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1、导数题型总结 1、分离变量 -用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（0,=0,0） 2、变更主元 -已知谁的范围就把谁作为主元 3、根分布4、判别式法 -结合图像分析 5、二次函数区间最值求法- （1）对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 （ 2）端点处和顶点是最值所在 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立 此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)( xf得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 第三种：变更主元（即关于某字母的一次函数）- （已知谁的范围就把谁作为主元）。 例 1：设函数( )yf x在区间 D 上的导数为( )fx，( )fx
2、在区间 D 上的导数为( )g x，若在区间D 上 ，()0g x恒 成 立 ， 则 称 函 数( )yf x在 区 间D上 为 “ 凸 函 数 ” ， 已 知 实 数m 是 常 数 ， 432 3 ( ) 1262 xmxx f x （1）若( )yfx在区间0,3上为“凸函数” ，求 m 的取值范围； （2）若对满足2m的任何一个实数m，函数( )f x在区间,a b上都为“凸函数” ，求ba的最大 值. 解:由函数 432 3 ( ) 1262 xmxx f x得 32 ( )3 32 xmx fxx 2 ( )3g xxmx （1）( )yf x在区间0,3上为“凸函数” ， 则 2
3、( )30g xxmx在区间 0,3上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于 max( ) 0gx (0)030 2 (3)09330 g m gm 解法二：分离变量法： 当0x时, 2 ( )330g xxmx恒成立 , 当03x时 , 2 ( )30g xxmx恒成立 等价于 2 33x mx xx 的最大值（03x）恒成立， 而 3 ( )h xx x （03x）是增函数，则 max( ) (3)2hxh 2m (2) 当2m时( )f x在区间,a b上都为“凸函数” 则等价于当2m时 2 ( )30g xxmx恒成立 变更主元法 再等价于 2 ()30F mmxx在2m恒成
4、立（视为关于m的一次函数最值问题） 2 2 ( 2)0230 11 (2)0 230 Fxx x F xx 2ba 例 2：设函数), 10(32 3 1 )( 223 Rbabxaaxxxf （）求函数f（x）的单调区间和极值； （）若对任意的,2, 1aax不等式( )fxa恒成立，求a的取值范围 . 解： （） 22 ( )433fxxaxaxaxa 01a 令, 0)(xf得)(xf的单调递增区间为（a,3a） -2 2 3a a ( )f x a 3a 令,0)(xf得)(xf的单调递减区间为（，a）和（ 3a，+） 当 x=a 时，)(xf 极小值=; 4 3 3 ba当 x=3a
5、 时，)(xf 极大值=b. （）由 |)(xf|a，得：对任意的,2,1aax 22 43axaxaa恒成立 则 等 价 于( )g x这 个 二 次 函 数 max min ( ) ( ) gxa gxa 22 ( )43g xxaxa的 对 称 轴2xa 01,a 12aaaa（放缩法） 即定义域在对称轴的右边，( )g x这个二次函数的最值问题：单调增函数的最值问题。 22 ( )431,2g xxaxaaa在上是增函数 . max min ( )(2)21. ( )(1)44. g xg aa g xg aa 于是，对任意2, 1aax，不等式恒成立，等价于 (2)44,4 1. (
6、1)215 g aaa a g aaa 解得 又, 10a.1 5 4 a 点评：重视二次函数区间最值求法：对称轴（重视单调区间）与定义域的关系 例 3：已知函数 32 ( )f xxax图象上一点(1, )Pb处的切线斜率为 3， 32 6 ( )(1)3(0) 2 t g xxxtxt （）求,a b的值； （）当 1,4x时，求( )f x的值域； （）当1,4x时，不等式( )( )f xg x恒成立，求实数t 的取值范围。 解： （） /2 ( )32fxxax / (1)3 1 f ba ，解得 3 2 a b （）由（）知，( )fx在 1,0上单调递增，在0,2上单调递减，在2
