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1、25.3 利用频率估计概率 5 分钟训练 (预习类训练 ,可用于课前 ) 1.一枚质量分布均匀的骰子，抛掷后出现“1”的概率大约为_. 思路解析： 由于骰子质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的概率相等，出现的点数为 “ 1” “2” “3” “4” “5” “6”各占 6 1 ，所以出现“1”的概率为 6 1 . 答案： 6 1 2.掷两个骰子，求投掷出点数之和为7 的概率 . 思路分析： 掷两颗普通的正方体骰子，记录两颗骰子的点数之和，如果第一颗骰子的点数为 a，第二颗骰子的点数为b，我们将它记为(a，b)(注意：第一颗骰子的点数在前面). (1，1),(1，2),(1，3),(1，4),
2、(1，5),(1，6), (2，1),(2，2),(2，3),(2，4),(2，5),(2，6), (3，1),(3，2),(3，3),(3，4),(3，5),(3，6), (4，1),(4，2),(4，3),(4，4),(4，5),(4，6), (5，1),(5，2),(5，3),(5，4),(5，5),(5，6), (6 ， 1),(6，2),(6，3),(6，4),(6，5),(6，6), 总共 36 种结果，点数之和为7；有 6 种，则其概率是 6 1 . 3.已知 |a|=2,|b|=5,求 |a+b|的值为 7 的概率 . 思路分析：先求出a=2,b=5,根据题意画出下列树形图：
3、即 a+b 的结果有4 种可能 ,其中绝对值等于7 的有两组 , P(|a+b|=7)= 4 2 = 2 1 . 4.请设计一个摸球游戏，使得摸到红球的概率是 2 1 ，摸到白球的概率是 3 1 . 解：除颜色外都相同的小球6 个，其中红的3 个，白的2 个，蓝的1 个.求任意摸一个球的 概率 . 10 分钟训练 (强化类训练 ,可用于课中 ) 1.下列说法正确的是( ) 试验条件不会影响某事件出现的频率； 在相同的条件下试验次数越多，就越有可能得到较好的概率值，但各人所得的值不一定相 同； 如果一枚骰子的质量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的概率均等； 抛掷两枚质量分布均匀的相同的硬币，出现
4、“两个正面”“两个反面”“一正一反”的概率 相同 . A.B.C. D. 思路解析：试验条件会影响某事件出现的频率，所以错；在相同的条件下试验次数越多， 就越有可能得到较好的估计值，但各人所得的值不一定相同，所以对； 如果一枚骰子的质 量分布均匀，那么抛掷后每个点数出现的机会均等是对的；抛掷两枚质量分布均匀的相同 的硬币，出现“两个正面”和“两个反面”的概率都是 4 1 ，而“一正一反”的概率是 2 1 . 答案： B 2.下 列说法中不正确的是( ) A.试验中， 随着试验次数的增加，随机事件发生的频率逐渐稳定到一个数值，这个数值可以 作为这一随机事件发生概率的估计值 B.通过试验的方法用频
5、率估计概率的大小，必须要求试验是在相同条件下进行 C.抛两枚硬币的试验，可用这样的试验替换：在两个袋子中各放一黑一白两球，闭上眼睛分 别从两个袋子中各摸一只球，若摸出两个黑球，代表两个正面 D.转除半径大小不同外其他都一样的两个转盘(如图 25-3-1)，转大转盘时指针落入红色的概 率比转小转盘时指针落入红色的概率大. 图 25-3-1 思路解析：选项A、B、C 显然是正确的，选项D 中，虽然两个转盘的半径大小不同，但是 转大转盘时指针落入红色的概率与转小转盘时指针落入红色的概率都是 2 1 ，是相同的 . 答案： D 3.某批乒乓球产品质量检查情况如下表： 抽取球数n 50 100 200
