《江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三5月联考数学试题Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《江苏省四校淮阴中学、南师大附中、天一中学、海门高中2016届高三5月联考数学试题Word版含答案.pdf（15页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2016 年南师附中、天一、淮阴、海门中学调研测试 数学 I 必做题部分 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1本试卷共4 页，包含填空题（第1 题第 14 题） 、解答题（第15 题第 20 题） 本卷满 分为 160 分，考试时间为120 分钟考试结束后，请将答题卡交回 2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及 答题卡的规定位置 3作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作 答一律无效 4如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗 参考公式： 棱锥的体积公式：ShV 3 1
2、，其中 S是棱锥的底面积，h 是棱锥的高 . 一、填空题： 本大题共14 小题， 每小题 5 分，共 70 分. 请把答案填写在答题卡相应位置上 . 1设集合0,1,2A， 2 2,3Baa，1AB，则实数 a 的值为 2设复数 z满足 (34i)5z（i为虚数单位） ，则 z 3右图是一个算法流程图，则输出的k的值是 4在一段时间内有2000 辆车通过高速公路上的某处，现随机抽取其中的200 辆进行车速统 计，统计结果如下面的频率分布直方图所示若该处高速公路规定正常行驶速度为 90km/h 120km/h ， 试估计2000辆车中在这段时间内以正常速度通过该处的汽车约有辆 5 将函数sin(
3、2)(0)yx的图象沿x 轴向左平移 8 个单位后， 得到函数( )yf x 的 图象，若函数( )f x 的图像过原点，则 6已知甲、乙两人下棋，和棋的概率为 1 2 ，乙胜的概率为 1 3 ，则甲胜的概率为 7设偶函数( )f x 在区间 0,) 上单调递增，则满足(21)(1)fxf的 x 的取值范围是 8在等比数列 n a中，已知 25 32aa， 34 4aa，且公比为整数， （第 4 题图） 80 90 100 110 120 130 车速（ km/h ） 0.005 0.010 0.020 0.030 0.035 率 距 频 组 （第 3 题图） 结束 kk +1 N 输出 k
4、Y 开始 k1 2 40kk （第 9 题图） D AB C P 则 10 a 9如图，正四棱锥PABCD的底面一边AB长为 2 3cm ，侧面积为 2 83 c m ，则它的体积为 10已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的渐近线与圆 22 (2)1xy 没有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围为 11若函数 31 (),2, ( )(02 log,2 x a x fxa x x 且1)a的值域是 2,) ，则实 数a的取值范围是 12已知ABC外接圆O的半径为2，且2A BA CA O，ABAO，则 C A CB 13已知 x 、y为正实数 ,则 2 2 xy xyx
5、的最小值为 14设 2 (3)()0axxb对任意0,)x恒成立，其中a、b是整数，则ab的取值的集 合为 二、解答题：本大题共6 小题，共90 分.请在答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分14 分） 学 在ABC中，角,A B C 所对的边分别为, ,a b c ，且 222 acbac （ 1）求 B的大小； （ 2）设BAC 的平分线AD交BC于D，2 3AD，1BD，求cosC的值 16 （本小题满分14 分） 如图，在四棱锥PABCD中，/ADBC，且2BCAD，ADCD，PBCD，点E 在棱PD上，且2PEED （1）求证：平面P
