《2012年上海高考文科数学试卷真题及答案(文数,word解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2012年上海高考文科数学试卷真题及答案(文数,word解析版).pdf（12页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、2012 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷） 数学（文科） 【整理】 佛山市三水区华侨中学骆方祥（ ） 一、填空题（本大题共有14 题，满分56 分） 1计算： i i 1 3 = （i 为虚数单位） . 【答案】 1-2i 【解析】 i i 1 3 = (3)(1) (1)(1) ii ii =1-2i 【点评】本题着重考查复数的除法运算，首先将分子、分母同乘以分母的共轭复数，净分 母实数化即可。 2 若集合012|xxA， 1|xxB，则BA= . 【答案】 1 |1 2 xx 【解析】由集合A 可得： x 1 2 ，由集合B可得： -1x1，所以，BA= 1 |1 2 xx 【点评
2、】本题考查集合的概念和性质的运用，同时考查了一元一次不等式和绝对值不等的 解法，解决此类问题，首先分清集合的元素的构成，然后，借助于数轴可得。 3 函数 x x xf cos1 2sin )(的最小正周期是 . 【答案】 【解析】根据韪得： 1 ( )sincos2sin 22 2 f xxxx 【点评】 本题主要考查行列式的基本运算、三角函数的周期性、二倍角公式.考纲中明确要 求掌握二阶行列式的运算性质，属于容易题，难度较小. 4若是直线的一个方向向量，则的倾斜角的大小为（结果用反三角函数 值表示） . 【答案】 【解析】 设直线的倾斜角为，则 2 1 arctan, 2 1 tan. 【点
3、评】 本题主要考查直线的方向向量、直线的倾斜角与斜率的关系、反三角函数的表示. 直线的倾斜角的取值情况一定要注意，属于低档题，难度较小. 5.一个高为2 的圆柱，底面周长为2，该圆柱的表面积为. 【答案】6 【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为1r，所以该圆柱的表面积为： 62422 2 rrlS 圆柱表 . 【点评】 本题主要考查空间几何体的表面积公式.审清题意，所求的为圆柱的表面积，不是 侧面积，也不是体积，其次，对空间几何体的表面积公式要记准记牢，属于中低档题. 6.方程 1 4230 xx 的解是. 【答案】3log 2 【解析】 根据方程0324 1xx ，化简得0322)2
4、( 2xx ，令20 x t t， 则原方程可化为032 2 tt，解得3t或舍1t，即3log, 32 2 x x .所以原方 程的解为3log2 . 【点评】 本题主要考查指数型方程、指数的运算、指数与对数形式的互化、换元法在求解数 学问题中的运用.本题容易产生增根，要注意取舍，切勿随意处理，导致不必要的错误.本题 属于中低档题目，难度适中. 7.有一列正方体， 棱长组成以1 为首项、 1 2 为公比的等比数列， 体积分别记为 12 ,.,. n V VV， 则 12 lim(.) n n VVV. 【答案】 7 8 【解析】 由正方体的棱长组成以1为首项， 2 1 为公比的等比数列，可知
5、它们的体积则组成了 一个以 1 为首项， 8 1 为公比的等比数列，因此， 7 8 8 1 1 1 )(lim 21n n VVV. 【点评】 本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义. 考查知识较综合. 8.在 6 1 x x 的二项式展开式中，常数项等于. 【答案】20 【解析】 根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是 333 46 1 C()20Tx x . 【点评】 本题主要考查二项式定理.对于二项式的展开式要清楚，特别注意常数项的构成.属 于中档题 . 9.已知( )yf x是奇函数，若( )( )2g xf x且(1)1g，则( 1)g. 【
6、答案】3 【 解 析 】 因 为 函 数)(xfy为 奇 函 数 ， 所 以 有)()(xfxf， 即 , 1)1 (, 1)1(, 2)1 () 1(fgfg所 以 ，又 3212) 1()1(,1)1()1(fgff. 【点评】 本题主要考查函数的奇偶性.在运用此性质解题时要注意：函数)(xfy为奇函数， 所以有)()(xfxf这个条件的运用，平时要加强这方面的训练，本题属于中档题，难 度适中 . 10.满足约束条件22xy的目标函数zyx的最小值是. 【答案】2 【解析】 根据题意得到 0, 0, 22; x y xy 或 0, 0, 22; x y xy 或 0, 0, 22; x y