6、500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 n m (1)算出各种情况下的优等品频率 n m ； (2)估计这批乒乓球的优等率. 解:(1) 抽取球数n 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数m 45 92 194 470 954 1 902 优等品频率 n m 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 (2)这批乒乓球的优等率接近0.95. 4.某校每学期都要对优秀的学生进行表扬，而每班采取民主投票的方式进行选举，然后把名 单报到学校 .若每个班级平均分到 3 位三好生、 4 位模范生、
7、5 位成绩提高奖的名额，且各项 均不能兼得 .现在学校有30 个班级，平均每班50 人. (1)作为一名学生，你恰好能得到荣誉的概率有多大？ (2)作为一名学生，你恰好能当选三好生、模范生的概率有多大？ (3)在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数中，哪些是解决上面 两个问题所需要的？ (4)你可以用哪些方法来模拟试验？ 思路分析： (1) 25 6 ； (2) 50 3 ， 25 2 ； (3)班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数； (4)用 50 个小球，其中3 个红球、 4 个白球、 5 个黑球，其余均为黄球，把它们装进不透明 的口袋中搅匀， 闭着眼从中摸出一
8、个球，则摸到非黄球的机会就是得到荣誉的机会，摸到红 球或白球的机会就是当选为三好生和模范生的概率. 快乐时光 教授的不同 在一所大学的操场上,政治学教授、哲学教授和语言学教授围着一根旗杆.数学教授走过 来,问:“先生们在忙什么?” “我们需要这旗杆的高度,正在讨论用什么手段得到它.”政治学教 授说 .“瞧我的 !”数学教授说着,弯下腰抱紧旗杆使劲一拔,把旗杆拔出后,放倒在地 ,拿出卷尺 量了量 ,“正好五米五.”说完便把旗杆插回原地,走了 .“这人 !”语言学教授望着他离去的背 影轻蔑地说 ,“我们要的是高度,他却给了我们长度,瞎添乱 !” 30 分钟训练 (巩固类训练 ,可用于课后 ) 1.
9、下列叙述正确的是( ) A.抛一枚质量分布均匀的硬币，是“正”是“反”无法预测，全凭运气.因此抛 1 000 次的话 也许只有200 次“正”，也许会有700 次“正”，没有什么规律 B.抛一枚质量分布均匀的硬币，出现“正面”和出现“反面”的机会均等.因此抛 1 000 次的 话，一定会有500 次“正”，500 次“反” C.抛一枚质量分布均匀的硬币1 000 次，可能出现“正面”的次数为400，也有可能为550， 但随着抛掷次数的增加，“正面”出现的频率应该稳定在50左右 D.抛一枚质量分布均匀的硬币5 次、 50 次、 500 次，出现“正面”的概率都是50 思路解析：由于抛硬币试验具有
10、随机性，频率也有随机波动性.即使在同等条件下，抛掷同 样的次数，出现正面的频率也不尽相同.但随着抛掷次数n 的增加，出现正面的频率呈现出 稳定性，即当n 逐渐增大时，出现正面的频率总是在0.5 附近摆动而逐渐稳定于0.5. 答案： C 2.对下列说法谈谈你的看法： (1)小明同学参加学校射击比赛，能否取得好成绩受很多因素的影响.所以在比赛前他的教练 说他能获一等奖是没有道理的. (2)天气预报说明天有雨，于是第二天一定下雨. (3)班里分了一张参观根雕艺术展的门票，为了公平，班长让每个人来抽签决定.这样每个人 的概率都是50 . 解： (1)有道理 .根据小明同学平日的刻苦练习，教练可以对他参
11、加比赛取得什么样的名次进 行预测，也就是说可以用稳定后的频率值来估计概率的大小; (2)不一定 .天气预报是根据天气的观测来估计下雨概率的大小，预报有雨，说明下雨的概率 大一些 ; (3)不一定 .这要看班内人数的多少，要是有45 人，那么每个人的概率就是 45 1 ，要是有50 人，那么每个人的概率就是 50 1 . 3.某种彩票的中奖概率是1，买 1 张就不会中奖吗？买100 张就一定会中奖吗？谈谈你的 看法 . 解:买 1 张可能中奖，买100 张也有可能不中奖，因为中奖是一个随机事件，每次试验都可 能发生，也可能不发生. 4.自制一个扇形转盘，分成均等的扇形,涂上三种不同的颜色，三种颜
