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1、北京市西城区2018 年九年级模拟测试 数学试卷2018.5 一、 选择 题 （本 题共 16 分， 每小 题 2 分） 第 1-8 题均有四个选项，符合题意的选项只有 一个 . 1. 如图所示， ab，直线 a 与直线 b 之间的距离是 A线段 P A 的长度B线段 PB 的长度 C线段 PC 的长度D线段 CD 的长度 2. 将某不等式组的解集 x3 表示在数轴上，下列表示正确的是 3. 下列运算中，正确的是 ABCD 4. 下列实数中，在2 和 3 之间的是 ABCD 5. 一副直角三角板如图放置，其中C =DFE = 90 ， A = 45 ， E = 60 ，点 F 在 CB 的延长
2、线上 .若 DE CF， 则 BDF 等于 A35B30 C25D15 6. 中国古代在利用“计里画方”（比例缩放和直角坐 标网格体系）的方法制作地图时，会利用测杆、 水准仪和照板来测量距离在如图所示的测量距 离 AB 的示意图中，记照板“内芯”的高度为EF. 观测者的眼睛 （图中用点C 表示）与 BF 在同一水 平线上，则下列结论中，正确的是 A EFCF ABFB B EFCF ABCB C CECF CAFB D CECF EACB 7. 在一次男子马拉松长跑比赛中，随机抽取了10 名选手，记录他们的成绩（所用的时间）如下： 1 224 56xxx 326 xxx 236 ()xx 33
3、 ()xyxy 2 3 25 3 28 1.本试卷共8 页，共三道大题，28 道小题，满分100 分，考试时间120 分钟。 考2.在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和学号。 生3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 须4.在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。 知5.考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。 选手1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 时间 (min) 129 136 140 145 146 148 154 158 165 175 由此所得的以下推断不正确 的是 A这组样本数据的平均数超过130 B这组样本数据的
4、中位数是147 C在这次比赛中，估计成绩为130 min 的选手的成绩会比平均成绩差 D在这次比赛中，估计成绩为142 min 的选手，会比一半以上的选手成绩要好 8如图 1 所示，甲、乙两车沿直路同向行驶， 车速分别为20 m/s 和 v(m/s)，起初甲车在乙 车前 a (m)处，两车同时出发，当乙车追上甲 车时，两车都停止行驶设x(s)后两车相距y (m)，y 与 x 的函数关系如图2 所示有以下 结论： 图 1 中 a 的值为 500； 乙车的速度为35 m/s； 图 1 中线段 EF 应表示为5005x； 图 2 中函数图象与x 轴交点的横坐标为100 其中所有的正确结论是 AB C
5、D 二、填空题 （本题共16 分，每小题2 分） 9.如果2x有意义，那么x 的取值范围是 10. 不透明袋子中装有5 个红色球和3 个蓝色球，这些球除了颜色外没有其他差别.从袋子中随机摸出一个 球，摸出蓝色球的概率为 11. 如图，等边三角形ABC 内接于 O，若 O 的半径为2，则图中 阴影部分的面积等于 12.某校“百变魔方”社团为组织同学们参加学校科技节的 “最强大脑”大赛，准备购买A，B 两款魔方 .社长发现 若购买 2 个 A 款魔方和6 个 B 款魔方共需170 元，购买 3 个 A 款魔方和购买8 个 B款魔方所需费用相同. 求每 款魔方的单价 .设 A 款魔方的单价为x 元，
6、 B 款魔方的单 价为 y 元，依题意可列方程组为. 13. 如图，在矩形ABCD 中，顺次连接矩形四边的中点得到四边形EFGH . 若 AB= 8，AD= 6，则四边形EFGH 的周长等于 A 款B 款 14. 在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线 2 3(2)1yx平移后得到抛物线 2 32yx. 请你写出一种平移 方法 . 答：. 15. 如图， AB 为 O 的直径， AC 与 O 相切于点A，弦 BDOC. 若36C，则 DOC= 16. 我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系 xOy 中， 矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，边AD 长为 5. 点记为） ，现固
