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1、经济数学基础作业答案 1：判断 3 fxx x 奇偶性 1解： 函数 3 fxx x 的定义域为(,),对于任意一个(,),x 有 3 3 3 () ()( ) () fxx x xf x x x x 所以 3 fxx x 为奇函数 2：判断函数 2 21yx的单调性 2 解 对任意的 1212 ,(,),x xxx且，有 22 1212 2222 1212 ()()21(21) 21 212() f xf xxx xxxx （1） 当 12 ,(,0x x时，则 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x，所以 2 21yx在(,0内是单调减少的。 （2）当 12 ,0,)
2、x x时，则 12 ()()0f xf x，即 12 ()()f xf x，所以 2 21yx在0,)内是单调增加的。 所以(,)内， 2 21yx在0,)内不是单调函数。 3 例如， sin cos ,cos 2 xx yx y x 都是初等函数 3 解 初等函数在其定义域都是连续的。由基本初等函数经过有 限次的四则运算或复合而成的函数叫初等函数。 4 下列函数是由哪些简单函数复合而成？ （1） 2 lg(1)y x （2） cos 3 x y （3） 2 arctan(11)yx（4） 2 cos 3yx 4 解：(1)因为函数 2 lg(1)y x 的最后一步运算是对数运算，因此 对数的
3、真数部分的函数为中间变量u， 即 2 1u x ， 则 2 l g ( 1)y x 由 2 lg,1yu u x 复合而成。由于 2 1u x 为多项式，可作为一个简 单函数，所以没有复合过程。 (2) cos 3 x y的最后一步运算是指数运算，把指数部分作为中间变 量u，即cosux，则 cos 3 x y由3 ,cos u yux复合而成。 （） 2 arctan(11)yx的最后一步运算是反正切函数运算，于 是中间变量 2 11ux，即 u 是 1 与 2 1x之和。 2 1x又可看作 幂运算，所以又把位于幂函数底的函数作为中间变量v，即 2 1vx。因此， 2 arctan(11)y
4、x是由arctanyu，1uv， 2 1vx 复合而成。 （4） 2 cos 3yx是由 2, cos ,3yuuv vx复合而成。 5 解：销售收益 R是价格P与销售量Q的乘积，即 RPQ 将关系式10 5 Q P代入，即可得到 2 ( )(10)10 5 5 Q RR QQQ Q 6解根 据题 意 ，改 产品的 成本函 数为 01 ( )( )200 10CC QCC QQ 收益函数为 2 1501 ()75 22 Q RR QQQQ 所以利润函数为 2211 ()()()75(20010)65200 22 LL QR QC QQQQQQ 7 1111 0,1,1,1,1,.,1. 234
5、5 ( 1) n n 。 当n无限增大时，由于 ( 1) n n 无限接近于常数0，所以其通项 1 ( 1) n n n y 就无限接近与常数1，即该数列以 1 为极限，可记作 11 ( 1) lim n nn 8 解 当n时， 1 ( ) 1 f n n 无限接近于一个确定的数0，所以 0 是数列 1 1n 的极限，即 1 lim0 1 n n 9 解：函数 1 ( ) 2 x y的图形如图所示。由该图可看出 ,0 11 ( )( )limlim 22 xx xx 由极限( ) lim x fx存在的充分必要条件知 1 ( )lim 2 x x 不存在 10 解因为 2 22 253 ( )
6、2 11 x f x xx ，所以当x时，对应的 函数值 23 ( )2 1 f x x 无限接近于常数2，故 2 2 25 lim2 1 x x x 11 解：因为 1 sin1, x 所以 1 sin x 是有界变量；又 0 0, lim x 即x在 0x时为无穷小量。所以，当0x时 1 sinx x 是有界函数与无穷小 量的乘积。根据性质2 得，在时为无穷小量，即 0 1 sin0 lim x x x 12 解因为 2 1 lim(1)0 x x，即函数 2 11xx在时为无穷小量， 由定理得， 2 1 1 1 x x 在时为无穷大量，所以 2 1 1 lim 1 x x = 13 解：
7、 33 1111 (432).432 limlimlimlim xxxx xx xx 3 11 42 3limlim xx x x 3 4324323 1 lim x x 14 解 因为 22 2222 lim(367)3(lim)6limlim77 xxxx xxxx 222 lim(49)4limlim9170 xxx xx 所以 2 2 2 2 2 lim(367) 3677 lim 49lim(49)17 x x x xx xx xx 15 解： sin3sin3 tan53 00 133 tan5 55 5 limlim xx xx xx x x 16 解 2 222 22 0000
