 设底面边长为 a，则 3 23， a4 . a 2 正三棱柱的表面积为S S 侧 2S 底 34 2 2142 324 83( mm2) . 2 【例3】牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样 的一个蒙古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01m2） 解：上部分圆锥体的母线长为1.2 22.52 ， 12m

13、18m 有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；3 5m 图 2-3-12 其侧面积为 S1 51.2 2 2.5 2 . 2 5 1.8.下部分圆柱体的侧面积为S1 所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为 SS1S1 5 22 5 1.8 2）. 2 1.22.550.05 （m . 注意区分是面积计算，还是点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题 体积计算 . 第 6 讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积 学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式 进行计算和解决有关实际问题 . 知识要点： 1.体积

14、公式： 体积公式体积公式 棱柱VS底 h高圆柱Vr 2h 棱锥V 1 圆锥 12 S底 h高Vr h 33 棱台V 1 (S S S S)h圆台V1(r 2 r r r 2 )h 33 2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为一个点时，它就成了锥体；当 台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系： V锥 1 S h S 0 V台 1 (S S S S)h S S V柱S h . 33 例题精讲：【例 1】一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6，则长方体的体积是. 解：设长方体的长宽高分别为a, b, c ，则 a

15、b2,ac3,bc6 ， 三式相乘得 ( abc) 2 36. 所以，长方体的体积为 6. 【例 2】一块边长为10 cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下, 然后用余下的四个全等的等腰三角形加 工成一个正四棱锥形容器, 试建立容器的容积V与 x 的函数关系式, 并求出函数的定义域. 解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm . E 在 Rt EOF 中，EF5cm,OF 1 xcm, 2 所以 EO251 x2 , 于是 V 1 x2 25 1 x2 . DC 434OF 依题意函数的定义域为 x | 0x10 .AB 【例 3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为3 ，母线长为6，现将该

16、容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器 倾斜让水流出，当容器中的水是原来的 5 时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 . 6 解：容器中水的体积为 Vr 2 l ( 3) 2 618. 流出水的体积为 V (1 5 )V 3，如图， l 2V 2 3 2 . r 2 (63) 2 设圆柱的母线与水平面所成的角为 ，则 tan 23 ，解得60 . 3 2 所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60. 点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱. 从而由等体积法可计算出 高度，解直角三角形而得所求角 . 第 7 讲 1.3.2球的体积和表面积 学习目标：了解球的表面积和

17、体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用球的表面积和体积公式进行计算和 解决有关实际问题 . 知识要点： 1. 表面积： S 球面 4 R 2 （ ：球的半径） . 2.体积：4 R 3 . R V 球面 3 例题精讲： 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴4 【例 1】有一种空心钢球，质量为142g ，测得外径等于5 cm，求它的内径（钢的密度为7.9g / cm 2 ，精确到 0.1cm ） 解：设空心球内径 ( 直径 ) 为 2x cm，则钢球质量为 7.9 4(5 )34x3 142， 323 x3 ( 5 )3 142311.3 ， x2.24， 27.94 3.14 D A C

18、 B D O A C B 直径 2x4.5 ，即空心钢球的内径约为4.5cm . 【例 2】表面积为 324 的球，其内接正四棱柱的高是14 ，求这个正四棱柱的表面积 . 解：设球半径为 R ，正四棱柱底面边长为a，则作轴截面如图，AA 14 ，AC2a ， 又4 R 2 324 ， R 9 ， ACAC 2 CC 2 8 2 ， a8 ， A C O C A S表64 2 32 14 576. 【例 3】（ 04 年辽宁卷 .10 ）设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该 平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（） . A8 6B646C242

19、D722 【解】由已知可得，A、 B、C、D 在球的一个小圆上. AB=BC=CD=DA=3， 四边形 ABCD 为正方形. 小圆半径r 3 2 . 2 由 R 2 r 2h 2 得 R 2 (3 2) 2 ( R )2，解得 R 6 . 22 球的体积 V4 R 3 4( 6) 3 86 . 所以选 A. 33 22 2 ，体积和表面积公式 .点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质Rrh 第 8 讲 2.1.1平面 学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面” ；理解平面的无限延展性；正确地用图形和符号 表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与