7、定边AB，“推” 矩形使点D 落在 y 轴的正半轴上（落 相应地，点C 的对应点的坐标为. 三、解答题 （本题共68 分，第 1721 题每小题5 分，第 22、23 题每小题6 分，第 24 题 5 分，第 25、26 题每小题6 分，第 27、28 题每小题7 分） 17计算： 0 6cos6027( 2)32 18解方程： 1 3 22 x xx . 19. 如图，在四边形ABCD 中， E 为 AB 的中点， DEAB 于点 E， 66A，90ABC，BC= AD ，求 C 的度数 20.先化简，再求值： 2 569 1 22 xx xx ，其中5x 21.如图，在RtABC 中，90
8、ACB，CDAB 于点 D， BEAB 于点 B，BE=CD ，连接 CE，DE （1）求证：四边形CDBE 为矩形； （2）若 AC=2， 1 tan 2 ACD，求 DE 的长 22.阅读下列材料： 材料一： 早在 2011年 9月 25 日， 北京故宫博物院就开始尝试网络预售门票，2011年全年网络售票仅占1.68%.2012 年至 2014 年，全年网络售票占比都在2%左右 .2015 年全年网络售票占17.33%，2016 年全年网络售票占比 增长至 41.14%.2017 年 8 月实现网络售票占比77%.2017 年 10 月 2 日，首次实现全部网上售票.与此同时， 网络购票也
9、采用了“ 人性化 ” 的服务方式， 为没有线上支付能力的观众提供代客下单服务.实现全网络售票措 施后，在北京故宫博物院的精细化管理下，观众可以更自主地安排自己的行程计划，获得更美好的文化空 间和参观体验 . ( 3,0)A(4,0)B D C 材料二： 以下是某同学根据网上搜集的数据制作的2013-2017 年度中国国家博物馆参观人数及年增长率统计表. 年度2013 2014 2015 2016 2017 参观人数（人次）7 450 000 7 630 000 7 290 000 7 550 000 8 060 000 年增长率（ % ）38.7 2.4 -4.5 3.6 6.8 他还注意到了
10、如下的一则新闻：2018 年 3月 8 日， 中国国家博物馆官方微博发文，宣布取消纸质门票， 观众持身份证预约即可参观. 国博正在建设智慧国家博物馆，同时馆方工作人员担心的是：“ 虽然有故宫免 （纸质） 票的经验在前， 但对于国博来说这项工 作仍有新的挑战.参观故宫需要观众网上付费购 买门票，他遵守预约的程度是不一样的.但 （国博） 免费就有可能约了不来，挤占资源，所以难度其 实不一样 . ” 尽管如此，国博仍将积极采取技术 和服务升级， 希望带给观众一个更完美的体验方 式. 根据以上信息解决下列问题： （1）补全以下两个统计图； （2）请你预估2018 年中国国家博物馆的参观人数，并说明你的
11、预估理由. 23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，函数 m y x （0x）的图象经过点( 4, )An，AB x 轴于点 B，点 C 与点 A 关于原点 O 对称，CDx 轴于点 D， ABD 的面积为8. （1）求 m，n 的值； （2）若直线ykxb（k0）经过点C，且与 x 轴，y 轴的交点分别为点E，F，当2CFCE时， 求点 F 的坐标 24如图， AB 是 O 的直径， C 是圆上一点，弦CDAB 于点 E，且 DC=AD 过点 A 作 O 的切线，过 点 C 作 DA 的平行线，两直线交于点F，FC 的延长线交AB 的延长线于点G. （1）求证： FG 与 O 相切； （2
12、）连接 EF，求tanEFC的值 . 25. 阅读下面材料： 已知：如图，在正方形ABCD 中，边 1 ABa. 按照以下操作步骤， 可以从该正方形开始，构造一系列的正方形，它们之间的边满足一定的关系， 并且一个比一个小. 请解决以下问题： （1）完成表格中的填空： ； ； （2）根据以上第三步、第四步的作法画出第三个正方形CHIJ （不要求尺规作图）. 26. 抛物线 M： 2 41yaxaxa(a0)与 x 轴交于A，B 两点（点A 在点 B 左侧），抛物线的顶点为 D. （1）抛物线 M 的对称轴是直线_； （2）当 AB=2 时，求抛物线M 的函数表达式； （3）在（ 2）的条件下，直
13、线l：ykxb(k0)经过抛物线的顶点D，直线 yn与抛物线 M 有两 个公共点， 它们的横坐标分别记为 1 x， 2 x， 直线yn与直线 l 的交点的横坐标记为（） ， 若当n时，总有 1332 0xxxx，请结合函数的图象，直接写出k 的取值范围 . 3 x 3 0x 21 27. 如图 1，在等边三角形ABC 中，CD 为中线， 点 Q 在线段 CD 上运动， 将线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转， 使 得点A的 对应 点E落 在射 线B C上 ， 连接B Q ， 设 D A Q = （0 60 且 30 ）. （1）当 0 30 时， 在图 1 中依题意画出图形，并求BQE（用含 的式
