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1、-精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 河南省鹤壁市淇县高级中学2013 年高考数学一模试卷（文科） 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，共 60 分） 1 （ 5 分）已知集合A=x|x 2 2x3 0，B=x| 1x1 ，则（ ） A AB B BA CA=B DA B=? 考点 ： 集 合的包含关系判断及应用 专题 ： 常 规题型 分析：求 解一元二次不等式x 22x 30，化简集合 A，借助于数轴分析集合A 和集合 B 的关系 解答：解 ：由 x22x30? 1x 3， 所以 A=x|x 22x30=x| 1x3 ， 而 B=x| 1x1 ， 如图，
2、所以 B? A 故选 B 点评：本 题考查了一元二次不等式的解法，考查了集合之间的包含关系，借助于数轴分析集 合间的关系与集合间的运算能起到事半功倍的效果，此题是基础题 2 （ 5 分） （2012?黑龙江）复数z=的共轭复数是（） A2+i B 2i C1+i D1i 考点 ： 复 数代数形式的乘除运算；复数的基本概念 专题 ： 计 算题 分析：利 用复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，把复数化为a+bi 的形式，然后求法共 轭复数即可 解答：解：复数 z=1+i 所以复数的共轭复数为：1i 故选 D 点评：本 题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，考查计算能力 3 （ 5 分）函
3、数y=lg的图象（） A关于原点对称B 关于主线 y=x 对称 C关于 y 轴对称D关于直线 y=x 对称 考点 ： 对 数函数的图像与性质 专题 ： 函 数的性质及应用 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 分析：先 求出求函数的定义域关于原点对称，再由f（ x）=f（ x）可得，函数y 为奇函 数，可得它的图象关于原点对称 解答：解：由函数 y=f（x）=lg的解析式可得，解得 3 x3，故函数的定 义域为（ 3，3） ，关于原点对称 再由f（ x）=lg=lg=f（x）可得，函数y=f（x）=lg为奇函数， 故它的图象关于原点对称， 故选 A 点评：本 题主要考
4、查函数的奇偶性的性质，求函数的定义域，属于基础题 4 （ 5 分） （2012?陕西）设函数f（x） =+lnx 则（） Ax= 为 f（x）的极大值点 B x=为 f（x）的极小值点 Cx=2 为 f（x）的极大值点Dx=2 为 f（x）的极小值点 考点 ： 利 用导数研究函数的极值 专题 ： 计 算题；压轴题 分析：先 求出其导函数，并找到导函数大于0 和小于 0 对应的区间，即可求出结论 解答：解： f（x）= +lnx ； f （x）=+=； x2? f（ x） 0； 0x2? f （x） 0 x=2 为 f（x）的极小值点 故选： D 点评：本 题主要考察利用导数研究函数的极值解决这
5、类问题的关键在于先求出其导函数， 并求出其导函数大于0 和小于 0 对应的区间 5 （ 5 分）下列函数中，即是偶函数，又是在区间（0，+）上单调递减的函数是（） Ay=x 2 B y=x 3 Cy=3 |x| DD、y=|x+1| 考点 ： 函 数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 专题 ： 证 明题 分析：根 据幂函数，指数函数，一次函数的图象和性质，逐一分析四个答案中函数的奇偶性 及单调性，可得答案 解答：解 ：A、y=x 2 是偶函数，又在区间（0，+）上单调递减，符合题意； B、y=x 3 是奇函数，在区间（0，+）上单调递增，不符合题意； C、y=3 |x|是偶函数，但是在区间（
6、 0，+）上单调递增，不符合题意； D、y=|x+1|是非奇非偶函数，在区间（1，+）上单调增，不符合题意 故选 A -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 点评：本 题考查了函数奇偶性的判断，考查复合函数的单调性，掌握基本初等函数的性质是 关键，属于中档题 6 （ 5 分）已知函数f（x）=x 2+（1k）xk 的一个零点在（ 2，3）内，则实数k 的取值 范围是（） A（ 3，2）B （2，3）C（3，4）D（0，1） 考点 ： 函 数的零点与方程根的关系 专题 ： 计 算题 分析：由 已知条件得，f（2）?f（3） 0，解出实数k 的取值范围 解答：解 ：函数f（