6、CD平面PBC； （2）求证：/PB平面AEC （第 15 题图） A BC D （第 16 题图） CB DA P E 17 （本小题满分14 分） 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率 2 2 e，且点(2,1)P在 椭圆C上 （1）求椭圆C的方程； （2）若点A、B都在椭圆C上，且AB中点M在线段OP（不包括端点）上 求直线AB的斜率； 求AOB面积的最大值 18 （本小题满分16 分） 如图，A、B是海岸线OM、ON上的两个码头， Q 为海中一小岛， 在水上旅游线AB上测 得tan3MON，6kmOA， Q 到海岸线OM、ON的距离分别
7、为2km， 7 10 km 5 （1）求水上旅游线 AB的长； （2）海中P(6PQkm ，且)PQOM处的某试验产生的强水波圆P，生成t小时时的半 径 为 3 2 66rt km 若与此同时， 一瘦游轮以18 2/km 小时的速度自码头A开往码头B， 试研究强水波是否波及游轮的航行？ 19 （本小题满分16 分） 设,a bR函数( )ln x f xeaxa，其中 e是自然对数的底数，曲线( )yf x 在点 (1, (1)f处的切线方程为(1)0exyb （1）求实数 a 、b的值； （2）求证：函数( )f x 存在极小值； （第 18 题图） O M N A B P Q （3）若 1
8、 ,) 2 x，使得不等式ln0 x em x xx 成立，求实数m的取值范围 20 （本小题满分16 分） 正项数列： 12 ,(4,) m a aammN，满足： 1231 , kk a aaaa(,)km kN是公差为d 的等差数列， 111 , mmkk a aaaa 是公比为2的等比数列 （ 1）若8,2 1 kda，求数列 m aaa, 21 的所有项的和 m S； （ 2）若 1 2,2016adm，求m的最大值； （ 3）是否存在正整数k，满足 121121 3() kkkkmm aaaaaaaa？ 若存在，求出k值；若不存在，请说明理由 数学II（附加题） 21 【选做题】本
9、题包括A、 B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作 答 若多做，则按作答的前两题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 选修 4 1：几何证明选讲 （本小题满分10 分） 如图，已知圆上的弧ACBD ，过点 C 的圆的切线CE 与BA的延长线交于点E （ 1）求证：ACEBCD ； （ 2）求证： 2 BDAE CD （第 21 题（A）图） A B CD E B 选修 4 2：矩阵与变换 （本小题满分10 分） 已知矩阵 1 21 a A的一个特征值 3 所对应的一个特征向量 1 1 e，求矩阵A的逆 矩阵 1 A C选修 4 4：坐标系与参数方程（ 本小题满分
10、10 分） 在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系， 曲线 C 为4cos2sin. 曲线 C 上的任意一点的直角坐标为( , )x y, 求x y的取值 范围 D选修 4 5：不等式选讲（本小题满分10 分） 己知关于 x的不等式xab的解集为24xx （1）求实数,a b的值； （2）求12atbt 的最大值 22 （本小题满分10 分） 某商场举行抽奖促销活动，在该商场消费的顾客按如下规则参加抽奖活动： 消费金额X（元）500,1000)1000,1500)1500,) 抽奖次数1 2 4 抽奖中有9 个大小形状完全相同的小球，其中4 个红球、
11、 3 个白球、 2 个黑球（每次只 能抽取一个，且不放回抽取）若抽得红球，获奖金10 元；若抽得白球，获奖金20 元； 若抽得黑球，获奖金40 元 （1）若某顾客在该商场当日消费金额为2000 元，求该顾客获得奖金70 元的概率； （2） 若某顾客在该商场当日消费金额为1200 元，获奖金元，求的分布列和( )E的值 23 （本小题满分10 分） 设函数 11 ( )ln(2 ) 22 f xx，数列 n a满足： 1 1a， * 1 ()() nn af anN （ 1）求证： 1 2 x时， ( )f x x ； （ 2）求证： *1 1() 2 n anN； （ 3）求证： * 11 1