20、符号语言三种语言之间的转化；理解可以 作为推理依据的三条公理 . 知识要点： 1.点 A 在直线上, 记作 A a ；点 A 在平面内 , 记作 A；直线a在平面内, 记作a. 2.平面基本性质即三条公理的“文字语言” 、“符号语言” 、“图形语言”列表如下： 公理 1公理 2公理 3 图形 语言 文字 如果一条直线上的两点过不在一条直线上的三点，如果两个不重合的平面有一个 在一个平面内，那么这有且只有一个平面 .公共点，那么它们有且只有一 语言 条直线在此平面内 .条过该点的公共直线 . 符号Al , B lA,B,C 不共线l A l A,B,C 确定平面 P, P 语言, BP l 3.

21、 公理 2 的三条推论： 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面. 例题精讲： 【例 1】如果一条直线与两条平行直线都相交, 那么这三条直线是否共面？（P56A组 5 题） 解：根据公理 2 的推论3，可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1 可知，与两条平行直线相交的第三 条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系. 【例 2】空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，已知EF和GH交于P点，求 证： 、三线共点

22、 .（同 58 B 组 3 题） EFGH ACP 解： P EF，EF面 ABC， P 面 ABC.同理 P 面 ADC. 有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚；5 P在面 ABC与面 ADC的交线上， 又 面 ABC面 ADC=AC， P AC，即 EF、 HG、AC三线共点. 【例 3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.C B A 已知：直线 AB, BC, CA两两相交，交点分别为 A, B, C ， 求证：直线 AB, BC, CA共面 . 证明：因为 A，B，C三点不在一条直线上，所以过A，B，C 三点可以确定平面 因为 A ， B ，所以 AB 同理 BC

23、 ，AC . 所以三直线共面 AB，BC ， CA 点评：先依据公理2, 由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内 .注意文字语言 给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证. 常根据三条公理，进行“共面”问 题的证明 . 【例 4】在正方体ABCD A 1B1C1D1 中， （ 1）AA1与CC 1 是否在同一平面内？（ 2）点B,C1, D是否在同一平面内？ （ 3）画出平面AC 1 与平面BC1D的交线，平面ACD1与平面BDC1的交线 . 解：（ 1）在正方体ABCD A1 B1 C1 D1中， AA1 / CC1，由公理2 的推论可知，AA

24、1与 CC1可确定平面AC1， AA1与 CC 1 在同一平面内. （ 2）点B,C1,D不共线，由公理 3 可知，点B,C1,D可确定平面BC1D， 点B,C1,D在同一平面内 . （ 3）AC BDO， D1CDC1 E， 点 O平面 AC 1， O 平面 BCD 1 ， 又 C1平面 AC 1， C1 平面 BC1D ， 平面 AC1平面 BC1 DOC1， 同理平面 ACD 1平面 BDC 1OE 点评：确定平面的依据有公理 2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直线和 直线外一点） . 对几条公理的作用，我们必须十分熟练 . 第 9 讲 2.1.2 空间

25、中直线与直线之间的位置关系学习目标：了解空间两 条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，掌 握两条异面直线所成角的定义及垂直. 知识要点： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 1. 共面直线 空间两条直线的位置关系：平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点. 2.已知两条异面直线a, b ，经过空间任一点O 作直线 a / a ,b / b ，把 a ,b所成的锐角（或直角）叫异面直线 a, b 所成的角（或夹角） . a,b 所成的角的大小与点O 的选择无关，为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上；异 面直线所成的

26、角的范围为(0,90 ，如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，记作 ab . 求两 条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点平移定角计算. 例题精讲： 【例 1】已知异面直线a和b所成的角为 50 ，P为空间一定点，则过点P且与 a、 b 所成角都是30的直线有且仅有（） . A.1 条 B.2 条 C.3 条 D.4条 解：过 P作 a a， b b，若 Pa，则取 a 为 a ，若 P b，则取 b 为 b 这时 a ， b 相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和 130 . 记 a ， b 所确定的平面为 ，那么在平面 内，不存在与a ， b 都成 30的直线 过点

