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1、学习好资料欢迎下载 1、 （ 2000 一试 3）已知点A为双曲线x 2 y 2=1 的左顶点，点 B和点C在双曲线的右分支上， ABC是等边三角形，则ABC的面积是 （） (A) 3 3 (B) 2 33 (C) 33 (D) 63 3、 （ 2002 一试 2）若实数x, y满足 (x+5) 2+(y 12) 2=142，则 x2+y2 的最小值为 ( ) (A ) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 【答案】 B 【解析】 利用圆的知识结合数形结合分析解答， 22 xy表示圆上的点（x,y ）到原点的距 离。 4、 （ 2002 一试 4）直线1 34 yx 椭圆1 916 22 y
2、x 相交于 A，B两点，该圆上点P，使得 PAB面积等于3，这样的点P共有 ( ) 学习好资料欢迎下载 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 【答案】 B 5、（2003 一试 2） 设a，bR，ab0， 那么直线axy+b=0 和曲线bx 2+ay2=ab 的图形是（） y xO O x y Ox yy xO A.B.C. D. 【答案】 B 6、 （2003 一试 3）过抛物线y 2=8( x+2) 的焦点F作倾斜角为60的直线， 若此直线与抛物线 交于A、B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于（） (A) 16 3 (B) 8 3 (C) 16 3 3
3、 (D) 83 【答案】 A 【解析】 抛物线的焦点为原点(0 ， 0) ， 弦AB所在直线方程为y=3x， 弦的中点在y=p k= 4 3 上， 即AB中点为 ( 4 3， 4 3 ) ，中垂线方程为y= 3 3 (x 4 3)+ 4 3 ，令y=0，得点P的坐标为 16 3 PF= 16 3 选A 学习好资料欢迎下载 7、 （ 2004 一试 2）已知M=(x，y)|x 2+2y2=3， N=(x，y)|y=mx+b 若对于所有的mR， 均有MN，则b的取值范围是 ( ) A 6 2 ， 6 2 B( 6 2 ， 6 2 ) C( 2 3 3 ， 23 3 D 23 3 ， 23 3 【答
4、案】 A 【解析】 点(0 ，b) 在椭圆内或椭圆上，2b 2 3， b 6 2 ， 6 2 选A 8、 （ 2005 一试 5）方程1 3cos2cos3sin2sin 22 yx 表示的曲线是（） A焦点在x轴上的椭圆B焦点在x轴上的双曲线 C焦点在y轴上的椭圆D焦点在y轴上的双曲线 【答案】 C 9、 （ 2007 一试 5）设圆O1和圆O2是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则圆P的圆心 轨迹不可能是（） 【答案】 A 【解析】 设圆O1和圆O2的半径分别是r1、r2，|O1O2|=2c，则一般地，圆P的圆心轨迹是焦 点为O1、O2，且离心率分别是 21 2 rr c 和 | 2 2
5、1 rr c 的圆锥曲线（当r1=r2时，O1O2的中垂线是轨 学习好资料欢迎下载 迹的一部份，当c=0 时，轨迹是两个同心圆）。 当r1=r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项B；当 02c|r1-r2| 时，圆P的圆心轨迹如 选项 C；当r1r2且r1+r22c时，圆P的圆心轨迹如选项D。由于选项A中的椭圆和双曲线 的焦点不重合，因此圆P的圆心轨迹不可能是选项A 。 11、 （2001 一试 7）椭圆 1（ 2 ）的短轴长等于_ 【答案】 3 32 12、 （2003 一试 8） 设F1、F2是椭圆 x 2 9 +y 2 4 =1 的两个焦点，P是椭圆上一点， 且|PF 1| |PF
6、2|=2 1，则PF1F2的面积等于 【答案】 4 【解析】F1( 5，0) ，F2(5， 0) ；|F1F2|=25 |PF1|+|PF2|=6，|PF1|=4，|PF2|=2由于 4 2+22= (25) 2故 PF1F2是 直角三角形55 S=4 学习好资料欢迎下载 13、 （2004 一试 12）在平面直角坐标系xOy中，给定两点M( 1， 2) 和N(1 ，4) ，点P在x 轴上移动，当MPN取最大值时，点P的横坐标为 【答案】 1 【解析】 当MPN最大时，MNP与x轴相切于点P( 否则MNP与x 轴交于PQ，则线段PQ上的点P使MPN更大 ) 于是，延长NM交x 轴于K( 3，0