7、, 4上单调递减 又( 1)4,(0)0,(2)4,(4)16ffff ( )f x的值域是 4,16 2xa 1,2aa （）令 2 ( )( )( )(1)31,4 2 t h xf xg xxtxx 思路 1：要使( )( )f xg x恒成立，只需( )0h x，即 2 (2 )26t xxx分离变量 思路 2：二次函数区间最值 二、参数问题 1、题型一：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围 解法 1：转化为0)(0)( xfxf或在给定区间上恒成立，回归基础题型 解法2：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区 间的子集； 做题时一定
8、要看清楚“在（m , n）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a , b） ” ，要弄清楚两句话的区 别：前者是后者的子集 例 4：已知Ra，函数xax a xxf)14( 2 1 12 1 )( 23 （）如果函数)()(xfxg是偶函数，求)(xf的极大值和极小值； （）如果函数)(xf是),(上的单调函数，求a的取值范围 解：)14() 1( 4 1 )( 2 axaxxf. （）( )fx是偶函数，1a. 此时xxxf3 12 1 )( 3 ，3 4 1 )( 2 xxf， 令0)(xf，解得：32x. 列表如下： x (, 23) 23(23,23) 23(23,+ ) )(xf+
9、0 0 + )(xf递增极大值递减极小值递增 可知：( )fx的极大值为34)32(f，( )fx的极小值为34)32(f. （）函数)(xf是),(上的单调函数， 21 ( )(1)(41)0 4 fxxaxa，在给定区间R 上恒成立判别式法 则 22 1 (1)4(41)20 4 aaaa，解得：02a. 综上，a的取值范围是20aa. 例 5、已知函数 32 11 ( )(2)(1) (0). 32 f xxa xa x a （ I）求( )f x的单调区间； （ II）若( )f x在 0，1上单调递增 ， 求 a 的取值范围。子集思想 解： （I） 2 ( )(2)1(1)(1).f
10、xxa xaxxa 1、 2 0,( )(1)0,afxx当时恒成立 当且仅当1x时取“ =”号，( )(,)f x 在单调递增。 2、 1212 0,( )0,1,1,afxxxaxx当时由得且 单调增区间：(, 1),(1,)a 单调增区间：( 1,1)a （II）当( )0,1,f x 在上单调递增则0,1是上述增区间的子集： 1、0a时，( )(,)f x 在单调递增符合题意 2、0,11,a，10a1a 综上， a 的取值范围是0，1。 2、题型二：根的个数问题 题 1 函数 f(x) 与 g(x)（或与 x 轴）的交点，即方程根的个数问题 解题步骤 第一步：画出两个图像即“穿线图”
11、 （即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后 减再增”还是“先减后增再减” ； 第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系； 第三步：解不等式（组）即可。 例 6、已知函数 23 2 )1( 3 1 )(x k xxf，kxxg 3 1 )(，且)(xf在区间),2(上为增函数 （1）求实数k的取值范围； （2）若函数)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，求实数k的取值范围 解： （ 1）由题意 xkxxf) 1()( 2 )(xf在区间),2(上为增函数， a-1 -1 ( )f x 0) 1()( 2 xkxxf在区间),2(
12、上恒成立（分离变量法） 即xk1恒成立，又2x，21k，故1kk的取值范围为1k （2）设 3 1 2 )1( 3 )()()( 2 3 kxx kx xgxfxh， )1)() 1()( 2 xkxkxkxxh 令0)(xh得kx或1x由（ 1）知1k， 当1k时，0) 1()( 2 xxh，)(xh在 R上递增，显然不合题意 当1k时，)(xh，)(xh随x的变化情况如下表： x ),(k k )1 ,(k 1 ), 1( )(xh 00 )(xh 极大值 3 1 26 23 kk 极小值 2 1k 由于0 2 1k ，欲使)(xf与)(xg的图象有三个不同的交点，即方程0)(xh有三个不
