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1、高考总复习 含详解答案 高中数学高考总复习函数的单调性与最值习题及详解 一、选择题 1已知 f(x) x x 3， xa，b，且 f(a) f(b)1 ，若 f(x)在(， )上单调递增，则 实数 a 的取值范围为() A(1,2) B(2,3) C(2,3 D (2， ) 答案 C 解析 f(x)在 R 上单调增， 高考总复习 含详解答案 a1 a20 a2 11loga1 ， 2log54log530， log53(log53) 20，而 log 451， cab. 7若 f(x)x 3 6ax 的单调递减区间是(2,2)，则 a 的取值范围是 () A(， 0 B2,2 C2 D 2，
2、) 高考总复习 含详解答案 答案 C 解析 f (x)3x 2 6a， 若 a0，则 f (x)0， f(x)单调增，排除A； 若 a0，则由 f (x)0 得 x 2a，当 x2a时， f (x)0，f(x)单调增， 当2a0 的 x 的取值范围是 () A(3， ) B(0， 1 3) C(0， ) D (0，1 3)(3， ) 答案 D 解析 定义在R 上的偶函数f(x)在0， )上是增函数， 且 f(1 3)0， 则由 f(log 1 27 x)0， 得|log 1 27 x|1 3，即 log 1 27x 1 3或 log 1 27xbcBacb CbcaD cba 答案 D 解析
3、f(x)在1,0上单调增， f(x)的图象关于直线x0 对称， f(x)在0,1 上单调减；又f(x)的图象关于直线x 1 对称， f(x)在1,2 上单调增，在 2,3 上单调减 由对称性 f(3)f(1)f(1)f(a)得 2a2a， 20， 则函数 f(x)在a，b上有 () A最小值f(a) B最大值f(b) C最小值f(b) D最大值f ab 2 答案 C 解析 令 xy 0 得，f(0)0， 令 y x 得，f(0)f(x)f(x)， f(x) f(x) 对任意 x1，x2R 且 x10， f(x1)f(x2)， f(x)在 R 上是减函数， f(x)在a，b上最小值为f(b) 二
4、、填空题 11 (2010 重庆中学 )已知函数 f(x)axb x 4(a， b为常数 )， f(lg2) 0， 则 f(lg1 2)_. 答案 8 解析 令 (x)ax b x，则 (x)为奇函数， f(x) (x)4， f(lg2) (lg2) 40， (lg2)4， f(lg1 2)f(lg2) ( lg2) 4 (lg2)4 8. 12偶函数 f(x)在(， 0上单调递减， 且 f(x)在2，k上的最大值点与最小值点横坐 标之差为3，则 k_. 答案 3 解析 偶函数 f(x)在 (，0上单调递减，f(x)在0， )上单调递增 高考总复习 含详解答案 因此，若 k0，则 k(2)k2
5、0，f(x)在2,0上单调减在 0， k上单 调增，最小值为f(0)，又在 2，k上最大值点与最小值点横坐标之差为3， k03， 即 k 3. 13函数 f(x)ax1 x3 在(， 3)上是减函数，则a 的取值范围是_ 答案 ， 1 3 解析 f(x)a3a1 x3 在(， 3)上是减函数，3a10，则 t 的取值范围是_ 答案 (1， 1 a )(0，a) 解析 f(logat)0，即 f(logat)f 1 2 ， f(x)在(0， )上为增函数，logat1 2， 00 又可化为 f(logat)f 1 2 ， 奇函数 f(x)在(0， )上是增函数， f(x)在(，0)上为增函数，0
6、logat1 2， 00 且 a1. (1)求 f(x)的定义域； (2)判断 f(x)的奇偶性并予以证明； (3)当 a1 时，求使 f(x)0 的 x 的取值集合 解析 (1)要使 f(x) loga(x1)loga(1x)有意义，则 x10 1x0 ，解得 11 时， f(x)在定义域 x|10? x1 1x1. 解得 00 的 x 的取值集合是 x|00，a1) (1)求 m 的值； (2)求函数 f(x)的单调区间； (3)若当 x(1，a2)时， f(x)的值域为 (1， )，求实数 a 的值 解析 (1)依题意， f(x) f(x)，即 f(x)f( x)0，即 loga1mx
7、x 1 loga 1 mx x10， 1mx x1 1mx x1 1， (1 m 2 )x 20 恒成立， 1m 20， m 1 或 m1(不合题意，舍去 ) 当 m 1 时，由 1x x10 得， x(， 1)(1， )，此即函数 f(x)的定义域， 又有 f(x)f(x)， m 1 是符合题意的解 (2)f(x)loga1x x1 ， f (x)x 1 x 1 1x x1 logae x1 x1 x1 x 1 x1 2logae 2logae 1x 2 若 a1，则 logae0 当 x(1， )时， 1 x 20， (1， )是 f(x)的单调递增区间；由奇函数的性质知，(， 1)是 f
8、(x)的单调递增 区间 高考总复习 含详解答案 (3)令 t1x x11 2 x 1，则 t 为 x 的减函数 x(1， a2)， t 1 2 a3， 且 a3，要使 f(x)的值域为 (1，)，需 log a 1 2 a 3 1，解得 a23. 17(2010 山东文 )已知函数 f(x)lnxax1a x 1(aR) (1)当 a1 时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程； (2)当 a1 2时，讨论 f(x)的单调性 解析 (1)a1 时，f(x)lnxx 2 x 1， x(0， ) f (x)x 2x2 x 2 ，x(0， )， 因此 f (2) 1， 即曲线 yf(x)在
9、点 (2，f(2) 处的切线斜率为1. 又 f(2)ln2 2， 所以 yf(x)在 (2，f(2) 处的切线方程为y(ln22)x2， 即 xyln20. (2)因为 f(x)lnxax 1a x 1， 所以 f (x)1 xa a 1 x 2 ax 2x 1a x 2x(0， ) 令 g(x)ax 2x1a， 当 a0 时， g(x)1x， x(0， )， 当 x(0,1) 时， g(x)0，f (x)0，f(x)单调递增； 当 a0 时， f (x)a(x1)x(1 a1)， ()当 a1 2时， g(x) 0 恒成立， f (x)0，f(x)在(0， )上单调递减； ()当 010， x(0,1) 时， g(x)0，此时 f (x)0，f(x)单调递增； x(1 a1， )时， g(x)0，此时 f (x)0，有 f (x)0，f(x)单调递增 综上所述： 当 a0 时，函数 f(x)在(0,1) 上单调递减， (1， )上单调递增； 当 a 1 2时， f(x)在(0， )上单调递减； 当 0a1 2时，f(x)在(0,1)上单调递减，在 (1，1 a1)上单调递增，在 (1 a1， )上单调递 减 注：分类讨论时要做到不重不漏，层次清楚