7、x）=x2+（1k）xk 的一个零点在（ 2，3）内， f（2）?f（3） 0， 即（ 6 3k） （124k） 0， 2k3， 故答案选B 点评：本 题考查函数零点与方程根的关系 7 （ 5分） （2010?重庆）某单位有职工750 人，其中青年职工350 人，中年职工250 人，老 年职工 150 人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本若样本 中的青年职工为7 人，则样本容量为（） A7 B 15 C25 D35 考点 ： 分 层抽样方法 分析：先 计算青年职工所占的比例，再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可 解答： 解：青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7
8、： 5：3，所以样本容量为 故选 B 点评：本 题考查基本的分层抽样，属基本题 8 （ 5 分）设 a=，b=，c=则 a，b，c 的大小关系是（） Aabc B bca Cc ba Dac b 考点 ： 不 等式比较大小 专题 ： 函 数的性质及应用 分析： 分别考查指数函数在 R 上单调性和幂函数在（ 0，+）上单调性即 可得出 解答： 解：在 R 上单调递增，即 bc -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 在（ 0，+）上单调递增，即 ca bca 故选 B 点评：熟 练掌握指数函数和幂函数的单调性是解题的关键 9 （ 5 分） （2009?浙江）若函数f（x）
9、 =x 2+ （a R） ，则下列结论正确的是（） A?a R，f（x）在（ 0，+）上是增函数B ?a R，f（x）在（ 0，+）上是减函数 C?a R，f（x）是偶函数D?a R，f（x）是奇函数 考点 ： 函 数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明 分析：利用导数考查函数 f（x）=x 2+ （a R）的单调性，可对A、B 选项进行判断；考查 函数 f（ x）=x 2+ （ a R）的奇偶性，可对C、D 选项的对错进行判断 解答：解析： f （x） =2x ， 故只有当a 0 时， f（x）在（ 0，+）上才是增函数， 因此 A、B 不对， 当 a=0 时， f（x）=x 2 是偶函数，
10、因此C 对， D 不对 答案： C 点评：本 题主要考查了利用导数进行函数奇偶性的判断以及函数单调性的判断，属于基础 题 10 （5 分）已知函数f（x） （x R）满足 f（x）=f（ x） ，且当 1x2 时，恒有f（x） 0，则 f（ 1.5）一定不等于（） A1.5 B 2 C1 D1 考点 ： 函 数奇偶性的性质 专题 ： 函 数的性质及应用 分析：由 f（x）=f（ x）可得 f（ 1.5）=f（ 1.5） ，根据 1x2 时， f（x） 0，可 判断 f（ 1.5）的符号，根据符号即可作出判断 解答：解 ：f（x）=f（ x） ，且 1x2 时， f（x） 0， f（ 1.5）=
11、f（1.5） 0， f（ 1.5）=1 是不可能的， 故选 D 点评：本 题考查函数奇偶性的应用，属基础题 11 （5 分） （2012?黑龙江）当0x 时， 4 xlog ax，则 a 的取值范围是（） A （0，） B （， 1） C（1，） D（，2） -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 考点 ： 对 数函数图象与性质的综合应用 专题 ： 计 算题；压轴题 分析：由 指数函数和对数函数的图象和性质，将已知不等式转化为不等式恒成立问题加以解 决即可 解答：解： 0x 时， 14x 2 要使 4xlogax，数形结合可知 只需 2logax， 即对 0x 时恒成立
12、 解得 a1 故选B 点评：本 题主要考查了指数函数和对数函数的图象和性质，不等式恒成立问题的一般解法， 属基础题 12 （5 分） （2009?安徽）设ab，函数 y=（xa） 2（xb）的图象可能是（ ） A BCD 考点 ： 函 数的图象 专题 ： 压 轴题；数形结合 分析：根 据 y 的取值范围进行讨论即可 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 解答：解 ：当 xb 时， y0， xb 时， y 0故选 C 点评：本 题考查了高次函数的图象问题，利用特殊情况x b，xb 时 y 的符号变化确定即 可 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20 分）