13、同的实根，故 需0 3 1 26 23 kk ，即0)22)(1( 2 kkk 022 1 2 kk k ，解得31k 综上，所求k的取值范围为31k 根的个数知道，部分根可求或已知。 例 7、已知函数 321 ( )2 2 f xaxxxc （1）若1x是( )f x的极值点且( )f x的图像过原点，求( )f x的极值； （2）若 2 1 ( ) 2 g xbxxd，在（ 1）的条件下，是否存在实数b，使得函数( )g x的图像与函数( )f x的 图像恒有含1x的三个不同交点？若存在，求出实数b的取值范围；否则说明理由。高 1 考 1 资 1 源 2 网解： （1）( )f x的图像过
14、原点，则(0)00fc 2 ( )32fxaxx， 又 1x是( )f x的极值点，则( 1)31201faa 2 ( )32(32)(1)0fxxxxx 2 3 -1 ( )f x 3 ( )( 1) 2 fxf极大值 22 2 ()() 37 fxf极小值 （2）设函数( )g x的图像与函数( )f x的图像恒存在含1x的三个不同交点， 等价于( )( )f xg x有含1x的三个根，即： 1 ( 1)( 1)(1) 2 fgdb 322111 2(1) 222 xxxbxxb整理得： 即： 32 11 (1)(1)0 22 xbxxb恒有含1x的三个不等实根 3211 ( )(1)(1
15、)0 22 h xxbxxb有含1x的根， 则( )h x必可分解为(1)()0x二次式，故用添项配凑法因式分解， 3 x 22 xx 2 11 (1)(1)0 22 bxxb 2211 (1)(1)(1)0 22 xxbxxb 22 1 (1)(1)2(1)0 2 xxbxxb 十字相乘法分解： 2 1 (1)(1)(1)10 2 xxbxbx 2 11 (1)(1)(1)0 22 xxbxb 3211 (1)(1)0 22 xbxxb恒有含1x的三个不等实根 等价于 2 11 (1)(1)0 22 xbxb有两个不等于 -1 的不等实根。 2 2 11 (1)4(1)0 42 11 ( 1
16、)(1)(1)0 22 bb bb (, 1)( 1,3)(3,)b 题 2 切线的条数问题，即以切点 0 x为未知数的方程的根的个数 例 7、已知函数 32 ( )f xaxbxcx在点 0 x处取得极小值4，使其导数( )0fx的x的取值范围 为(1,3)，求： （ 1）( )f x的解析式；（ 2）若过点( 1,)Pm可作曲线( )yf x的三条切线，求实数m的取 值范围 （1）由题意得： 2 ( )323 (1)(3),(0)fxaxbxca xxa 在(,1)上( )0fx；在(1,3)上( )0fx；在(3,)上( )0fx 因此( )f x在 0 1x处取得极小值4 4abc，(
17、1)320fabc，(3)2760fabc 由联立得： 1 6 9 a b c ， 32 ( )69f xxxx （2）设切点Q( ,( )t f t， , ( )( )()yf tftxt 232 ( 3129)()(69 )yttxtttt 222 ( 3129)(3129)(69)ttxtttt tt 22 ( 3129)(26 )ttxttt过( 1,)m 232 ( 3129)( 1)26mtttt 32 ( )221290g ttttm 令 22 ( )66126(2)0g ttttt， 求得：1,2tt，方程( )0g t有三个根。 需： ( 1)0 (2)0 g g 23 12
18、90 16 122490 m m 16 11 m m 故：1116m；因此所求实数m的范围为：( 11,16) 题 3 已知( )f x在给定区间上的极值点个数则有导函数=0 的根的个数 解法：根分布或判别式法 例 8、 解：函数的定义域为 R（）当 m4 时， f (x) 1 3x 37 2x 210x， ( )fxx 27x10，令 ( )0fx， 解得5,x或2x. 令( )0fx， 解得25x 可知函数f(x)的单调递增区间为(,2)和（ 5，），单调递减区间为 2,5 （）( )fxx2(m3)xm6, 要使函数yf (x)在（ 1，）有两个极值点,( )fxx2(m3)x m 6=
19、0 的根在（ 1，） 根分布问题： 则 2 (3)4(6)0; (1)1(3)60; 3 1. 2 mm fmm m ， 解得 m3 例 9、已知函数 23 2 1 3 )(xx a xf，)0,(aRa（1）求)(xf的单调区间；（2）令( )g x 1 4 x 4f（x） （x R）有且仅有3 个极值点，求a的取值范围 解： （ 1）)1()( 2 axxxaxxf 当0a时，令0)( xf解得0 1 x a x或，令0)( xf解得0 1 x a ， 所以)(xf的递增区间为),0() 1 ,( a ，递减区间为)0, 1 ( a . 当0a时，同理可得)(xf的递增区间为) 1 0(