12、 3 ()() 8 n iii i aaanN 数学 I 参考答案 1. 1；2. 34 55 i； 3. 5；4. 1700；5. 3 4 ； 6. 1 6 ；7. 0,18. 512；9. 4；10. (1,2)； 11. (1, 2；12. 12；13. 3 2 ；14. 2,8 15. 解： （1） 222 acbac 222 1 cos 222 acbac B acac 2 分 (0,)B 2 3 B 4 分 （2）在 ABD中,由正弦定理： sinsin ADBD BBAD 3 1 sin1 2 sin 42 3 BDB BAD AD 6 分 217 coscos212sin12
13、168 BACBADBAD 8 分 22 715 sin1cos1( ) 88 BACBAC 10 分 coscos(60)cos60 cossin60 sinCBACBACBAC 1731573 5 282816 即 cosC 的值为 73 5 16 14 分 16证明： （1）,ADCDAD,BC CDBC 2 分 又 PBCD PBBCB PB平面 PBC ， BC平面 PBC CD平面 PBC 6 分 （2）连接BD交 AC 于 O ,连 OE AD,BCADO BOD 8 分 :1: 2DOOBADBC 10 分 又2PEED OE PB 12 分 OE平面 AEC ,PB平面 AE
14、C /PB平面 AEC 14 分 17.解：（1）由题意得： 22 222 2 2 41 1 c e a ab abc 2 分 6 3 a b 所以椭圆 C 的方程为 22 1 63 xy 4 分 （2）法一、设 112200 (,),(,),(,)A xyB xyM xy，直线 AB的斜率为 k 则 22 11 2222 1212 22 22 1 63 0 63 1 63 xy xxyy xy 0022 0 63 xy k 6 分 又直线OP: 1 2 yx,M在线段 OP 上, 所以 00 1 2 yx 所以1k 8 分 法二、设 112200 (,),(,),(,)A xyB xyM x
15、y，直线 AB的方程为 00 ()yyk xx， 则 00 222 22 0000 () (12)4 ()2()60 1 63 yyk xx kxk ykxxykx xy 由题意， 0 所以 00 12 2 4 () 12 k ykx xx k 6 分 00 0 2 2 () 12 k ykx x k 又直线OP: 1 2 yx,M在线段 OP 上, 所以 00 1 2 yx 所以 2 1 2 () 2 11 12 kk k k 8 分 法三、设 112200 (,),(,),(,)A xyB xyM xy，直线 AB的方程为ykxm 则 222 22 (12)4260 1 63 ykxm k
16、xkmxm xy 由题意， 0 所以 12 2 4 12 km xx k 6 分 0 2 2 12 km x k ( ) i 又直线 OP: 1 2 yx,M在线段 OP 上, 所以 00 1 2 yx ( )ii M在直线AB上 00 ykxm()iii 解 ( ) i( )ii()iii得：1k 8 分 设直线AB的方程为yxm ，(0,3)m 则 22 22 34260 1 63 yxm xmxm xy 所以 12 2 12 0 4 3 26 3 m xx m x x 10 分 所以 22 12 4 1( 1) |9 3 ABxxm 原点到直线的距离 | 2 m d 12 分 2221
17、4|23 2 9(9) 2 3322 OAB m Smmm 当且仅当 3 2(0,3) 2 m时，等号成立 . 所以AOB 面积的最大值 3 2 2 . 14 分 18.解： （ 1）以点 O 为坐标原点，直线OM 为 x 轴，建立直角坐标系如图所示 则由题设得：(6,0)A，直线 ON 的方程为3yx ， 00 (,2)(0)Q xx， 2 分 由 0 32 7 10 510 x ，及 0 0x得 0 4x，(4,2)Q 4 分 直线 AQ 的方程为(6)yx，即60xy， 6 分 由 3 , 60 yx xy 得 3, 9, x y 即( 3,9)B， 22 ( 36)99 2AB，即水上