27、P 与 a ， b 都成 30角的直线必在平面 外，这直线在平面 的射影是a ，b 所成对顶角的平分线其 中射影是 50 对顶角平分线的直线有两条l 和 l ，射影是130 对顶角平分线的直线不存在故答案选B. 【例 2】如图正方体ABCDABC D中， 、分别为11和11的中点，、分别为与、 1 1与 EF 的 1111E FDC BCP QAC BD AC 交点 . （1）求证：、 、 、四点共面； DB F E （2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线 . D1 E C1 证明：（ 1） 正方体ABCDA1B1C1D1中， BB 1 / DD1， BD / B1D1

28、. Q F 又B D C中， 、为中点， A1 B 11 1 1E F DC 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴 A P 6 B EF/1 B1D1. EF /BD ,即 D、B、F、E四点共面. 2 （2）Q平面 AC， Q平面 BE， P平面 AC， P平面 BE ， 11 平面 AC 1 平面 BEPQ . 又AC平面 BER，R平面 AC， R 平面 BE ， R PQ . 即、 、三点共线 11PQ R 【例 3】已知直线/，直线 d 与 a 、 、分别相交于、 、 ，求证：、 、 d 四线共面 . a b cb cA B Ca b c 证明：因为 a/ b，由公理 2 的推论

29、，存在平面，使得a, b. c 又因为直线 d 与、 、 分别相交于、 、 ，由公理 1， d . a b cA B C 假设 c，则 cC, 在平面内过点 C作 c / b ， A C c B b 因为 b/ c，则 c/ c ，此与c cC 矛盾 .故直线 c. 综上述， a、 b、 c、d 四线共面 . d a 点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理 2 及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件 . 此例拓展的证 明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种 反证法的思路 . 【例 4】如图中，正方体ABCD A1 B1C1D1， E

30、、 F 分别是 AD、 AA1的中点 . （1）求直线AB1和CC1所成的角的大小； （2）求直线AB1和EF所成的角的大小 . 解：（ 1）如图，连结DC1， DC1 AB1， DC1和 CC1所成的锐角 CC1D就是 AB1和 CC1所成的 角 . CC1D=45 ， AB1和 CC1所成的角是45 . （2）如图，连结DA1、A1C1， EF A1D， AB1 DC1， A1DC1是直线 AB1和 EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60o ，即直线AB1和EF所成的角是60o. 点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问

31、题转 化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等几何 模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路. 第 10 讲 2.1.3 直线与平面、平面与平面位置关系 学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系. 知识要 点： 1.直线与平面的位置关系：（ 1）直线在平面内（有无数个公共点）；（ 2）直线与平面相交（有且只有一个公 共点）；（ 3）直线与平面平行（没有公共点） .分别记作： l； lP ； l /. 2. 两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直

32、线） . 分别记作/；l . 例题精讲： 【例 1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等，求异面直线AB和 CD所成的角 的大小 . 解：分别取 AC、AD、BC的中点 P、M、N 连接 PM、PN，由三角形的中位线性质知PN AB， PMCD，于是 MPN就是异面直线 AB和 CD成的角（如图所示）. 连结 MN、DN，设 AB=2， PM=PN=1. 而 AN=DN=3 ，由MNAD，AM=1，得MN=2 ， 222 AB、 CD成 90角 . A MN=MP+NP， MPN=90 . 异面直线 【例 2】在空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是CB、 E

33、CD的中点，若 AC+ BD= a ， AC BD= b，求EG 2 FH 2 . 解：四边形 EFGH是平行四边形， H B EG2FH 2=2 (EF 2 FG 2)=1 (AC 2 BD 2) 1 (a 2 2b) . 22 【例3】已知空间四边形 ABCD中， E、H 分别是 AB、AD的中点， F、G 分别 是 D FG C BC、CD上的点，且 CF CG 2 . ACBCD3 有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； E 7 H D G BFC 求证：（ 1）E、F、G、H四点共面；（ 2）三条直线EF、GH、AC交于一点 . 证明：（ 1） 在ABD和CBD中， E、H 分别

34、是 AB和 CD的中点， EH/ 1 BD. 2 又 CF CG2， FG/ 2 BD CBCD33 EH FG.所以， E、F、G、 H四点共面 . 第 11 讲2.2.1 直线与平面平行的判定 学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨 论证，认识和理解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线 线平行线面平行” . 知识要点： 1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行 . 2. 判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 . 符号表示为： a,b, a / ba / . 图形如右图所示. 例题