20、a ，递减区间为), 1 ()0,( a . （2） 432 11 3 ) 42 (g a xxxx有且仅有3 个极值点 223 (1( )axxxxxxagx=0 有 3 个根，则0x或 2 10xax，2a 方程 2 10xax有两个非零实根，所以 2 40,a 2a或2a 而当2a或2a时可证函数( )yg x有且仅有 3 个极值点 其它例题： 1、 （最值问题与主元变更法的例子）. 已知定义在R上的函数 32 ( )2f xaxaxb）（0a在区间2,1 1 上的最大值是5，最小值是11. （）求函数( )f x的解析式； （）若1 , 1t时，0(txxf）恒成立，求实数x的取值范围
21、 . 解： （） 322 ( )2,( )34(34)f xaxaxbfxaxaxaxx 令 ( )fx=0, 得 12 4 0,2,1 3 xx 因为0a，所以可得下表： x2,0 0 0,1 ( )fx+ 0 - ( )f x极大 因此)0(f必为最大值 , 50 ）（f因此5b，( 2)165, (1)5,(1)( 2)fafaff， 即11516)2(af，1a，.52( 23 xxxf） （）xxxf43)( 2 ，0(txxf）等价于043 2 txxx， 令xxxttg43)( 2 ，则问题就是0)(g t在 1 , 1t上恒成立时，求实数x的取值范围， 为此只需 0)1 0)
22、1( （g g ，即 0 053 2 2 xx xx ， 解得10x，所以所求实数x的取值范围是0 ，1. 2、 （根分布与线性规划例子） 已知函数 32 2 ( ) 3 f xxaxbxc () 若函数( )f x在1x时有极值且在函数图象上的点(0,1)处的切线与直线30xy平行 , 求 )(xf的解析式； () 当( )fx在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值时 , 设点(2,1)M ba所在平面 区域为 S, 经过原点的直线L 将 S 分为面积比为1:3 的两部分 , 求直线 L 的方程 . 解： (). 由 2 ( )22fxxaxb, 函数( )fx在1x时有极值,
23、220ab (0)1f1c 又( )f x在(0,1)处的切线与直线30xy平行 , (0)3fb故 1 2 a 3221 ( )31 32 f xxxx. 7 分 () 解法一 : 由 2 ( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0 (1)0 (2)0 f f f 即 0 220 480 b ab ab 令( ,)M xy, 则 2 1 xb ya 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx 故点M所在平面区域S 为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3 (0,) 2
24、E, 2 ABC S 同时 DE 为 ABC 的中位线 , 1 3 DECABED SS四边形 所求一条直线L 的方程为 : 0x 另一种情况设不垂直于x 轴的直线L 也将 S分为面积比为1:3 的两部分 , 设直线 L 方程为ykx,它与 AC,BC 分别交于F、G, 则0k, 1S四边形 DEGF 由 220 ykx yx 得点 F 的横坐标为 : 2 21 F x k 由 460 ykx yx 得点 G 的横坐标为 : 6 41 G x k OGEOFD SSS 四边形 DEGF 6131 1 222 2 1 4121kk 即 2 16250kk 解得 : 1 2 k或 5 8 k(舍去
25、 ) 故这时直线方程为: 1 2 yx 综上 ,所求直线方程为: 0x或 1 2 yx. . .12 分 () 解法二 : 由 2 ( )22fxxaxb及( )f x在(0,1)x取得极大值且在(1,2)x取得极小值 , (0)0 (1)0 (2)0 f f f 即 0 220 480 b ab ab 令( ,)Mxy, 则 2 1 xb ya 1 2 ay bx 20 220 460 x yx yx 故点M所在平面区域S 为如图 ABC, 易得( 2,0)A, ( 2,1)B, (2,2)C, (0,1)D, 3 (0,) 2 E, 2 ABC S 同时 DE 为 ABC 的中位线 , 1