7、) ，有KMKN=KP 2， KP=4P(1 ， 0)，( 7，0 ) ，但 (1， 0) 处MNP的半径小，从而点P的横坐标=1 14、 （2005 一试 11）若正方形ABCD的一条边在直线172xy上，另外两个顶点在抛物 线 2 xy上. 则该正方形面积的最小值为. 15、 （2006 一试 9）已知椭圆 22 1 164 xy 的左右焦点分别为 1 F与 2 F，点P在直线l： 382 30xy 上. 当 12 F PF取最大值时，比 1 2 PF PF 的值为 . 【答案】31 【解析】 由平面几何知，要使 12 F PF最大，则过 12 ,F F，P三点的圆必定和直线l相切于 P点
8、。设直线l交x轴于A( 82 3,0)，则 12 APFAF P，即 12 APFAF P，即 M N P K O x y 学习好资料欢迎下载 1 22 PFAP PFAF （1） ， 又由圆幂定理， 2 12 APAFAF（2） ， 而 1( 2 3,0) F， 2(2 3,0) F， A( 82 3,0)， 从 而 有 1 8AF， 2 84 3AF。 代 入 （ 1 ），（ 2 ） 得 11 22 8 42 331 84 3 PFAF PFAF 。 17、 （2009 一试 2）已知直线:90Lxy和圆 22 :228810Mxyxy，点A在直线L 上，B，C为圆M上两点，在ABC中，4
9、5BAC，AB过圆心M，则点A横坐标范围 为 【答案】36， 【解析】 设9A aa，则圆心M到直线AC的距离sin 45dAM，由直线AC与圆M相 交，得 34 2 d 解得36a 18、 （ 2009 一试5）椭圆 22 22 1 xy ab 0ab上任意两点 P， Q ，若 OPOQ ，则乘积 OPOQ 的最小值为 19、 （2010 一试 3）双曲线1 22 yx的右半支与直线100x围成的区域内部 （不含边界） 整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 . 【答案】 9800 学习好资料欢迎下载 【解析】 由对称性知，只要先考虑x轴上方的情况，设)99,2, 1(kky与双曲线右半 支于
10、 k A, 交直线100x于 k B， 则线段 kkB A内部的整点的个数为99k，从而在x轴上方 区域内部整点的个数为 99 1 (99)99494851 k k . 又x轴 上 有98个 整 点 ， 所 以 所 求 整 点 的 个 数 为 98009848512. 20、 （2011 一试 7）直线012yx与抛物线xy4 2 交于BA,两点， C 为抛物线上的一点， 90ACB，则点 C 的坐标为 【答案】) 2, 1(或)6, 9( 21、 （2012一试 4）抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，准线为，,A B是抛物线上的两 个动点，且满足 3 AFB设线段的中点M在上的投影为
11、N，则 | | MN AB 的最大 值是 . 【答案】 1 【解析】 由抛物线的定义及梯形的中位线定理得. 2 AFBF MN 在AFB中, 由余弦定理得 222 2cos 3 ABAFBFAFBF 2 ()3AFBFAFBF 22 ()3() 2 AFBF AFBF 2 2 (). 2 AFBF MN 当且仅当AFBF时等号成立 . 故 MN AB 的最大值为 1. 学习好资料欢迎下载 22、 （2000 一试 15）已知C0:x 2+y2=1 和 C1:1 2 2 2 2 b y a x (ab0) 。试问：当且仅当a,b满 足什么条件时， 对C1上任意一点P， 均存在以P为项点 , 与C
12、0外切 , 与C1内接的平行四边形？ 并证明你的结论。 是 , 2 1 OP + 2 1 OQ = 2 2 2 1 11 RR =( 2 2 2 2 sincos ba )+ 2 2 ) 2 (cos a + 2 2 ) 2 (sin b = 2 1 a + 2 1 b =1. 又在 RtPOQ 中，设点O到 PQ的距离为h，则 h 1 = 2 1 OP + 2 1 OQ =1, 故得 h=1 同理，点O到 QR ，RS ，SP的距离也为1，故菱形PQRS 与 C0外切 . 充分性得证 . 注 对于给出 2222 baba， 22 ba ab =1 等条件者，应同样给分. 23、 （2001