13、13 （5 分） （2009?北京）已知函数若 f（x）=2，则 x=log32 考点 ： 函 数的图象与图象变化 专题 ： 计 算题 分析： 要求若 f（ x）=2 时，对应自变量x 的值，我们可根据构造方程， 然后根据分段函数的分段标准进行分类讨论，即可得到答案 解答： 解：由? x=log32， 无解， 故答案： log32 点评：本 题主要考查分段函数和简单的已知函数值求x 的值属于基础知识、基本运算的考 查分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是： 分段函数的定义域、值域是各段上x、y 取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调 性要在各段上分别论证；分段函数
14、的最大值，是各段上最大值中的最大者 14 （5 分） （2009?宁夏）曲线y=xe x+2x+1 在点（ 0，1）处的切线方程为 y=3x+1 考点 ： 导 数的几何意义 专题 ： 计 算题 分析：根 据导数的几何意义求出函数y 在 x=0 处的导数， 从而求出切线的斜率，再用点斜式 写出切线方程，化成斜截式即可； 解答：解 ：y =ex+x?ex+2，y |x=0=3， 切线方程为y1=3（x0） ， y=3x+1 故答案为： y=3x+1 点评：本 题考查了导数的几何意义，同时考查了导数的运算法则，本题属于基础题 15 （5 分）函数y=+log2（x1）的定义域是 （1，2） 考点 ：
15、 对 数函数的定义域 专题 ： 函 数的性质及应用 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 分析：根 据“ 让解析式有意义” 的原则，对数的真数大于0，偶次根式下大于等于0，分母不 等于 0，建立不等式组，解之即可 解答： 解：要使原函数有意义，则解得： 1x2， 所以原函数的定义域为x|1 x2 故答案为：（1， 2） 点评：本 题主要考查了函数的定义域及其求法，求定义域常用的方法就是根据“ 让解析式有 意义 ” 的原则，属于基础题 16 （5 分）设函数f（ x）=x 2sinx+2，若 f（a）=15，则 f（ a） = 11 考点 ： 函 数奇偶性的性质 专题
16、： 压 轴题；函数的性质及应用 分析：利 用函数 f（x） 2=x 2sinx 的奇偶性即可求出 解答：解 ： f（a）+f （ a）=4， f（ a）=415=11 故答案为 14 点评：熟 练掌握函数的奇偶性是解题的关键 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程） 17 （10 分） A=，B=y|y=x 2+x+1，x R （1）求 A， B； （2）求 A B，ACRB 考点 ： 并 集及其运算；交集及其运算；补集及其运算 专题 ： 计 算题；配方法 分析：（ 1）把 等价转化为x（x1） 0 且 x 0，求出解集即为集合A，利用配方法求 出二次函
17、数y=x 2+x+1 的值域，即为集合 B； （ 2）借助于数轴和（1）的结果，求出AB 和 CRB，再求出 A CRB 解答：解： （1）由 得， 0，即 x（x1） 0 且 x 0，解得 0x 1， 则 A=x|0 x 1 ， 由 y=x 2+x+1= + 得， B=y|y ， （ 2）由（ 1）得，如图： A B=x|0 x 1 y|y = （0，+） ， CRB=y|y = （ ，） ， A CRB=（0，） -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 点评：本 题的考点是集合的交、并、补集运算，考查了解分式不等式和配方法求二次函数的 值域，求交、并、补集时借助于数
18、轴更直观 18 （12 分） （1）已知函数f（x）是 R 上的奇函数，且当x0 时， f（x）=x 22x3，求 f （x）的解析式 （2）已知奇函数f（x）的定义域为 3，3，且在区间 3，0内递增，求满足f（2m 1） +f（ m 22） 0 的实数 m 的取值范围 考点 ： 奇 偶性与单调性的综合 专题 ： 函 数的性质及应用 分析：（ 1）当 x 0 时， x 0，由已知表达式可求得f（ x） ，根据奇函数性质可求得f （ x）与 f（ x）的关系，由f（ 0）=f（0） ，可得 f（0） ，从而可求f（x）解析式； （ 2）由 f（x）在 3，0内的单调性及奇函数性质可判断f（x）