14、子表示） ； 探究线段CE，AC， CQ 之间的数量关系，并加以证明； （2）当 30 60 时，直接写出线段CE，AC，CQ 之间的数量关系. 28. 对于平面直角坐标系xOy 中的点( , )Q x y（x0 ） ，将它的纵坐标y 与横坐标x 的比 y x 称为点 Q 的“理 想值”，记作 Q L .如( 1,2)Q的“理想值” 2 2 1 Q L. （1）若点(1, )Qa在直线4yx上，则点Q 的“理想值” Q L等于 _； 如图，( 3,1)C， C 的半径为1. 若点 Q 在 C 上，则点Q 的“理想值” Q L 的取值范围 是. （2）点 D 在直线 3 +3 3 yx上， D
15、的半径为1，点 Q 在 D 上运动时都有 0LQ3，求点 D 的横坐标 D x的取值范围； （3）(2,)Mm（m0） ，Q 是以 r 为半径的 M 上任意一点，当0LQ2 2时，画出满足条件的最 大圆，并直接写出相应的半径r 的值 .（要求画图位置准确，但不必尺规作图） 图 1 备用图 北京市西城区2018 年九年级模拟测试 数学试卷答案及评分标准2018.5 一、选择题 （本题共16 分，每小题2 分） 题号12345678 答案ABCCDBCA 二、 填空题 （本题共 16 分，每小题2 分） 9. x210. 11. . 12.13. 20. 14.答案不唯一，例如，将抛物线先向右平移
16、2 个单位长度，再向上平移3个单位长度得到 抛物线 2 32yx . 15. 5416. 三、解答题 （本题共68 分，第 1721 题每小题5 分，第 22、23 题每小题6 分，第 24 题 5 分，第 25、26 题每小题6 分，第 27、28 题每小题7 分） 17.解： 1 63 31 (23) 2 4 分 333123 22 3 5 分 18解方程：. 解：去分母，得1 分 去括号，得 2 分 移项，得 合并同类项，得3 分 系数化为1，得4 分 3 8 4 3 26170, 38 . xy xy 2 3(2)1yx (7,4) 0 6cos6027( 2)32 1 3 22 x
17、xx 13(2)xx 136xx 361xx 25x 5 2 x 经检验，原方程的解为5 分 19. 解：如图 1，连接 BD. E 为 AB 的中点， DEAB 于点 E， AD= BD ， 1 分 ， 2 分 ， 3 分 AD=BC ， BD=BC 4 分 1802 =78 2 C 5 分 20.解： 3 分 4 分 当时，原式5 分 21. （1）证明：如图2. CDAB 于点 D，BEAB 于点 B， 90CDADBE CDBE1 分 又BE=CD ， 四边形 CDBE 为平行四边形2 分 又 90DBE ， 四边形 CDBE 为矩形3 分 （2）解：四边形 CDBE 为矩形， DE=
18、BC 4 分 在 RtABC 中，CDAB， 可得 ， 在 RtABC 中，AC=2， 5 2 x 1A 66A 166 90ABC 2124ABC 3C 2 569 1 22 xx xx 2 32 2(3) xx xx 1 3x 5x 1 8 90ACB 1ACD 1 tan 2 ACD 1 tan1tan 2 ACD 90ACB 1 tan1 2 图 1 图 2 DE=BC= 45 分 22.解： （1）补全统计图如图3. 4分 （2）答案不唯一，预估理由合理，支撑预估数据即可6 分 23. 解： （1）如图 4. 点 A 的坐标为，点 C 与点 A 关于原点O 对称， 点 C 的坐标为
19、ABx 轴于点 B，CDx 轴于点 D， B，D 两点的坐标分别为， ABD 的面积为8， 解得2 分 函数（）的图象经过点， 3 分 （2）由（ 1）得点 C 的坐标为 如图 4，当时，设直线与 x 轴， y 轴的交点分别为点， 由 CDx 轴于点 D 可得 CD CDO ， 4 tan1 AC BC ( 4, )An (4,)Cn ( 4,0)B(4,0)D 11 ()84 22 ABD SABBDnn 48n 2n m y x 0x( 4, )An 48mn (4,2)C 0kykxb 1 E 1 F 1 OF 1 E 1 E 1 F 1 111 E CDC OFE F 11 2CFCE
20、 1 1 3 DC OF 1 36OFDC 图 4 图 3 点的坐标为 如图 5，当时，设直线与 x 轴，y 轴的交点分别为 点 ， 同理可得CD， ， 为线段的中点， 2 2OFDC 点的坐标为 6 分 综上所述，点F 的坐标为， 24. （1）证明：如图6，连接 OC，AC. AB 是 O 的直径，弦CDAB 于点 E， CE=DE ，AD=AC . DC=AD ， DC=AD= AC . ACD 为等边三角形 D = DCA= DAC =60 FGDA， 180DCFD FG OC FG 与 O 相切3 分 （2）解：如图6，作 EHFG 于点 H 设 CE= a，则 DE= a ，AD