8、 2 2sinsinsin 1cos111 222 limlimlimlim 222 ( ) 22 xxxx xxx x xx xx 17 解令ux，则当x时，u，所以 1111 lim(1)lim(1)lim 1 (1) xu xuu u xue u 18 解 令 x u= 2 ，则当x时，u，于是 1010 510102111 lim(1)lim(1)lim1lim 1 uu xu xuuu e xuuu 19解( )0f xx在处 有 定 义 ， 且( 0 )f， 但 是 2 00 00 lim( )lim()0 lim( )lim(24)4 xx xx f xxx f xx 因此 00
9、 lim( )lim( ) xx f xfx，从而 0 lim( ) x fx不存在，所以点0x是 ( )f x的间断点。 20 解： （1）在处，当自变量有改变量时，函数相应的改变量 2 3 23 126 ( (2) 2 )() y x x xx 于是，由导数定义 0 2 0 ( 2)( 2 ) ( 2 ) 1 261 2 l i m () lim x x fxf f x x x （2）对任意点，当自变量的改变量为，因变量相应的改 变量 2 3 23 2 33( () )() y xx xx x xxx 于是，导函数 3 3 0 2 22 0 ( ) 33(3 () lim ) lim x
10、x fx x xx xxx x xx 由上式 2 3 (3)327. x f x 注意到本例中，函数 3 y x 的导数 33 12 ()33y xxx 。若n是 正整数，对函数 n y x ，类似的推导，有 1 () nn yn xx 特别地，当1n时，有 1 10 ( )11yx xx 21 解：由代数和的导数法则 2 2 1 2 2 2 1 2 (logcos) 4 ()()()(log)(cos) 4 11 2ln 20 2ln 2 11 2ln 2. ln 2 2 2 2 2 2 x x x x yxx x x x x x x x xx x 注意：cos 4 是常数，其导数是0，避免
11、错误：(cos)sin 44 22 解 sin (5sin)5(sin)5() sin(sin) 5(cos ) 2 x yxxxxxxxxxx x 23 解 22 sin 2ln2sincosln 2(sincosln)2(sin)coslnsin(cos )lnsincos (ln) 1 2(coslnsinlnsincos ) yxxxxx yxxxxxxxxxxxx xxxxxx x 24 解：将已知函数看成是有下列函数构成的复合函数： ( )sin,( )3yf uu uxx 于是 ( )( )(sin) (3 ) cos33cos3 yfuxux ux 注意：在求复合函数的导数时，
12、若设出中间变量，已知函数要对 中间变量求导数， 所以计算式中出现中间变量，最后必须将中间 变量以自变量的函数还原。 25 解 复合函数 210 (27)yx可以看作由函数 102 27yuux与复合 而成，由复合函数求导法则得 102929 () (27)10(4 )40 (27)yuxuxxx 26 解：先求一阶导数，在求二阶导数 2 2 , x yx e 22 222 xx yxx ee 2 2 2(12) x ex 当0x时， 2 2 00 2(12)2 xx x y ex 。 27 解 cos(sin)(cossin) (cossin)(cossin)2sin 2sin2cos2(co
13、ssin) xxx xxx xxx yexexexx yexxexxex yexexexx 28 解： 函数( )f x的定义域是(,)， 在区间(,)内，因( )0,fx且仅在1x时( )0fx，故该函数在 其定义域内单调增加 29 解 函数 3 ( )f xx的定义域为(,)，导数 32 1 ( ) 3 fx x ，除了不 可导点0x以外，均有( )0fx，故 3 ( )f xx在区间(,)内单调 增加。 30 解：函数的定义域是(,). 2 ( )3183 (6).fxxx x x 由( )0fx得驻点 1212 0,6,0,6xxxx将函数的定义域分成三个部 分区间(,0),(0,6)
14、,(6,)。列表判定极值 x (,0) 0 (0,6) 6 (6,) ( )fx + 0 - 0 + ( )f x 极大值极小值 由表知，(0)2f是极大值，(6)106f是极小 值 31解函 数 2 3 3 ( ) 2 f xxx的 定 义 域 为(,)， 由 导 数 13 3 3 1 ( )1 x fxx x 可得驻点1x，不可导点0x，据此对定义域(,)分段讨论， 列表如下 x (,1) 0 (0,1) 1 (1,) ( )fx + 不存在- 0 + ( )f x 极大值 0 极小值 1 2 由表可知， 函数( )f x在区间(,1)，(1,)内单调增加， 在区间(0,1) 内单调减少，