35、精讲： 【例 1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点， 求证： AF平面 PEC 、 .证明：设的中点为，连接 PCGEG FG F 为 PD中点， GF CD且 GF= 1 CD . 2 ABCD， AB=CD， E 为 AB中点， GFAE， GF=AE， 四边形 AEGF为平行四边形. EGAF， 又AF平面PEC，EG平面PEC， AF平面 PEC. 【例 2】在正方体ABCD-A1B1C1D1中， E、 F 分别为棱 BC、 C1D1的中点 . 求证： EF 平面 11D. BBD 证明：连接 AC交 BD于 O，连接 OE，则 OE DC， OE

36、= 1 DC. DCDC， DC=DC ， 2 F 为 DC 的中点， 111111 OE D1F， OE=D1F，四边形 D1 FEO为平行四边形. EFD1O. 又 EF平面 BBDD， DO平面 BBDD， EF平面 BBDD. 1111 111 【例 3】如图，已知 E 、 F 、 G 、 M 分别是四面体的棱AD 、CD 、 BD 、 BC 的A 中点，求证： AM 平面 EFG . E 证明：如右图，连结DM ，交 GF 于 O 点，连结 OE ， 在 BCD 中， G、F分别是 BD 、CD 中点，GF/BC ， BGD G 为 BD 中点， O 为 MD 中点， 在 AMD 中

37、， E 、 O 为 AD 、 MD 中点， EO / AM ，O FM 又 AM平面 EFG ， EO平面 EFG ， AM 平面 EFG .C 点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可 以了 . 注意适当添加辅助线，重视中位线在解题中的应用 . 【例 4】如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点 （ 1）求证：MN/ 平面PAD；（ 2）若 MNBC4，PA4 3 ，求异面直线PA与MN所成的角的大小. 解：（ 1）取的中点，连接，由 N 是的中点， PDHAHPC NH/ 1 DC.由M是AB的中点， NH/AM， 2 即A

38、MNH为平行四边形. MN / AH . 由 MN平面 PAD , AH平面 PAD ， MN / 平面 PAD . （ 2） 连接AC 并取其中点为O，连接OM、ON， / 1 / 1 PA， 所以ONM 就是异面直线 PA与 MN所成的角，且 MONO.由 MNBC 4 ， OM 2 BC ，ON 2 PA 4 3 , 得OM=2，ON= 2 3 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴8 所以 ONM 30 0 ，即异面直线 PA 与成 30的角 MN . 求两条异面直线所成角，点评：已知中点，牢牢抓住中位线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行 方法的关键也是平移其中一条或者两条直线

39、，得到相交的线线角，通过解三角形而得. 第 12 讲2.2.2 平面与平面平行的判定 学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解 空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想. 知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平 行用符号表示为： a, b, a b P a / / . ,b / 例题精讲： 【例 1】如右图，在正方体ABCD A1B1C1D1中， M、N、 P分别是 C1C、B1C1、C1D1的中点，求证：平面 1. ABD D1 证明：连结 BD， P、N分别是

40、 DC、BC 的中点， PNB D. 1 111111 1 又B1D1 BD， PNBD. 又 PN不在平面 ABD上， PN平面 ABD.A1B1 11 同理， MN平面 A1BD. 又 PN MN=N， 平面 PMN平面 A1BD. 【例 2】正方体ABCDA1B1C1D1中（ 1）求证：平面A1BD平面B1D1C； EG （2）若E、F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1平面 FBD D 证明：（ 1）由BB DD，得四边形 BBD D是平行四边形， BD BD， 1 / 1111 1 A 又 BD 平面 B1D1C， B1D1平面 B1D1C， BD平面 B1D1CB 同理

41、 A1 D平面 B1D1C而 A1D BD D，平面 A1BD平面 B1CD （2）由BDBD，得BD平面EBD取BB中点G，AEB G 111111 从而得 BE AG，同理 GF AD AGDF BE DF P 11 MNP平面 C1 F C DF平面 EB1D1平面 EB1D1平面 FBD 【例 3】已知四棱锥中 , 底面为平行四边形 .点 M、N、 P-ABCDABCD Q Q分别在 PA、BD、PD 上,且 PM：MA=BN：ND=PQ： QD. M 求证：平面平面. C MNQPBC 证明：PM：MA=BN： ND=PQ： QD.D MQ/ AD， NQ/ BP， , /平面. N