7、 xy 或 0, 0, 22. x y xy 其可行域为平行四边形ABCD区域，（包括边界）目标函数可以化成zxy，z的最小 值就是该直线在y轴上截距的最小值，当该直线过点)0, 2(A时，z有最小值，此时 2 m i n z. 105510 6 4 2 2 4 6 y=x+z B D AC 【点评】 本题主要考查线性规划问题，准确画出可行域，找到最优解，分析清楚当该直线过 点)0 ,2(A时，z有最小值，此时 2 min z，这是解题的关键，本题属于中档题，难度适 中. 11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人只选择一个项目，则有且仅有两位 同学选择的项目相同的概率是（结果用最简
8、分数表示）. 【答案】 3 2 【解析】 一共有 27 种取法， 其中有且只有两个人选择相同的项目的取法共有18 种，所以根 据古典概型得到此种情况下的概率为 3 2 . 【点评】 本题主要考查排列组合概率问题、古典概型.要分清基本事件数和基本事件总数.本 题属于中档题 . 12.在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的 点，且满足 BMCN BCCD ，则AM AN的取值范围是 【答案】4, 1 【解析】 以向量 AB所在直线为x轴，以向量AD 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如 图所示，因为1, 2 ADAB，所以(0,0),(2,0),(2,1)(
9、0,1).ABCD设 )20(),1 ,(),2(xxNbM，根据题意， 2 2x b，所以 2 ( ,1),(2,). 2 x ANxAM 所以1 2 3 xANAM20x，所以41 2 3 1x， 即41ANAM. 105510 6 4 2 2 4 6 C A D B M N 【点评】 本题主要考查平面向量的基本运算、概念、平面向量的数量积的运算律.做题时， 要切实注意条件的运用.本题属于中档题，难度适中. 13.已知函数( )yfx的图像是折线段ABC，其中(0, 0)A、 1 (,1) 2 B、(1,0)C，函数 ( )yxf x（01x）的图像与x轴围成的图形的面积为. 【答案】 4
10、 1 【解析】 根据题意，得到 1 2 ,0 2 ( ) 1 22,1 2 xx fx xx ， 从而得到 1 2 1 ,22 2 1 0 ,2 )( 2 2 xxx xx xxfy 所以围成的面积为 4 1 )22(2 1 2 1 2 2 1 0 dxxxxdxS，所以围成的图形的面积为 4 1 . 【点评】 本题主要考查函数的图象与性质，函数的解析式的求解方法、定积分在求解平面图 形中的运用 .突出体现数形结合思想，本题综合性较强，需要较强的分析问题和解决问题的 能力，在以后的练习中加强这方面的训练，本题属于中高档试题，难度较大. 14. 已 知 1 ( ) 1 f x x ， 各 项 均
11、 为 正 数 的 数 列 n a满 足 1 1a， 2 () nn af a， 若 2 0 1 02 0 1 aa，则 2011 aa的值是. 【答案】 26 5133 【解析】据题 x xf 1 1 )(，并且)( 2nn afa，得到 n n a a 1 1 2 ，1 1 a， 2 1 3 a， 20122010 aa，得到 2010 2010 1 1 a a ，解得 2 15 2010 a（负值舍去）.依次往前推得到 26 5133 1120 aa. 【 点 评】 本题主要考查数列的概念、组成和性质、同时考查函数的概念.理解 条件 )( 2nn afa 是解决问题的关键，本题综合性强，运
12、算量较大，属于中高档试题. 二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分） 15.若12i是关于x的实系数方程 2 0xbxc的一个复数根，则（） A2,3bcB.2,1bcC.2,1bcD.2,3bc 【答案】D 【解析】 根据实系数方程的根的特点知12i也是该方程的另一个根，所以 bii22121，即2b，cii3)21)(21(，故答案选择D. 【点评】 本题主要考查实系数方程的根的问题及其性质、复数的代数形式的四则运算.属于 中档题，注重对基本知识和基本技巧的考查，复习时要特别注意. 16.对于常数m、n， “0mn”是“方程 22 1mxny的曲线是椭圆”的（） A充分不必要条件B.必
13、要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】 方程 1 22 nymx的曲线表示椭圆，常数常数nm,的取值为 0, 0, , m n mn 所以，由 0mn得不到程1 22 nymx的曲线表示椭圆，因而不充分；反过来，根据该曲线表示 椭圆，能推出0mn，因而必要 .所以答案选择B. 【点评】 本题主要考查充分条件和必要条件、充要条件、椭圆的标准方程的理解.根据方程 的组成特征，可以知道常数nm,的取值情况 .属于中档题 . 17.在ABC中，若 222 sinsinsinABC，则ABC的形状是（） A钝角三角形B、 .直角三角形C.锐角三角形D.不能确定 【