26、 3 DECABED SS 四边形所求一条直线L 的方程为 : 0x 另一种情况由于直线BO 方程为 : 1 2 yx, 设直线 BO 与 AC 交于 H , 由 1 2 220 yx yx 得直线 L 与 AC 交点为 : 1 ( 1,) 2 H 2 ABC S, 111 2 222 DEC S, 11 22 22 11 1 22 HABOAOH SSS AB 所求直线方程为: 0x或 1 2 yx 3、 （根的个数问题）已知函数 32 f(x)axbx(c3a2b)xd (a0)的图象如图所示。 （）求cd、的值； （）若函数f(x)的图象在点(2,f(2)处的切线方程为3xy110， 求
27、函数 f ( x ) 的解析式； （）若 0 x5,方程f(x)8a有三个不同的根，求实数a的取值范围。 解：由题知： 2 f (x)3ax2bx+c-3a-2b （）由图可知函数 f ( x )的图像过点 ( 0 , 3 )，且1f= 0 得 3 32c320 d abab0 3 c d （）依题意2f= 3 且 f ( 2 ) = 5 124323 846435 abab abab 解得 a = 1 , b = 6 所以 f ( x ) = x 3 6x 2 + 9x + 3 （）依题意f ( x ) = ax3 + bx2 ( 3a + 2b )x + 3 ( a 0 ) xf= 3ax
28、 2 + 2bx 3a 2b 由5f= 0b = 9a 若方程 f ( x ) = 8a 有三个不同的根，当且仅当满足 f ( 5 ) 8af ( 1 ) 由得 25a + 38a7a + 3 11 1 a 3 所以当 11 1 a3 时，方程f ( x ) = 8a 有三个不同的根。12 分 4、 （根的个数问题）已知函数 32 1 ( )1() 3 f xxaxxaR （ 1）若函数( )f x在 12 ,xx xx处取得极值，且 12 2xx，求a的值及( )f x的单调区间； （ 2）若 1 2 a，讨论曲线( )f x与 215 ( )(21)( 21) 26 g xxaxx的交点个
29、数 解： （1） 2 ( )21f xxax 1212 2 ,1xxa xx 22 121212 ()4442xxxxx xa 0a2 分 22 ( )211fxxaxx 令( )0fx得1,1xx或 令( )0fx得11x ( )f x的单调递增区间为(, 1)，(1,)，单调递减区间为( 1,1) 5 分 （2）由题( )( )fxg x得 322115 1(21) 326 xaxxxax 即 32 111 ()20 326 xaxax 令 32111 ( )()2( 21) 326 xxaxaxx6 分 2 ( )(21)2(2 )(1)xxaxaxa x 令( )0x得2xa或1x7
30、分 1 2 a 当22a即1a时 x 2 ( 2,1) 1 此时， 9 80 2 a，0a，有一个交点；9 分 当22a即 1 1 2 a时， x 2 ( 2,2 )a2a(2 ,1)a1 ( )x0 ( )x 9 8 2 a 221 (32 ) 36 aaa 221 (32 )0 36 aa, 当 9 80 2 a即 9 1 16 a时,有一个交点； 当 9 800 2 aa，且即 9 0 16 a时，有两个交点； 当 1 0 2 a时， 9 80 2 a，有一个交点13 分 综上可知，当 9 16 a或 1 0 2 a时，有一个交点； 当 9 0 16 a时，有两个交点14 分 5、 （简
31、单切线问题）已知函数 2 3 )( a x xf图象上斜率为3 的两条切线间的距离为 5 102 ，函数 2 3 ( )( )3 bx g xf x a （）若函数)(xg在1x处有极值，求)(xg的解析式； （） 若函数)(xg在区间1 , 1上为增函数， 且)(4 2 xgmbb在区间 1 , 1上都成立， 求实数m的 取值范围 （ 1） f(x)= 3/a2 ?x2， 由3/a2 ?x2=3 得 x=a， 即切点坐标为（a，a） ， （-a，-a） 切线方程为y-a=3（x-a） ，或 y+a=3（ x+a） （2 分） ( )x ( )x 9 8 2 a a 整理得 3x-y-2a=0
32、 或 3x-y+2a=0 解得 a= 1， f（x）=x3 g（ x）=x3-3bx+3（ 4 分） g（ x）=3x2-3b， g（x）在 x=1 处有极值， g（ 1）=0， 即 312-3b=0，解得 b=1 g（ x）=x3-3x+3（6 分） （ 2）函数g（x）在区间 -1，1上为增函数， g（ x）=3x2-3b 0 在区间 -1，1上恒成立， b 0， 又 b2-mb+4 g（x）在区间 -1，1上恒成立， b2-mb+4g（1） （8 分） 即 b2-mb+4 4-3b，若 b=0，则不等式显然成立，若b0， 则 mb+3 在 b（ -， 0）上恒成立 m3 故 m 的取值范围是3，+）