42、 而平面，平面 BA BPPBC NQPBCNQPBC 又ABCD为平行四边形， BC/ AD， MQ/ BC， 而 BC 平面 PBC， MQ平面PBC, MQ/ 平面PBC. 由 MQ NQ=Q，根据平面与平面平行的判定定理， 平面MNQ平面PBC. 点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个平 面后，转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行. 第 13 讲2.2.3 直线与平面平行的性质 学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面平 行的性质定理，灵活运用线面平行的判定

43、定理和性质定理，掌握“线线”“线面”平行的转化. 知 识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面 a / 和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.即：a b 例题精讲： 【例 1】经过正方体ABCD-A1B1 C1D1的棱 BB1作一平面交平面 证明：AA1 / BB 1, AA1平面 BEE1B1 , BB1平面 BEE1B1， AA1 / 平面 BEE 1B1. 又AA1平面 ADD1A1，平面ADD1A1平面 BEE1B1EE1， a a / b . b AA1D1D于 E1E，求证： E1E B1B D1C1 E 1 A1B1 AA1 / EE 1. E D

44、 C 有志者，事竟成，破釜沉舟，百二秦关终属楚； A B9 AA1 / BB 1 BB1/ EE 1 .则 AA1 / EE1 【例 2】如图， AB /， AC/BD ，C， D，求证： AC BD . 证明：连结 CD ， AC/BD ，AB 直线 AC 和 BD 可以确定一个平面，记为， C,D， C,D，CD ， CD AB/， AB，CD AB/ CD ，又 AC/ BD ， 四边形 ACDB 为平行四边形， ACBD . 第 14 讲2.2.4平面与平面平行的性质 学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的性 质定理，灵活运用面面平行

45、的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化. 知识要点： 1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线 平行 .用符号语言表示为：/,a,ba / b . 2.其它性质：/, ll /；/ ,ll； 夹在平行平面间的平行线段相等 . A C 例题精讲： 【例 1】如图，设平面平面 ，、是两异面直线，、分别是 AB CDM N M N AB、CD的中点，且 A、 C ， B、 D . 求证： MN .E 证明：连接 BC，取 BC的中点 E，分别连接 ME、 NE， D 则 ME AC，ME平面 ，又 NE BD， NE ， B 又 ME NE=E，

46、平面 MEN平面 ， MN 平面 MEN， MN . 【例 2】如图， ， ，D四点都在平面， 外，它们在内的射影 1，1， 1， A BCA BC D 是平行四边形的四个顶点，在内的射影A， B， C， D 在一条直线上，求证：ABCD 12222 是平行四边形 证明：A，B，C， D四点在内的射影A2，B2，C2，D2在一条直线上， A，B，C， D四点共面 又A，B，C， D四点在内的射影 A1，B1，C1， D1是平行四边形的四个顶点， 平面 ABB1A1平面 CDD1C1 AB， CD是平面 ABCD与平面 ABB1A1，平面 CDD1C1的交线 AB CD同理 AD BC四边形 A

47、BCD是平行四边形 第 15 讲2.3.1 直线与平面垂直的判定 学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解 空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定定理 证明直线与平面垂直的关系 . 掌握线面角的定义及求解 . 知识要点： 1.定义：如果直线l 与平面内的任意一条直线都垂直，则直线l 与平面互相垂直，记作l. l 平面 的垂线，直线 l 的垂面，它们的唯一公共点P 叫做垂足 . （线线垂直线面垂直） 2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表

48、示为： 若 l m， l n，mnB，m，n，则l 3.斜线和平面所成的角，简称“线面角” ，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角. 求直线和平面所成 的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“ 作（作出线面角）证（证 所作为所求） 求（解直角三角形）” . 通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的 连线是产生线面角的关键. 例题精讲： 苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴10 【例 1】四面体 ABCD 中，ACBD, E ,F 分别为 AD ,BC 的中点，且 EF 2 AC， BDC 90 ，求证： BD 平面 ACD . 2 证