14、答案】A 【解析】 由正弦定理，得,sin 2 ,sin 2 ,sin 2 C R c B R b A R a 代入得到 222 abc， 由余弦定理的推理得 222 cos0 2 abc C ab ， 所以 C为钝角， 所以该三角形为钝角三角形. 故选择 A. 【点评】 本题主要考查正弦定理及其推理、余弦定理的运用.主要抓住所给式子的结构来选 择定理，如果出现了角度的正弦值就选择正弦定理，如果出现角度的余弦值就选择余弦定理. 本题属于中档题. 18.若 2 sinsin.sin 777 n n S（nN） ，则在 12100 ,.,S SS中，正数的个数是 （） A16 B.72 C.86
15、D.100 【答案】 C 【解析】 依据正弦函数的周期性，可以找其中等于零或者小于零的项. 【点评】 本题主要考查正弦函数的图象和性质和间接法解题.解决此类问题需要找到规律， 从题目出发可以看出来相邻的14 项的和为0，这就是规律，考查综合分析问题和解决问题 的能力 . 三、解答题（本大题共有5 题，满分74 分） 19如图，在三棱锥P- ABC中， PA 底面 ABC，D 是 PC的中点 . 已知 BAC= 2 ，AB=2，AC= 2 3， PA=2.求： （1）三棱锥P- ABC的体积；（6 分） （2）异面直线BC与 AD 所成的角的大小（结果用反三 角函数值表示）. （6 分） 解 （
16、1）32322 2 1 ABC S，2 分 三棱锥 P- ABC的体积为 3 34 3 1 3 1 232PASV ABC . 6 分 （2）取 PB的中点 E，连接 DE、AE，则 EDBC ，所以 ADE（或其补角）是异面直线 BC与 AD 所成的角 . 8 分 在三角形ADE 中， DE=2，AE= 2 ，AD=2， 4 3 222 222 22 cos ADE，所以 ADE= 4 3 arccos. 因此，异面直线BC与 AD 所成的角的大小是 4 3 arccos. 12 分 【点评】 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证 能力综合考查空间中两条异
17、面直线所成的角的求解，同时考查空间几何体的体积公式的运 用.本题源于必修2立体几何章节复习题，复习时应注重课本，容易出现找错角的情况， 要考虑全面，考查空间想象能力，属于中档题 20已知函数) 1lg()(xxf. （1）若1)()21(0xfxf，求x的取值范围；（6 分） （2）若)(xg是以 2 为周期的偶函数，且当10x时，有)()(xfxg，求函数 )(xgy)2, 1 (x的反函数 . （8 分） 解 （1）由 01 022 x x ，得11x. P A B C D P A B C D E 由1lg)1lg()22lg(0 1 22 x x xx得101 1 22 x x . 3
18、分 因为01x，所以1010221xxx， 3 1 3 2 x. 由 3 1 3 2 11 x x 得 3 1 3 2 x. 6 分 （2）当 x 1,2时， 2- x 0,1，因此 )3lg()2()2()2()(xxfxgxgxgy. 10 分 由单调性可得2lg,0y. 因为 y x103，所以所求反函数是 x y103，2lg,0x. 14 分 【点评】 本题主要考查函数的概念、性质等基础知识以及数形结合思想，熟练掌握指数函数、 对数函数、幂函数的图象与性质是关键，属于中档题 21海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴 正方向建立平面直角坐标系（以
19、1 海里为单位长度） ，则救援船恰在失事船的正南方向12 海 里 A 处，如图 . 现假设：失事船的移动路径可视为抛物线 2 49 12 xy；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救 援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为t7. （1）当5.0t时，写出失事船所在位置P的纵坐标 . 若此时 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6 分） （2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8 分） 解 （1）5 .0t时， P的横坐标xP= 2 7 7t，代入抛物线方程 2 49 12 xy 中，得 P的纵坐标yP=3. 2 分 由 | AP|= 2 949 ，得 救援船速度的大小为9
20、49海里 / 时. 4 分 由 tan OAP= 30 7 123 2 7 ，得 OAP=arctan 30 7 ，故 救援船速度的方向 为北偏东arctan 30 7 弧度 . 6 分 （2）设 救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为)12,7( 2 tt. 由 222 )1212()7(ttvt，整理得337)(144 2 1 22 t tv. 10 分 因为22 12 t t，当且仅当 t=1时等号成立， 所以 22 253372144v，即25v. 因此，救援船的时速至少是25 海里才能追上失事船. 14 分 【点评】 本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识选择恰