18、旅游线AB的长为 9 2km 8 分 （ 2）设试验产生的强水波圆P，生成t小时时，游轮在线段AB上的点 C 处， 则182ACt， 1 0 2 t， (618 ,18 )Ct t ， 10 分 （第 18题图） O M N A B P Q x y C 令 22 ( )h trPC ， 则(4,8)P， 3 2 6 6r t ， 3 222 2 ( )(66)(218 )(188) h tttt 32 18(123620 )68ttt， 1 0 2 t， 12 分 2 ( )18(12336220)h ttt 2 72(9185)tt 72(31)(35)tt， 1 0 2 t， 14 分 由
19、( )0h t得 1 3 t或 5 3 t（舍去） x 1 (0,) 3 1 1 (,) 3 2 ( )h t 3322 max 11 ( )( )6( )(26)(68) 120 33 h th， 1 0 2 t时，( )0h t，即 rPC 恒成立， 亦即强水波不会波及游轮的航行 16 分 19解： （1）( ) xa fxe x ，(1)fe a ， 由题设得： 1, (1)()0, eae eeab 1, 0. a b 2 分 （2）由（ 1）得( )ln1 x f xex， 1 ( )(0) x fxex x ， 2 1 ( )0 x fxe x ，函数( )fx 在 (0,) 是增
20、函数， 4 分 1 ()20 2 fe，(1)10fe，且函数( )fx 图像在 (0,) 上不间断， 0 1 (,1) 2 x，使得 0 ()0fx， 6 分 结合函数( )fx 在 (0,) 是增函数有： x 0(0,)x0(,)x ( )fx 函数( )f x 存在极小值 0 ()f x 8 分 （3） 1 ,) 2 x，使得不等式ln0 x em x xx 成立 1 ,) 2 x，使得不等式ln x mexx 成立（ * ） 10 分 令( )ln x h xexx ， 1 ,) 2 x， 则( )ln1( ) x h xexf x ， 结合（ 2）得： 0 min00 ( )()ln
21、1 x h xf xex， 12 分 其中 0 1 (,1) 2 x，满足 0 ()0fx，即 0 0 1 0 x e x ， 0 0 1x e x ， 00 lnxx ， 0 min000 00 11 ( )ln112110 x h xexxx xx ， 1 ,) 2 x， ( )0h x， ( )h x 在 1 ,) 2 内单调递增， 14 分 11 22 min 1111 ( )()lnln 2 2222 h xhee， 结合（ * ）有 1 2 1 ln 2 2 me， 即实数m的取值范围为 1 2 1 ln 2,) 2 e 16 分 20. 解： （1）由已知 Nkmk,nan2，1
22、6 8 aak ， 故 ),(, 1321 Nkmkaaaaa kk 为： 2，4,6,8,10,12,14,16； kkmm aaaaa, 111 公比为 2. 则对应的数为2,4,8,16 从而 m aaa, 21 即为 : 2 ，4,6,8,10,12,14,16,8,4； 2 分 此时8448 2 )162(8 ,10 m Sm 4 分 （2） ),(, 1321 Nkmkaaaaa kk 是首项为2，公差为2 的等差数列 故 Nkmk,，nan2，从而kak2 而 kkmm aaaaa, 111 首项为 2，公比为2 的等比数列且 2 2 km k a 故有 2 22 km k；即
23、1 2 km k即k必是 2 的整数幂 6 分 又 1 22 mk k，要m最大，k 必需最大， 2016mk ，故k的最大值为 10 2 8 分 所以 11034102410210 222222 10 m ，即m的最大值为 1033 10 分 (1) 由数列 1231 ,., kk a aaaa 是公差为d的等差数列知， 1 (1) k aakd，而 111 ,., mmkk a aaaa 是公比为2的等比数列 1 1 2 mk k aa， 故 1 (1)akd 1 1 2 mk a， 1 1 (1)(21) mk kda， 12 分 又 12111 3() kkkkmm aaaaaaaa，
