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1、第三章 中国古代数学 教学重点 ：1 理解并掌握九章算术的主要贡献。2 能叙述算经十书的名 称；掌握祖冲之的贡献，知道密率及约率值。3 掌握宋元数学家的贡献。 3.1九章算术 1 介绍 中国古典数学最重要的著作，成书1cen B.C 九章算术：问题集，共九章，分别为：方田，粟米，衰分，少广，商功； 均输 ，盈不足，方程，勾股。 面积、体积：方田，商功； 比例：粟米，衰分，均输； 开方：少广 贡献一：正负数加减法则 正负数的加减运算法则 李文林在数学史教程中指出： “对负数的认识是人类数系扩充的重大步 骤。 如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。 中算家们心安理得地
2、接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。” 国外首先承认负数的是7 世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲16 世纪时韦达 等数学家的著作还回避使用负数。 贡献二：方程术 线性方程组求解：消元法 例：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三 秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问 上、中、下禾实一秉各几何？ 贡献三：开方术 今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。 “开方术”演变为”增乘开方法“，开高次方，求高次方程数值解； “开方术”：包含求方法； 接受开方不尽的数无理数； 贡献四：盈不足 例：今有共买物，人出八盈三，人出
3、七不足四，问人数、物价各几何？ “盈不足”：线性插值法； “盈不足”可以解决非盈亏类问题； “盈不足”通过丝绸之路传入阿拉伯国家，被称为“契丹算法”。 贡献五：几何 “方田” ：各种图形的面积计算； “商功” ：各种土木工程中的体积计算。长方体、台体、圆柱体、锥体等体积 的计算公式正确；只是圆周率取3，误差较大。 “勾股” ：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问 水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。 评价 小苍金之助（日）： 九章算术是中国的几何原本 。 吴文俊： 九章算术和刘徽的九章算术注 ，在数学的发展历史中具有崇 高的地位，足可与几何原本东西辉映，各
4、具特色。 1968年德国沃格尔（ Vogel）把九章算术译成德文出版时的评论： “在古 代算术中， 包含如此丰富的 246个算题， 现存的埃及和巴比伦算题与之相比，真 望尘莫及。” 0 2 cbxax 21 2112 21 2112 21 21 , bb baba x y aa baba y aa bb x 3.2.1刘徽与九章算术注 九章算术 数学理论门类繁多， 依题列术， 术文不附原理说明。 刘徽注九 章 ，一面阐明每个具体算法的理论依据，一面揭示各种算法之间的内在联系， 使之成为一个严谨、完整的理论体系。 刘徽(魏晋, 公元 3 世纪)，幼习九章，长再详览。知识渊博，精通四书五 经、诸子
5、，谙熟前人数学， 周髀算经、张衡数学。 刘徽集前辈之大成， 又不迷信古人。 注方田章圆田时， 由于前人用径一周三， 古率失之于粗，刘徽注说： “世传此法，莫肯精核，学者踵古，习其谬失”。 在中国古代数学中的 地位、影响：阐述了中国传统数学的理论体系与数学原 理； 九章算术注中有的注文千字以上，是一篇高水平的数学论文；公元263 年撰九章算术注， 海岛算经；中国传统数学最具代表性的人物，其学术思 想为后世继承，如祖冲之，李淳风（唐） 。 (一) 割圆术 -极限思想闪烁 “割圆术”：用圆内接正多边形去逐步逼近圆。“割之弥细，所失弥少，割之 又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣” 具体贡献：圆
6、周率的推导；球体体积公式的证明 1 圆周率的推导 2 求积理论 刘徽的面积、体积理论基础：“出入相补原理”。刘徽用这条原理成功地证 明了九章算术中的许多面积公式。 刘徽在推证九章算术中的一些体积公式时，使用：极限方法与不可分量 方法。 （1）计算球体积，刘徽提出“牟合方盖” 。 （2）阳马体积的推导 3.2.2 祖冲之与祖暅 祖冲之 (429-500A.D)：做过小官，创制大明历 ，当时最先进的立法。 著作： 缀术 ，已经失传。 贡献一：圆周率的推导 祖冲之求得的 值的取值范围为 3.141592 3.1415927 约率： 7 22 密率： 113 355 16cenV .Otto 等重新推
7、算出这个分数近似值 贡献二：球体积的推导 祖暅原理 ：幂势既同，则积不容异。指“两等高立体图形，若在所有等高处 的水平截面积相等，则这两个立体体积相等。 思路：刘徽用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为： 4，于是由祖暅原理立即得到 V 球:V 牟=：4 即V 球= （/4） V 牟。 假设：V 小牟=V 立方体 -V 直四棱锥 = 3 3 2 r , V 牟=8* 3 3 2 r ，则 V 球=（/4）V 牟 算经十书 算经十书是隋唐时期的教科书，包括十本书，分别是：周髀算经九 章算术 海岛算经孙子算经张邱建算经夏侯阳算经五曹算经 五 经算术 缀术 缉古算经 缀术失传，后用数
8、术记遗补。 一孙子算经 “物不知数“问题：“今物不知其数，三三除之余二，五五除之余三，七七除之 余二，问物几何？” N2（mod3）3（mod5）2（mod7） 其解法写作“孙子歌” ： 三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知。 计算过程为：N=702+213+1522105. 二张邱建算经 “百鸡问题”： “今有鸡翁一，直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三，直钱一。 凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何。” 给出三组答案：（4，18，78） ， （8，11，81） ， （12，4，84） 三缉古算经 辑古算经是十部算经中最晚的一部，作者王孝通，唐初人。 求解 28
9、个如下的三次方程：数值解。 3.3 宋元数学 -中国古代数学的顶峰 宋元时期的主要数学家：贾宪，秦九韶，朱世杰，李冶 社会背景：毕升发明活字印刷术(约 10411048 年) ，促进了数学著作的保存 与流传。 三大发明： 活字印刷，火药，指南针。社会的商业繁荣， 手工业兴盛， 国家统一。 一 贾宪 贾宪：北宋人，黄帝九章算术细草，失传，主要内容载于杨辉著作中。 贡献： 1 贾宪三角即二项式系数表2 开高次方 二 秦九韶 秦九韶：著数书九章 贡献： 1 “正负开方术”：高次方程数值解法 2 “大衍总数术”：一次同余组解法，称为“中国剩余定理”。 三 李冶与天元术 天元术 -半符号代数 天元术：列
10、一元高次方程的方法， “立天元一为某某”，即“设 x 为某某” 。 四 朱世杰 朱世杰： （1260-1320年）平民数学家，数学教育家。 著作： 四元玉鉴标志中国古代数学的顶峰； 算学启蒙：通俗数学； 贡献 1：四元术 四元术：解多元高次联立方程组的方法。未知数： “天” ， “地” ， “人” ， “物” 。 贡献 2：垛积术 -高阶等差数列求和法 贡献 3：高次内插法 “立方招兵”问题：“以立方招兵，初招方面三尺，次招方面转多一尺， 今招十五日，问招兵几何？” 设每日招兵人数：，十五日共招兵： 3 )2(n 3333 )2(543)(nns 思考题： 与古希腊数学比较，中国古代数学的特点是什么？