19、在定义域为3，3 内的单调性，根据单调性、奇偶性可去掉不等式中的符号“ f” ，注意函数定义域 解答：解 ： （1）当 x0 时， x0，f（ x）=（ x）2 2（ x） 3=x 2+2x 3， 又 f（x）为奇函数，所以f（x）=f（ x）=（ x2+2x3） =x 22x+3 ， 而 f（ 0）=f（ 0） ，即 f（0） =0， 所以 f（ x）= （ 2）因为 f（x）为奇函数，且在3，0内递增，所以在0， 3内也递增， 所以 f（ x）在定义域 3，3内递增， f（2m 1）+f（ m 22） 0，可化为 f（m22） f（2m1） ， 由 f（x）为奇函数，得f（m22） f（1
20、2m） ， 又 f（x）在定义域 3，3内递增， 所以，解得 1 m1 故满足 f（2m1）+f（m22） 0 的实数 m 的取值范围为：1，1） 点评：本 题考查函数奇偶性、单调性及其应用，考查抽象不等式的解法，考查学生灵活运用 所学知识解决问题的能力 19 （12 分） （2011?江西）某饮料公司对一名员工进行测试以便确定考评级别，公司准备了 两种不同的饮料共5 杯，其颜色完全相同，并且其中的3 杯为 A 饮料，另外的2 杯为 B 饮 料，公司要求此员工一一品尝后，从5 杯饮料中选出3 杯 A 饮料若该员工3 杯都选对， 测评为优秀；若3 杯选对 2 杯测评为良好；否测评为合格假设此人对
21、A 和 B 饮料没有鉴 别能力 （1）求此人被评为优秀的概率 （2）求此人被评为良好及以上的概率 考点 ： 列 举法计算基本事件数及事件发生的概率；古典概型及其概率计算公式 专题 ： 计 算题 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 分析：根 据题意，首先将饮料编号，进而可得从5 杯饮料中选出3 杯的所有可能的情况，即 所有的基本事件；再记“ 此人被评为优秀” 为事件 D，记 “ 此人被评为良好及以上” 为事 件 E， （ 1）分析查找可得，D 包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案； （ 2）分析查找可得，E 包括的基本事件数目，由古典概型公式，计算可得答案
22、 解答：解 ：将 5 杯饮料编号为1、2、3、4、5，编号 1、2、3 表示 A 饮料，编号4、5 表示 B 饮料； 则从 5 杯饮料中选出3 杯的所有可能的情况为： （123） ， （ 124） ， （125） ， （134） ， （135） ， （ 145） ， （234） ， （235） ， （245） ， （345） ；共 10 个基本事件； 记 “ 此人被评为优秀” 为事件 D，记 “ 此人被评为良好及以上” 为事件 E， （ 1）分析可得， D 包括（ 123）1 个基本事件， 则 P（D）=； （ 2）E 包括（ 123） ， （124） ， （125） ， （134） ， （1
23、35） ， （234） ， （235）7 个基本事件； 则 P（E） = 点评：本 题考查列举法计算概率，注意列举时按一定的规律、顺序，一定做到不重不漏，还 有助于查找基本事件的数目 20 （12 分） （2008?海淀区一模）已知函数f（ x）=x 3+ax+b 的图象是曲线 C，直线 y=kx+1 与曲线 C 相切于点（ 1， 3） （I）求函数f（x）的解析式； （II ）求函数f（ x）的递增区间； （III ）求函数 F（x）=f（x） 2x3 在区间 0，2上的最大值和最小值 考点 ： 函 数解析式的求解及常用方法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函 数的最值 分析：（
24、 I）先通过切点，求出k 的值；再利用f（x）的导函数和切点求出a，b 的值最后 代入即可得f（x）的解析式 （ II）通过在函数的单调递增区间，函数f（x）的导函数大于零，求出x 的取值范围 （ III ）通过函数F（x）的导函数F （ x）=0，求出函数的极值列出x，F （ x） ，F（ x） 关系表，通过观察可知F（x）在区间 0，2最大和最小值 解答：解 ： （I）切点为（1，3） ， k+1=3，得 k=2 f（x）=3x 2+a， f（1）=3+a=2，得 a= 1 则 f（x）=x3x+b 由 f（1）=3 得 b=3 f（x）=x3x+3 （ II）由 f（ x）=x3x+3
25、得 f（x）=3x 21， 令 f（ x）=3x 21 0，解得 或 函数 f（x）的增区间为， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - （ III ）F（x）=x 33x， F（ x）=3x2 3 令 F（x） =3x 23=0，得 x 1=1，x2=1 列出 x，F（x） ，F（x）关系如下： 当 x 0，2时， F（ x）的最大值为2，最小值为2 点评：本 题主要考查了用待定系数法求函数的解析式解此类题常用到导函数与函数的关系 来解决问题 21 （12 分） （2011?湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一 般情况下，大桥上的车流速度v（