13、一试 14）设曲线 C1:1 2 2 2 y a x (a 为正常数 ) 与 C2:y 2=2(x+m) 在 x 轴上方公有一 个公共点P。 学习好资料欢迎下载 （1） 求实数 m的取值范围（用a 表示） ； （2） O为原点，若C1与 x 轴的负半轴交于点A，当 0a 2 1 时，试求 OAP的面积的最 大值（用a 表示）。 (2) OAP的面积 p ayS 2 1 0a 2 1 ，故ama时， 0maaa21 22 a， 由唯一性得maaax p 21 22 24、 （2002 一试 13）已知点 A(0,2) 和抛物线y=x 2+4 上两点 B、C使得 AB BC ，求点 C的纵 坐标的
14、取值范围。 【解析】 设 B点坐标为B(y1 2 4,y1) ，C点坐标为C(y 2 4,y) 学习好资料欢迎下载 25、 （2003 一试 15）一张纸上画有一个半径为R的圆O和圆内一个定点A，且OA=a，折叠 纸片，使圆周上某一点A刚好与点A重合这样的每一种折法，都留下一条折痕当A取 遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合 26、 （2004 一试 14）在平面直角坐标系xOy中，给 定三点A(0， 4 3) ， B( 1， 0)，C(1 ，0) ，点P到直线BC的距离是该点到直 线AB、AC距离的等比中项 求点P的轨迹方程； 若直线L经过ABC的内心 ( 设为D) ，且与P点轨迹
15、 恰好有 3 个公共点，求L的斜率k的取值范围 【解析】：设点P的坐标为 (x，y) ， AB方程： x 1+ 3y 4 =1，4x3y+4=0， BC方程：y=0， AC方程： 4x+3y4=0， 25|y| 2=|(4 x3y+4)(4x+3y4)| ， D -1 1 1 BC A y x OK P 学习好资料欢迎下载 25y 2+16x2(3 y4) 2 =0，16x 2+16y2 +24y16=0， 2x 2+2y2+3y2=0 或 25y 216x2+(3 y4) 2=0， 16x 2 34y2+24 y16=0， 8x 217y2+12y8=0 所求轨迹为圆：2x 2+2y2+3y
16、2=0， 或双曲线： 8x 217y2+12y8=0 但应去掉点 ( 1， 0) 与(1 ，0) 27、 （2005 一试 15）过抛物线 2 xy上的一点A （1,1 ）作抛物线的切线，分别交x轴于 D， 交y轴于 B.点 C 在抛物线上，点E 在线段 AC上，满足 1 EC AE ; 点 F 在线段 BC上，满足 2 FC BF ，且1 21 ，线段 CD与 EF交于点 P.当点 C在抛物线上移动时，求点 P的轨 迹 方程 . 【解析】解一：过抛物线上点A 的切线斜率为： ,2|2 1x xy切线AB 的方程为 DBxy、.12的坐标为DDB),0 , 2 1 (),1,0(是线段 AB的
17、中点 . 设),(yxP、),( 2 00 xxC、),( 11 yxE、),( 22 yxF，则由 1 EC AE 知， ; 1 1 , 1 1 1 2 01 1 1 01 1 x y x x, 2 FC BE 得. 1 1 , 1 2 2 02 2 2 02 2 x y x x EF所在直线方程为：, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 01 2 02 1 01 1 2 01 2 2 02 1 2 01 xx x x xx x y 化简得.13)()1()( 2 020 2 0122012 xxxxyx 学习好资料欢迎下载 解二：由解一知，AB的方程为 ),0, 2 1 (),
18、1, 0(, 12DBxy故 D是 AB的中点 . 令,1,1, 2211 CF CB t CE CA t CP CD 则.3 21 tt因为 CD为ABC的中线， .22 CBDCADCAB SSS 而 28、 （2006 一试 13）给定整数2n，设),( 000 yxM是抛物线1 2 nxy与直线xy的 一 个 交 点 . 试 证 明对 于任 意 正 整数m， 必 存 在 整数2k， 使),( 00 mm yx为 抛 物 线 1 2 kxy与直线 xy的一个交点 . 【解析】 因为1 2 nxy与xy的交点为 2 00 4 2 nn xy. 显然有 0 0 1 xn x 。 学习好资料欢
19、迎下载 29、 （2007 一试 14）已知过点 (0 ，1) 的直线l与曲线C：)0( 1 x x xy交于两个不同点 M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。 (6)式 得xp=2 。 (4)+(5)得) 11 (2) 11 (2(2 21 2 2 2 1 xx x xx y pp (7)， 其 中 1 11 21 21 21 xx xx xx ， 12)1(21 2 )( 2)(11 21 2 21 21 2 2 2 1 21 2 21 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 kk xxxx xx xx xxxx xx xx xx ，代入 (7) 式得 2yp=(3 - 2k