12、色所涂面积相等.通过 试验， 你发现指针指向蓝色的概率有多大？图25-3-2 的两种制作方法所得到的结果一样吗？ 图 25-3-2 解: 3 1 ，一样 . 5.一个硬币抛起后落地时“正面朝上”的概率有多大？ (1)写出你的猜测. (2)一位同学在做这个试验时说：“我只做了10 次试验就得到了正面朝上的概率约为30.” 你认为他说的对吗？为什么？ (3)还有一位同学在做这个试验中觉得用硬币麻烦，改用可乐瓶盖做这个试验，你认为他的 做法科学吗？为什么？ 解:(1) 2 1 ; (2)不对，试验次数较小，事件出现的频率与事件出现的概率有较大差距，不能据此估计事 件发生概率 ; (3)不对，试验条件
13、不同. 6.请某班所有同学拿出课前准备好的一元硬币，各抛100 次，填写下表，并回答问题. 抛掷次数20 40 60 80 100 出现正面的频数 出现正面的频率 (1)同桌的两同学比较一下试验的结果,对应的各阶段的频率相同吗？如果不同，把对应的各 阶段 (指试验次数相同时)的频率差分别计算出来，观察频率差的绝对值与试验次数的增加之 间有何关系？ (2)计算全班同学做此试验出现正面的频率，并将这个频率与每个人单独试验的频率进行比 较，你认为哪个频率更趋于稳定？ 解:填表 (略 ). (1)同桌间的两同学试验的各阶段的频率不一定相同，但随着试验次数的增加，频率差的绝 对值有变小的趋势; (2)当
14、全班同学各抛完100 次时，频率 = 总人数 频数之和 100 ，可以发现，这个结果更趋近于 2 1 ， 更为稳定 . 7.准备 10 张小卡片，上面分别写上数1 到 10，然后将卡片放在一起，每次随意抽出一张， 然后放回洗匀再抽. (1)将试验结果填入下表： 试验次数20 40 60 80 100 120 140 160 出现 3 的倍数的次数 出现 3 的倍数的频率 (2)从上面的图表中可以发现出现了3 的倍数的频率有何特点？ (3)这十张卡片的10 个数中，共有_张卡片上的数是3 的倍数，占整个卡片张数的 _，你能据此对上述发现作些解释吗？ 思路解析：这是一道开放性试验思考题，它的第(1
15、)(2) 两小题答案不是唯一的，但能肯定稳 定时的频率一定能估计机会. 答案： (1)因为每个人的试验都是随机的，所以只要是自己动手试验的数据都可; (2)出现 3 的倍数的频率逐渐稳定于30左右 ; (3)3 10 3 出现 3 的倍数的机会是 10 3 ，当试验次数很大时，出现3 的倍数的频率非常接近 10 3 . 8.不透明的袋中有4 个大小相同的小球，其中2 个为白色， 1 个为红色， 1 个为绿色，每次 从袋中摸一个球，然后放回搅匀再摸，在摸球试验中得到下列表中部分数据. 摸球次数1 5 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 出现红球的频数1 2 4 6 9 1
16、4 15 17 21 21 出现红球的频率40.0% 32.0% 摸球次数90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 出现红球的频数22 30 32 36 40 41 45 49 51 54 出现红球的频率 26.0 % 25.4 % (1)请将数据表补充完整； (2)摸球 5 次和摸球10 次后所得频率值的误差是多少？25 次和 30 次之间呢？ 30 次和 40 次 之间， 90 次和 100 次之间， 190 次和 200 次之间呢？从中你发现了什么规律？ (3)根据以上数据你能估计红球出现的概率吗？是多少？ (4)你能估计白球出现的概率吗？你能估计绿球出现的概率吗？ 思路分析 :(1)第二排从左到右分别为6，8，26，33，第三排从左到右分别为100.0，40.0， 40.0，30.0， 30.0，35.0，30.0，28.3，30.0，26.3，24.4，27.3，26.7， 25.7， 26.7， 25.6， 26.5， 27.2， 26.8， 27.0; (2)差分别为0，2， 5， 2.9， 0.2,随着试验次数增加，出现红球的频率逐渐稳定; (3)25左右 ; (4)50左右 ,25左右 .