15、在0x处取得极大值(0)0f，在1x处取得极小值 1 (1) 2 f。 32 解： 这是在容积一定的条件下，使用料最省。即在效益一定 的条件下，要求所给条件最少的问题。 用料最省，就是使易拉罐的表面积最小，这是我们的目标， 而表面积依赖于底面半径和侧面高度，如图： 设易拉罐的底面半径为r cm，高为 h cm， 表面积为 A cm 2 则 A=两底圆面积 +侧面面积 = 2 22 rh r 由于易拉罐的容积为500 cm3，所以有 2 2 500 500,hh r r 于是，表面积A 与底面半径 r 的函数关系为 21000 2,(0,)Ar r r 由 3 22 4(250)1000 40
16、dA r dr r rr 可得唯一驻点 3 250 4.3013rcmcm 又当 3 250 (0,)r时0, dA dr 当 3 250 (,)r时0, dA dr 故 3 250 r是极小 值，也是取最小值的点。 又上面 h 的表达式 3 2 500250 228.6026hcmcmrcmcm r 因此，当4.3013,8.6026,rcm hcm即易拉罐的底面直径和高相 等时用料最省，这个结论具有一般性。 33 解： 利润函数是目标函数，其为 ()()()QR QC Q 22 300.75(0.3930)QQ QQ 2 211.0530.Q Q 因 0,010, 212.10,10, 0
17、,10; Q d QQ dQ Q 故产量10Q时，利润最大 由总收益函数得价格函数 2 300.75 () () Q R Q PP Q QQ Q 300.75Q 从而利润最大时，商品的价格 300.75 1022.5P 34 解 （1） 55 5 11 , () 555 pp p PP QePe e (2 ) 356 (3)0.6,(5)1, (6)1.2 555 (5)1，说明当5p时，价格与需求变动的幅度相同。 (3)0.61说明当3p时，需求变动的幅度小于价格变动的幅 度，即3p时，价格上涨1，需求只减少0.6 (6)1.21，说明当6p时，需求变动的幅度大于价格变动的幅 度，即当6p时
18、，价格上涨1，需求将减少12 35 解：因为( )2 ,xx所以 2 2xdxC x 36 解 由已知条件 3 ( ),( )( )v ttv ts t即，得 341 ( )( ) 4 s tv t dtt dttc 又因为210,t时，s故可解得6c，所以，物体的运动方程为 4 1 ( )6 4 s tt 37 解决：原式 2 2 3 3 1 xdx dx x e x 2 1 3 (1) 1 x dx e x 33arctan x xxC e 38 解 原式= 12 01 22 12 01 (1)(1) () |() |1 22 x dxxdx xx xx 39 解 设32 ,2uxdudx
19、则，得 11111 lnln 32 32222 dxduucxc xu 40 解 原式= 3 2 22 0 0 cos1 cos(cos )| 33 x xdx 41 解 222 2222 1 111 2 22 1 1 111 lnlnln|ln 222 113 2ln 22ln 2|2ln 2 244 xxdxxdxxxx dx xdxx 42 解 111 2212 0 000 2 11 1 022 00 111 arctanarctanarctan|arctan 222 11111 (1)(arctan ) | 8218218242 xxdxxdxxxx dx x dxdxxx xx 43
20、 解 取0b 原式 = 2 2222 00 022 1 limlim(1) (1)2(1) 11111 lim () |lim (1) 21212 bb bb b bb xx dxdx xx xb 44 解 对x求偏导数时，视 y为常量，有 23 3 z x yy x 对y求偏导数时，视x为常量，有 32 3 z xxy y 45 解 先求偏导数，再求偏导数在指定点的值。 视y为常量，对x求偏导数 2222 ( , )22 xyxy x fx yexxe 将1,0xy代入上式，得 22 (1,0) (1,0)2|2 xy x fxee 视x为常量，对y求偏导数 222 (,)22 xyxy y
21、 fxyeyy e 将0,1xy代入上式，得 22 (0,1) (0,1)2|2 xy y fyee 46 解 由于 2222 1 lnln() 2 zxyxy 先求一阶偏导数 2222 , zxzy xxyyxy 于是 22222 22222222 22222 22222222 2 22222 2 22222 ()2 () () ()2 () () 2 () () 2 () () zxxyxxyx xx xyxyxy zyxyyyxy yy xyxyxy zxxy x yy xyxy zyxy y xx xyxy 47 解 求偏导数 22 ( , )33,( , )33 xy fx yyxf