21、= 2a AF 与 O 相切， AFAG 又DCAG， 可得 AFDC 又FGDA， 四边形 AFCD 为平行四边形 DC =AD，AD= 2a， 四边形 AFCD 为菱形 AF=FC=AD=2 a， AFC= D = 60 1 F 1(0,6) F 0kykxb 2 E 2 F 2 OF 2 222 E CDC OFE F 22 2CFCE 2 E 2 CF 222 E CE F 2 F 2(0, 2) F 1(0,6) F 2(0, 2) F 1 130 2 DCA 180120DCFD 190OCFDCF 图 6 图 5 由（ 1）得 DCG= 60 ， 3 sin60 2 EHCEa
22、， 1 cos60 2 CHCEa 5 2 FHCHCFa 在 RtEFH 中， EHF= 90 ， 3 3 2 tan 5 5 2 a EH EFC FH a 5 分 25解： （1）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等1 分 1 (21)a 2 分 2 1 (21) a 3 分 1 1 (21) n a 4 分 （ 2）所画正方形CHIJ 见图 7. 6 分 26.解：如图8. （1）. 1 分 （2）抛物线 2 41yaxaxa 的对称轴为直线，抛物线M 与 x 轴的 交点为点A，B（点 A 在点 B 左侧），AB=2， A，B 两点的坐标分别为，. 2 分 点 A 在抛物线M
23、上， 将的坐标代入抛物线的函数表达式，得. 解得. 3 分 抛物线 M 的函数表达式为 213 2 22 yxx . 4 分 （3） 5 4 k . 6 分 2x 2x (1,0)A(3,0)B (1,0)A410aaa 1 2 a 图 7 图 8 27. 解： （1）当 0 30 时， 画出的图形如图9 所示1 分 ABC 为等边三角形， ABC=60 CD 为等边三角形的中线， Q 为线段 CD 上的点， 由等边三角形的对称性得QA=QB DAQ= ， ABQ=DAQ= ， QBE=60 - 线段 QE 为线段 QA 绕点 Q 顺时针旋转所得， QE = QA QB=QE 可得 1802(
24、60)602 2 分 3 分 证法一：如图10，延长 CA 到点 F，使得 AF=CE ，连接 QF，作 QHAC 于点 H BQE=60 +2 ，点 E 在 BC 上， QEC=BQE+ QBE =(60 +2 )+( 60- )=120 + 点 F 在 CA 的延长线上，DAQ= ， QAF=BAF+DAQ= 120 + QAF= QEC 又AF =CE ，QA=QE ， QAF QEC QF=QC QHAC 于点 H， FH=CH ，CF= 2CH 在等边三角形ABC 中， CD 为中线， 点 Q 在 CD 上， ACQ= 1 2 ACB =30 ， 即 QCF 为底角为30 的等腰三角
25、形 3 coscos30 2 CHCQHCQCQCQ CEACAFACCF 23CHCQ 即 6 分 思路二：如图11，延长 CB 到点 G，使得 BG=CE ，连接 QG，可得 QBG QEC， QCG 为底角为30 的等腰三角形，与证法一 同理可得 CEACBGBCCG 3CQ 1802BQEQBE 3CEACCQ 3CEACCQ 图 10 图 9 （2） 如 图 12，当 30 60 时， 7 分 28. 解： （1） 1 分 0 Q L 2 分 （2）设直线 3 +3 3 yx 与 x 轴， y 轴的交点分别为点A，点 B，可得 (3 3,0)A ， (0,3)B 3 3OA ， 3O
26、B ， 30OAB 由 0 QL ，作直线 3yx 圆 心 1 D 如图13，当 D 与 x 轴相切时，相应的 11 D Ex 满足题意，其横坐标取到最大值作 轴于点 1 E ， 可得 11 D E OB， 111D EAE BOAO D 的半径为1， 11 1D E 1 3AE ， 1123OEOAAE 1 2 3 D x 如图 14，当 D 与直线 3yx 相切时， 相应的圆心 2 D 满足题意，其横坐标取到 最小值 作 22 D Ex 轴于点 2 E ，则 22 D E OA 设直线 3yx 与直线 3 +3 3 yx 的 3ACCECQ 3 3 3 图 图 13 图 14 交点为 F 可得 60AOF ，OFAB 则 39 cos3 3 22 AFOAOAF D 的半径为1， 2 1D F 22 7 2 ADAFD F 22 cosAEADOAF 7373 224 ， 22 5 3 4 OEOAAE 2 5 3 4 D x 由可得， D x 的取值范围是 5 3 4 D x 23 5 分 （3）画图见图15 2 7 分 图 15