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1、24.3 正多边形和圆 5 分钟训练 (预习类训练 ,可用于课前 ) 1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( ) A.扩大了一倍B.扩大了两倍 C.扩大了四倍D.没有变化 思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所 以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案： D 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( ) A.321 B.432 C.421 D.643 思路解析：如图，设正三角形的边长为a，则高 AD= 2 3 a，外接圆半径OA= 3 3 a，边心距 OD= 6 3 a， 所以 AD OAOD=3 21
2、. 答案： A 3.正 五边形共有 _条对称轴，正六边形共有_条对称轴 . 思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案： 5 6 4.中心角是45的正多边形的边数是_. 思路解析：因为正n 边形的中心角为 n 360 ，所以 45= n 360 ，所以 n=8. 答案： 8 5.(2010 上海静安检测)已知 ABC 的周长为20,ABC 的内切圆与边AB 相切于点 D,AD=4, 那么 BC=_. 思路解析 :由切线长定理及三角形周长可得. 答案 :6 10 分钟训练 (强化类训练 ,可用于课中 ) 1.若正 n 边形的一个外角是一个内角的 3 2 时，此时该正n 边形有 _条对称轴
3、 . 思路解析：因为正n 边形的外角为 n 360 ，一个内角为 n n180)2( ， 所以由题意得 n 360 = 3 2 n n180)2( ，解这个方程得n=5. 答案： 5 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( ) A. 2 6 B. 4 3 C. 3 6 D. 3 4 思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A. 答案： A 3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S3、S4、S6之间的大小关系是 ( ) A.S3S4S6B.S6S4S3C.S6S3S4D.S4S6S3 思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大. 答案： B 4.已
4、知 O 和 O 上的一点A(如图 24-3-1). (1)作 O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ； (2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧 AD 上，求证： DE 是 O 内接正十二边形的一边. 图 24-3-1 思路分析：求作O 的内接正六 边形和正方形，依据定理应将O 的圆周六等分、四等分， 而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是 O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360 1230 . (1)作法： 作直径 AC; 作直径 BD AC; 依次连结A、B、C、D 四点 , 四边形 ABCD 即为
5、O 的内接正方形; 分别以 A、C 为圆心， OA 长为半径作弧，交O 于 E、H、F、G; 顺次连结A、E、F、C、G、H 各点 . 六边形 AEFCGH 即为 O 的内接正六边形. (2)证明：连结OE、DE. AOD 4 360 90， AOE 6 360 60， DOE AOD AOE 30. DE 为 O 的内接正十二边形的一边. 快乐时光 有一位爱鸟人士,他特别喜欢鹦鹉,有一天 ,他经过一间鸟店发现里面正在拍卖一只鹦鹉, 他见那只鹦鹉毛色很好决定要买,于是他喊道 :“我愿意出10 美金买下这只鹦鹉!” 接着有人喊价:“我愿意出20 美金 !”那位爱鸟人士不愿把那只鹦鹉拱手让人,于是
6、他又 喊了 30 美金 .可是另一个声音像在跟他作对,一直到那位爱鸟人士叫了200 美金时才停 . 那人买到鹦鹉很高兴,可是他突然想到:我花了那么多钱才买到这鹦鹉,如果它不会说话 那我不就亏大了吗?于是他就去问老板:“老板 ,你这只鹦鹉会不会说话啊?” 接着他听到鹦鹉大叫:“不会说话 ?!你以为刚刚是谁在跟你喊价啊?!” 30 分钟训练 (巩固类训练 ,可用于课后 ) 1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( ) A. 6 3 B. 4 3 C. 3 32 D. 3 3 思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为 3 3 . 答案： D 2.已知正
7、多边形的边心距与边长的比为 2 1 ，则此正多边形为( ) A.正三角形B.正方形 C.正六边形D.正十二边形 思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B. 答案： B 3.已知正六边形的半径为3 cm，则这个正六边形的周长为_ cm. 思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P6 6an求出周长 . 答案： 18 4.(2010 上海浦东新区模拟)正多边形的一个中心角为 36 度,那么这个正多边形的一个内角等 于_ _度. 答案： 144. 5.如图 24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为 23，在 O1中为内接正三角形的一边，在 O2 中为内接正六边形的一边，求这两
8、圆的面积之比. 图 24-3-2 思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R3与 R6 的平方比即可 . 解：设正三角形外接圆O1的半径为R3，正六边形外接圆 O2的半径为R6，由题意得 R3= 3 3 AB ，R6=AB ， R3R633. O1的面积 O2的面积 13. 6.某正多边形的每个内角比其外角大100，求这个正多边形的边数. 思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求. 解：设此正多边形的边数为n，则各内角为 n n180)2( ，外角为 n 360 ，依题意得 n n180)2( - n 360 100.解得 n9. 7.如图 24-3-3，在桌面上
9、有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三 个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？ 图 24-3-3 思路分析：设三个圆的圆心为O1、O2、O3，连结 O1O2、O2O3、O3O1，可得边长为4 cm 的 正 O1O2O3，设大圆的圆心为O，则点 O 是正 O1O2O3的中心，求出这个正O1O2O3外 接圆的半径，再加上O1的半径即为所求. 解： 设三个圆的圆心为O1、 O2、 O3， 连结 O1O2、 O2O3、 O3O1， 可得边长为4 cm 的正 O1O2O3， 则正 O1O2O3外接圆的半径为 3 34 cm，所以大圆的半径为 3 34 +2= 3 634
10、(cm). 8.如图 24-3-4， 请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之 间参与交流、评价). 图 24-3-4 答案：略 . 9.用等分圆周的方法画出下列图案： 图 24-3-5 作法： (1)分别以圆的4 等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4 个圆； (2)分别以圆的6 等分点为圆心，以圆的半径画弧. 10.(辽宁大连模拟 )如图24-3-6(1) 、24-3-6(2)、24-3-6(3) 、 24-3-6(n) ，M 、N 分别是 O 的内接正三角形ABC 、正方形ABCD 、正五边形ABCDE 、正n 边形 ABCDE 的边 AB、BC 上的点，且BM
11、=CN ，连结 OM、 ON. 图 24-3-6 (1)求图 24-3-6(1)中 MON 的度数； (2)图 24-3-6(2)中 MON 的度数是 _，图 24-3-6(3)中 MON 的度数是 _； (3)试探究 MON 的度数与正n 边形边数n 的关系 (直接写出答案 ). 答案： (1)方法一：连结OB、OC. 正 ABC 内接于 O， OBM= OCN 30， BOC=120. 又 BM=CN ，OB=OC ， OBM OCN. BOM CON. MON= BOC=120 . 方法二：连结OA 、OB. 正 ABC 内接于 O， AB=AC ， OAM= OBN=30 , AOB=120 . 又 BM CN， AM=BN. 又 OA=OB, AOM BON. AOM= BON. MON= AOB=120 . (2)9072 (3)MON= n 360 .