22、x yxy； 解方程组 2 2 330 330 yx xy 得到驻点(0,0)和（1,1）。 求二阶偏导数 ( , )6 ,( , )3,( , )6 xxxyyy fx yx fx yfx yy 对 于 点 （ 0 ， 0 ）：( 0 ,0 )0 ,( 0 ,0 ) 3 ,( 0 ,0 )0 xx yy AfBfCf因 2 490BAC，故该点不是极值点。 对 于 点( 1 ,：(1,1)6,(1,1)3,(1,1)6 xxxyyy AfBfCf， 因 2 42 700BA CA且， 故 该 点 是 极 大 值 点 ， 极 大 值 为 (1,1)3 1 1 111f。 48 解 （1） 45
23、4540445048908498 465251 605065108111 115 AB （2） 454050454448 2323 465150526065 3 453443482452402 50225212244 3 523603652462512 50248282295 AB （3） 454050454448 465150526065 454540445048042 4652516050656915 AB 49解 232 13 2223( 1)81 12 121 1221 22( 1)34 21 424 1( 2)242( 2)( 1)010 AB 50 解 214 322 T A 51
24、 解 （1） 24 451451 254684 132132 684254 rr A （2） 3 2 451451 25461512 132132 684684 r A （3） 3 24 451451 254254 132132 6840716 rr A 52 解 （1）A B表示在两次抽查中至少一次抽到合格品，即第 一次抽到合格品或第二次抽到合格品，或两次都抽到合格品； AB表示两次都抽到合格品；AB表示第一次未抽到合格品而第 二次抽到合格品； AB表示两次都未抽到合格品；AB表示两次中至少一次未抽到 合格品。 （）,ABAB而ABAB是的对立事件，故ABAB与是对立事 件；又ABAB，而A
25、B是AB的对立事件，故ABAB 与是对立事件。 53 解 从 20 件产品中抽取2 件，所有可能的取法有 2 20 C种，每一 种取法机会均等，可视为古典概型。 （1）设 A= 两件都是次品 ，应从 3 件次品中任取2 件，即 A 有 2 3 C种取法，故 2 3 2 20 32 3 2! ( ) 20 19 190 2! C P A C (2) 设 B= 两件都是正品 ，应从 17 件正品中任取2 件，即 B 有 2 17 C种取法，故 2 17 2 20 17 16 68 2! ( ) 20 19 95 2! C P B C (3)设 C=恰有一件次品 ，应从 3 件次品中任取1 件，从
26、17 件 正 品 中 任 取1件 ， 即C有 11 317 C C种 取 法 ， 故 11 317 2 20 3 1751 () 20 19 190 2! C C P C C 54 解 设 A 第一支股票能赚钱 ，B= 第二支股票能赚钱 ，则 两支股票都能赚钱 AB, 至少有一支股票能赚钱 A+B. 依 题设，本题是求()P AB. 因为 233 (),( ),() 345 P AP BP AB 由概率加法公式得 49 ()()()()0.8167 60 P ABP AP BP AB 即至少有一支股票能赚钱的概率为0.8167。 55 分析由于改产品须经过两道独立的工序，要想得到合格产 品，两
27、道工序必须都合格，也就说，如果最终产品是次品，说明 两道工序中至少有一道工序出了次品，因此，若设 A= 第一道工 序出次品 ，B= 第二道工序出次品 ，则 A+B= 生产出的产品为 次品 ，则题中所求为 ()P AB。 解 依题和分析，两道工序独立工作，故事件A 与 B 相信独立， 且()0.01,()0.04P AP B.于是，根据独立事件的概率公式有 ()1() ( )1(1 0.01)(1 0.04)P ABP A P B0.0496 56 解 由于任意时刻每个供水设备要么被使用，要么不被使用， 每个设备被使用的概率都为0.1，不被使用的概率都为0.9，且改 写字楼装有 6 个同类型的供
28、水设备， 因此该问题可看作6 重伯努 利试验。若以x表示这 6 个同类型的供水设备中在同一时刻被使 用的个数，依题设， (6,0.1)xB,即 6 6 ()0.1 0.9,0,1,2,3,4,5,6 kkk P xkCk (1)恰好有 2 个设备被使用的概率为 226 2 6 (2)0.1 0.90.0984P xC (2)至少有4个设备被使用的概率是 446 4556 5666 6 666 (4)(4)(5)(6) 0.1 0.90.1 0.90.1 0.9 0.0012150.000054 0.0000010.0013 P xP xP xP x CCC (3)）至少有一个设备被使用的概率是
