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1、导数及其应用专题复习 一、求切线方程 例 1 （2012 广东理）曲线 3 3yxx在点(1,3)处的切线方程为_ 解: 2 ( )31fxx切线的斜率k 2 (1)3 112f， 切线方程为32(1)yx，即21yx 练习 1. （2014 广东文）曲线53 x ye在点(0, 2)处的切线方程为 _520xy 练习 2(2014 江西文 )若曲线lnyxxP上点处的切线平行于直线210,xyP则点的 坐标是 _.( , )e e 练习 3(2014 新课标文 )已知函数 32 ( )32f xxxax，曲线( )yf x在点(0,2)处 的切线与x轴交点的横坐标为2, 则_a. 1 练习
2、4 （2014 广东理）曲线 2 5x ey 在点)3, 0(处的切线方程为 。53yx 练习5(2014 新课标理 )设曲线ln(1)yaxx在点(0,0)处的切线方程为2yx,则 a( D ) A0B1C2 D3 点拨：求切点方程要注意: 已知点是否为切点？若未知切点应设切点坐标。若切点为 00 (,)xy,则切线的斜率 0 ()kfx切点既在切线上又在曲线上。 二、求函数的单调区间 例 2（2014 湖北文数）求函数 ln ( ) x f x x 的单调区间。 解: ( )f x的定义域为(0,)。 ln ( ) x f x x 2 1ln ( ) x fx x 当( )0fx，即0 x
3、e时，( )f x 单调递增； 当( )0fx，即xe时，( )f x单调递减； 故( )f x的单调递增区间为(0, )e，单调递减区间为( ,)e 点拨：求函数的单调区间应注意：定义域优先；单调区间不能用并集表示。 练习 6求函数 2 1 ( )ln 2 f xxx的单调区间 解:( )f x的定义域为(0,)， 2 11 ( ) x fxx xx 由( )0fx得10x或1x；由( )0fx得1x或01x ( )f x的单调递增区间为(1,)，单调递减区间为(0,1) 练习 7 （2014 广东文数）已知函数 32 1 ( )1 () 3 f xxxaxaR， 求函数( )f x的单调区
4、间； 解: 2 ( )2,fxxxa方程 2 20xxa的判别式：4(1)a 当1a时，0，( )0fx，此时( )f x在(,)上为增函数； 当1a时，方程 2 20xxa的根为11xa， 当(, 11)xa时，( )0fx，此时( )f x为增函数； 当( 11, 11)xaa时，( )0fx，此时( )f x为减函数； 当( 11,)xa时，( )0fx，此时( )f x为增函数； 综上，当 1a 时，( )f x的单调递增区间是(,)，无单调递减区间； 当1a时，( )fx的单调递增区间是(, 11)a和( 11,)a， 单调递减区间是( 11, 11)aa 三、求函数的极值 例 3(
5、2014 福建文数 )已知函数( ) x f xeax（a为常数）的图像与y轴交于点A，曲 线( )yf x在点A处的切线斜率为1,(1) 求a的值及函数( )f x的极值； 解：由( ) x f xeax得( ) x fxea, 又( )11fxa,得2a ( )2 x f xex,( )2 x fxe, 令( )0fx得ln 2x 当ln 2x时,( )0fx,( )f x单调递减 ;当ln2x时,( )0fx,( )f x单调递增 ; 当 ln 2x 时, ( )f x有极小值 , 且极小值为 ln 2 (ln 2)2ln 22ln 4fe, ( )f x无极大值 . 点拨：求函数极值时
6、选求导,然后把导函数因式分解,最高次项系数不是1 的要提取系数 . 练习 8 （2014 天津文数）已知函数( ) 23 2 3 fxxax=-()0a，xR?. （）求( )f x的单调区间和极值； 解： （）因为 ( ) 23 2 3 fxxax=-()0a，所以( )() 2 2221fxxaxxax =-=-. 令( )0fx=得0x =或 1 a . 因为当 0x时，( )0fx，( )fx单调递减， 当 1 0x a 0 时， 求函数( )f x在1,2上的最小值 . 解： () 1 ( )(0)fxax x 当 a 0 时， 1 ( )fxa x 0， 故函数( )f x增函数，
7、即函数的( )f x单调增区间为(0,) 当 0a 时，令 1 ( )fxa x 0，可得 1 x a , 当 1 0x a 时， 1 ( )0 ax fx x ；当 1 x a 时， 1 ( )0 ax fx x ， 故函数( )f x的单调递增区间为 1 0, a ,单调减区间是 1 , a . ()当 1 1 a ,即1a时 ,函数( )f x在区间 1,2上是减函数 , ( )f x的最小值是(2)ln 22fa. 当 1 2 a ，即 1 2 a时，函数( )f x在区间 1,2上是增函数， ( )f x的最小值是(1)fa. 当 1 12 a ，即 1 1 2 a时，函数( )f
8、x在 1 1, a 上是增函数，在 1 ,2 a 是减函数 又(2)(1)ln 2ffa，当 1 ln 2 2 a时,最小值是(1)fa； 当ln21a时,最小值为(2)ln 22fa. 综上可知 ,当0ln 2a时, 函数( )f x的最小值是 min ( )f xa；当ln 2a时，函数 ( )f x的最小值是 min ( )ln 2f x. 练习 20已知函数 2 1 ( )(21)2ln() 2 f xaxaxxaR. ( ) 若曲线( )yf x在 1x 和 3x 处的切线互相平行，求a的值； ( ) 求( )f x的单调区间； ( ) 设 2 ( )2g xxx，若对任意 1 (0
9、, 2x，均存在 2 (0, 2x，使得 12 ()()f xg x， 求 a的取值范围 . 解： 2 ( )(21)fxaxa x (0)x. （）由(1)(3)ff，解得 2 3 a. （） (1)(2) ( ) axx fx x (0)x. 当 0a 时， 0x ， 10ax ， 在区间(0,2)上，( )0fx；在区间(2,)上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是(0,2)，单调递减区间是(2,). 当 1 0 2 a时， 1 2 a ， 在区间(0,2)和 1 (,) a 上，( )0fx；在区间 1 (2,) a 上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是(0,2)
10、和 1 (,) a ，单调递减区间是 1 (2,) a . 当 1 2 a时， 2 (2) ( ) 2 x fx x ， 故( )f x的单调递增区间是(0,). 当 1 2 a时， 1 02 a ， 在区间 1 (0,) a 和(2,)上，( )0fx；在区间 1 (,2) a 上( )0fx， 故( )f x的单调递增区间是 1 (0,) a 和(2,)，单调递减区间是 1 (,2) a . （）由已知，在(0,2上有 maxmax ( )( )f xg x 由已知， max ( )0g x，由（）可知， 当 1 2 a时，( )f x在(0, 2上单调递增， 故 max ( )(2)22(21)2ln 2222ln 2f xfaaa， 所以，222ln 20a，解得ln 2 1a， 故 1 ln 2 1 2 a. 当 1 2 a时，( )f x在 1 (0, a 上单调递增，在 1 ,2 a 上单调递减， 故 max 11 ( )()22ln 2 f xfa aa . 由 1 2 a可知 11 lnlnln1 2e a，2ln2a，2ln2a， 所以，22ln0a， max ( )0f x， 综上所述，ln21a.