26、单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆 /千米）的函 数，当桥上的车流密度达到200 辆/千米时， 造成堵塞， 此时车流速度为0；当车流密度不超 过 20 辆/千米时， 车流速度为60 千米 /小时， 研究表明： 当 20 x 200 时， 车流速度 v 是车流 密度 x 的一次函数 （I） 当 0 x 200 时，求函数v（x）的表达式； （II ） 当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位： 辆/小时） f（x）=x?v（x）可以达到最大，并求出最大值（精确到1 辆/小时） 考点 ： 函 数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用 专题 ： 应 用题
27、 分析：（ I） 根据题意，函数 v （ x） 表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v （x） 在 20 x 200 时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得； （ II）先在区间（0，20上，函数 f（x）为增函数，得最大值为f（20）=1200，然后 在区间 20，200上用基本不等式求出函数f（x）的最大值， 用基本不等式取等号的条 件求出相应的x 值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200上的最大值 解答：解 ： （I） 由题意：当0 x 20 时， v（x）=60；当 20 x 200 时，设 v（x）=ax+b 再由已知得，解得 故函数 v（x）的表达式
28、为 （ II）依题并由（I）可得 当 0 x20 时， f（x）为增函数，故当x=20 时，其最大值为60 20=1200 当 20 x 200 时， 当且仅当x=200x，即 x=100 时，等号成立 所以，当x=100 时， f（x）在区间（ 20，200上取得最大值 综上所述，当x=100 时， f（x）在区间 0，200上取得最大值为， -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ - 即当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333 辆/小时 答： （I） 函数 v（x）的表达式 （ II） 当车流密度为100 辆/千米时，车流量可以达到最大值
29、，最大值约为3333 辆/ 小时 点评：本 题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力， 属于中等题 22 （12 分）设函数，其中常数a1 （1）讨论 f（x）的单调性； （2）若当 x 0 时， f（ x） 0 恒成立，求a 的取值范围 考 点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性 专 题： 计算题；压轴题 分 析： （1）先求出导函数，利用导数大于0 对应的为原函数的增区间，导数小于0 对应的为 原函数的减区间，即可求f（ x）的单调性； （2）由（ 1）知，当 x 0 时，f（x）在 x=2a 或 x=0 处取得最小值，所以须满足最小值大
30、 于 0，解不等式组即可求 a 的取值范围 解 答： 解： （1）f（ x）=x22（1+a） x+4a=（x2） （x2a） ， （2 分） 由已知 a1， 2a2，令 f （x） 0，解得 x 2a 或 x2， 令 f （x） 0，解得 2x2a， （5 分） 故当 a1 时， f（x）在区间（ ，2）和（ 2a，+）上是增函数，在区间（2，2a） 上是减函数 （ 6 分） （2）由（ 1）知，当x 0 时， f（ x）在 x=2a 或 x=0 处取得最小值 （7 分） = ，f（0） =24a （ 9 分） 则即解得 1a6， 故 a的取值范围是（1，6） （14 分） 点 评： 本题主要考查利用导数求闭区间上函数的最值以及研究函数的单调性和函数恒成立问 题，是对知识的综合考查，也是高考常考题型 -精品文档 ! 值得拥有！ - -珍贵文档 ! 值得收藏！ -