24、 1 2 m aa，则 11 112 (1)32 212 m k kak kda ，即 1 111 1 (21)32(21) 2 mkm k kak aa， 则 111 26(21) 22 mkm k kk ，即 11 26212 mkmk kk ， 14 分 显然6k，则 11 218 21 66 mkk kk ，所以6k，将12345k， ，一一代入验证知， 当4k时，上式右端为8，等式成立，此时6m， 综上可得：当且仅当 6m 时，存在 4k 满足等式 16 分 数学 II（附加题）参考答案 21.A 选修 4 1：几何证明选讲 （本小题满分10 分） 证明： （1）弧 ACBD ，AB
25、CBCD ， 2 分 CE 是圆的以 C 为切点的切线， ACEABC ， ACEBCD 4 分 （2）ACEBCD ，CAEBDC ， A C E DCB ， 6 分 A CA E C DB D ， 8 分 弧 ACBD ，ACBD ， BDAE CDBD ， 2 BDAE CD 10 分 B 选修 4 2：矩阵与变换 （本小题满分10 分） 解：由题意： 11 Aee 111 3 2 111 a 13a 2a 5 分 12 2 1 A |30A 1 1212 3333 2121 3333 A 10 分 C选修 4 4：坐标系与参数方程（ 本小题满分10 分） 解：曲线C为4cos2sin
26、曲线C的直角坐标方程为 22 420xyxy 4 分 即 22 (2)(1)5xy 所以曲线C是以(2,1)为圆心，5为半径的圆 故设25 cos ,15sinxy 6 分 则15 cos5 sin110cos() 4 xy 8 分 xy的取值范围是110,110 10 分 D解： （ 1）xababxab， 2 分 2, 4, ab ab （第 21 题（A）图） A B CD E 3, 1. a b 4 分 （2）由（ 1） ，结合柯西不等式有： 12341atbtt t ， 2222 ( 3)1( 4)()tt 即124atbt 8 分 当且仅当 4 1 3 tt ，即1t时取“ =”
27、1t时，12atbt 取得最大值 4， 即12atbt 的最大值为4 10 分 22 （本小题满分10 分） 解： （1）2000X，该顾客有4次抽奖机会， 得奖金 70 元，则有两种情形：抽得3红球，1黑球；抽得1红球， 3白球 该顾客获得奖金70 元的概率 3113 4243 4 9 2 21 C CC C P C 4 分 （2）1200X，该顾客有2次抽奖机会， 的值可能为20， 30 ， 40 ， 50， 60 ， 80 ， 2 4 2 9 1 (20) 6 C P C ， 11 43 2 9 1 (30) 3 C C P C ， 2 3 2 9 1 (40) 12 C P C ， 1
28、1 42 2 9 2 (50) 9 C C P C ， 11 32 2 9 1 (60) 6 C C P C ， 2 2 2 9 1 (80) 36 C P C ， 203040506080 P 1 6 1 3 1 12 2 9 1 6 1 36 8 分 111211 ( )20304050608040 63129636 E 10 分 23 （本小题满分10 分） 解： （1）令xxxxfxF 2 1 )2ln( 2 1 )()(， 则 x x xF 2 21 )( ，又 2 1 x，可得0)( xF. 即)(xF在), 2 1 (为减函数 .故0) 2 1 ()(FxF 即xxfx)(, 2
29、 1 2 分 (2) 1) 当1n时 11 1 1,1 2 aa成立 . 2)假设 * ()nk kN时,1 2 1 k a 当1kn * ()kN时, 2 1 )2ln( 2 1 )( 1kkk aafa 根据归纳假设1 2 1 k a,由（ 1）得： 2 1 ) 12ln( 2 1 2 1 )2ln( 2 1 2 1 ) 2 1 2ln( 2 1 k a 即:1 2 1 1k a即1kn时命题成立。 综上所述对 Nn命题成立 6 分 （3）由1 2 1 n a，)( 1nn afa ，xxfx)(, 2 1 可得 :1)( 2 1 1nnn aafa 从而 2 1 1 ii i aa a，又0 1ii aa 8 分 故)( 2 1 2 )()( 2 1 2 1 111ii ii iiiii aa aa aaaaa 则有： 222222 1112231 1 1 ()() 2 n iiinn i aaaaaaaaa 222 111 2 11113 ()(1)(1) 22228 nnaaa 10 分