29、 6 (1)1(0)1(0.9)0.4686P xP x 57 解设X为 未 来 一 年 内 发 生 火 灾 的 商 店 数 ， 依 题 ， (2000,0.002)xB即 2000 2000 ()0.002 0.998,0,1,2,.,2000 kkk P xkCk (1)若按二项分布直接计算 552000 5 2000 (5)0.002 0.9980.1564P xC (2) 设 B= 未来一年内保险公司获利不少于200 万元 ，则 B 发 生意味着 2000 15002000002000000x即5x。若按二项分布直接计算 ()(5)(0)(1)(2)(3)(4)(5) 0.018240
30、.073120.146450.195460.195560.156440.7853 P BP xP xP xP xP xP xP x 此结果表明， 未来一年内保险公司获利不少于200 万元的概率为 0.7853 另外 在该问题中，由于2000n很大，0.002p很小，45np， 所以可以用泊松分布来进行近似计算，取4np，则有（ 1） 5 44 (5)0.156293 5! P xe （2） (5)(0)(1)(2)(3)(4)(5) 0.018360.0732630.1465250.1953670.1562830.785121 P xP xP xP xP xP xP x 误差较小。 58解由密
31、度函数的性质( )1f x dx，有 011 010 001dxaxdxdxaxdx 即 2 1 0 |12 22 xa aa。 （2）( 10.5)Px= 0.500.5 20.5 0 110 ( )02|0.25f x dxdxxdxx (3) 0.800.8 20.8 0 0 (0.8)( )02|0.64P xf x dxdxxdxx 59 解 根据题意 2 (50,0.75 )xN.由正态分布的概率公式得到合 格品的概率为 501.550501.550 (501.5501.5)()() 0.750.75 (2)( 2)2(2)120.9772510.9545 PX 60 解 设 X
32、表示出租车汽车公司一天中发生交通事故的车辆 数。由于每辆出租车一天中要么发生交通事故，要么不发生交通 事故，且每辆车发生交通事故的概率都为0.01，故( 5 0 0 , 0 . 0 1 )XB， 于是该出租车汽车公司一天中发生交通事故的出租车平均有 ()500 0.015E Xnp辆辆 辆 61 解 设这批产品的产值为X，它是随机变量，由题意，X 的概 率分布为： X 6 4.8 4 0 P 0.6 0.2 0.1 0.1 于是，这批产品的平均值为 ()0.64.8 0.24 0.10 0.1E X（6）元 4.96 元 62 解（1） 平均成绩为 1 (728190.90)76.4667 1
33、5 x分分76.5 分 （2）中位数为： 先将这 15 研究生的成绩按从小到大的顺 序进行排序，得 3063727576788081828385909090 15n是奇数，则 18 () 2 80 en Mxx (3)众位数：在这 15 名研究生期末考试成绩中，90 分 出现的频数最多，所以其众数 0 90M 63 解 先可算出甲乙两地得两组月平均气温得样本均值，即甲乙 两地得年平均气温： 1 12 1 19.75 12 x x 甲 乙 （16+18+.+15 ）=20 （-20）+（-15）+.+5 甲乙两地气温的方差分别为 2 2 1 121 1 389.1136 121 s s 甲 乙
34、222 222 （16-20)+(18-20)+.+(15-20） =8.7273 （-20-19.75 ）+（-15-19.75 ）+.+(5-19.75) 标准差分别为19.7260s 乙甲=2.9542 s 说明乙地气温的方差及标准差远远大于甲地，即乙地的样本数据 的分散程度远远大于甲地 64 解 由于 X 服从参数为的泊松分布，即( )xP,则()E X,由 数字特征法得 1 ()(0361 402193240526 1)11 100 E Xx，即 65 解 奶牛年产奶量不服从正态分布，但在样本容量n足够大时， 可以近 似地服从 正态分布 。依题意 设， 3000,300,400,10
35、.95,0.05xnaa反查标准正态分布表，得 0.025 2 1.96 a uu。于是，由正态分布表的点估计公式，全区每头奶 牛 年 产 奶 量 得 置 信 度 为95 的 置 信 区 间 为 300300 (30001.96,30001.96)(2970.6,3029.4) 400400 66 解 这是对正态总体，在已知方差的条件下，对均值u作右单 侧假设检验的问题。 由于若处理后的水合格，则水中该有毒物质 的平均浓度u不应超过10/mg L，故提出假设 0: 10/Humg L 由题意设20,2.5/,11/nmg L xmg L，所以 0 1110 1.7889 /2.5/20 xu U n 由0.05a，查表得1.645 a u。 因为1.78891.645U，一次抽样结果落入了右侧的拒绝域，故应 拒绝 0 H，即在显著性水平0.05a下认为该厂处理后的水是不合格 的。