21、当的函数模型是解决此 类问题的关键， 属于中档题考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析 与解决问题的能力属于中档偏上题目，也是近几年高考的热点问题 22在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 12: 22 yxC. x O y P A （1）设 F 是 C 的左焦点， M 是 C 右支上一点 . 若| MF|= 2 2，求过 M 点的坐标；（5 分） （2）过 C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形 的 面积； （5 分） （3）设斜率为 )2|(|kk 的直线 l2 交 C于 P、Q 两点，若l 与圆 1 22 yx相切， 求证： OPOQ； （6
22、分） 解 （1）双曲线1: 2 2 1 2 yC x ，左焦点)0,( 2 6 F. 设),(yxM，则 2 2 222 2 62 )3()(|xyxMF， 2 分 由 M 是右支上一点，知 2 2 x，所以223| 2 2 xMF，得 2 6 x. 所以 )2,( 2 6 M. 5 分 （2）左顶点)0,( 2 2 A，渐近线方程：xy2. 过 A 与渐近线xy2平行的直线方程为：)(2 2 2 xy，即12xy. 解方程组 12 2 xy xy ，得 2 1 4 2 y x . 8分 所求平行四边形的面积为 4 2 |yOAS. 10 分 （3）设直线 PQ的方程是bkxy. 因直线与已知
23、圆相切，故1 1 | 2 k b ， 即1 22 kb (*). 由 12 22 yx bkxy ，得 012)2( 222 bkbxxk. 设 P(x1, y1)、Q(x2, y2)，则 2 2 2 2 1 21 2 2 21 k b k kb xx xx . )( 2121 bkxbkxyy，所以 2 2121 2 2121 )()1(bxxkbxxkyyxxOQOP 2 22 2 22 2 22 2 1 2 2 2 )1)(1( k kb k bk k bk . 由 (*) 知 0OQOP ，所以 OPOQ. 16 分 【点评】 本题主要考查双曲线的概念、标准方程、 几何性质及其直线与双
24、曲线的关系特别 要注意直线与双曲线的关系问题，在双曲线当中，最特殊的为等轴双曲线，它的离心率为 2，它的渐近线为xy，并且相互垂直，这些性质的运用可以大大节省解题时间，本 题属于中档题 23对于项数为m 的有穷数列数集 n a，记,ma x 21kk aaab（k=1, 2, , m） ，即 k b 为 k aaa, 21 中的最大值， 并称数列 n b是 n a的控制数列 . 如 1, 3, 2, 5, 5 的控制数列是 1,3, 3, 5, 5. （1） 若各项均为正整数的数列 n a的控制数列为2, 3, 4, 5, 5， 写出所有的 n a； （4 分） （2）设 n b是 n a的控
25、制数列，满足Cba kmk1 （C为常数， k=1, 2, , m）. 求证： kk ab（k=1,2, m） ； （6 分） （3）设 m=100，常数 )1,( 2 1 a. 若 nana nn n 2 )1( )1( 2 ， n b是 n a的控制数列， 求)()()( 1001002211 ababab. 解 （1）数列 n a为： 2, 3, 4, 5, 1；2, 3, 4, 5, 2；2, 3, 4, 5, 3； 2, 3, 4, 5, 4；2, 3, 4, 5, 5. 4 分 （2）因为,max 21kk aaab，,max 1211kkk aaaab， 所以 kk bb 1 .
26、 6 分 因为Cba kmk1 ，Cba kmk1 ， 所以0 11kmkmkk bbaa，即 kk aa 1 . 8 分 因此， kk ab. 10 分 （3）对25, 2, 1k，)34()34( 2 34 kkaa k ； )24()24( 2 24 kkaa k ； ) 14() 14( 2 14 kkaa k ；)4()4( 2 4 kkaa k . 比较大小，可得 3424kk aa. 12 分 因为1 2 1 a，所以0) 38)(1( 2414 kaaa kk ，即 1424kk aa； 0)14)(12(2 244 kaaa kk ，即 244kk aa. 又 kk aa 4
27、14 ， 从而 3434kk ab， 2424kk ab， 2414kk ab， kk ab 44 . 15 分 因此)()()( 1001002211 ababab =)()()()()( 9999141410107733 ababababab kk =)()()()()( 999814241097632 aaaaaaaaaa kk = 25 1 1424 )( k kk aa= 25 1 )38()1 ( k ka=)1(2525a. 18 分 【点评】 本题主要考查数列的通项公式、等差、等比数列的基本性质等基础知识，本题属于 信息给予题，通过定义“ 控制 ” 数列，考查考生分析探究及推理论证的能力综合考查数列的 基本运算，数列问题一直是近几年的命题重点内容，应引起足够的重视