20、)xp+2，而xp=2，得yp=4-2k。又由1 4 3 k得 2 5 2 p y，即点P的轨迹为 (2， 2) ，(2 ，2.5) 两点间的线段（不含端点）。 学习好资料欢迎下载 30、（ 2008 一试 15） 如图，P是抛物线 2 2yx上的动点， 点BC、在y轴上，圆 22 (1)1xy 内切于PBC，求PBC面积的最小值 31、 （2009 一试 9）设直线: lykxm（其中k， m 为整数）与椭圆 22 1 1612 xy 交于不同两 点 A，B，与双曲线 22 1 412 xy 交于不同两点C，D，问是否存在直线l，使得向量 0ACBD，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在
21、，请说明理由 【解析】 由 22 1 1612 ykxm xy 消去y化简整理得 222 3484480kxkmxm 设 11A xy，22B xy，则 12 2 8 34 km xx k 2 22 1 84 344480kmkm 4 分 由 22 1 412 ykxm xy 消去y化简整理得 222 32120kxkmxm 设 34 C xy， 44 D xy，则 34 2 2 3 km xx k 2 22 2 24 3120kmkm 8 分 学习好资料欢迎下载 因为0ACBD，所以 4231 0xxxx，此时 4231 0yyyy 由 1234 xxx x 得 22 82 343 kmkm
22、 kk 所以20km或 22 41 343kk 由上式解得0k或0m当0k时，由和得 2 32 3m因 m 是整数，所以m 的值为3，2，1，0，1，2，3当0m， 由和得33k因k是整数，所以1k，0，1于是满足条件的直线共有9 条 32、 （2010 一试 10）已知抛物线xy6 2 上的两个动点 1122 (,)(,)A xyB xy和，其中 21 xx 且4 21 xx. 线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求ABC面积的最大值. 由 （ 1）知直线 AB的方程为 )2( 3 0 0 x y yy，即 2)( 3 0 0 yy y x. （2） （ 2 ） 代 入xy6 2 得12)(
23、2 00 2 yyyy， 即 01222 2 00 2 yyyy. （ 3） 依题意， 21, y y是方程（ 3）的两个实根，且 21 yy， 所以 222 000 44(212)4480yyy, 3232 0 y. C(5,0) B A x y O 学习好资料欢迎下载 2 21 2 21 )()(yyxxAB 2 21 20 )() 3 (1(yy y 4)( 9 1 ( 21 2 21 2 0 yyyy y )122(44)( 9 1 ( 2 0 2 0 2 0 yy y )12)(9( 3 2 2 0 2 0 yy . 解法二：同解法一，线段AB的垂直平分线与x轴的交点C为定点，且点C
24、坐标为)0,5(. 设4, 2 2 2 121 2 22 2 11 tttttxtx，则 16 16 105 2 1 2 2 2 1 2 1 tt ttS ABC 的绝对值 , 2 2 2 212 2 11 2 )656665( 2 1 (ttttttS ABC 2 21 2 21 )5()( 2 3 tttt)5)(5)(24( 2 3 212121 tttttt 3 ) 3 14 ( 2 3 , 所 以7 3 14 ABC S, 当 且 仅 当5)( 21 2 21 tttt且4 2 2 2 1 tt， 即, 6 57 1 t 6 57 2 t, 635635 (,57),(,57) 33
25、 AB或 学习好资料欢迎下载 635635 (, (57),(,57) 33 AB时等号成立 . 所以，ABC面积的最大值 是7 3 14 . 33、 （2011 一试 11）作斜率为 3 1 的直线 l 与椭圆 C ：1 436 22 yx 交于BA,两点（如图所示） ， 且)2,23(P在直线 l 的左上方 （1）证明：PAB的内切圆的圆心在一条定直线上；（ 2）若60APB，求PAB的面 积 又P在直线 l 的左上方，因此，APB的角平分线是平行于y 轴的直线，所以PAB的内切 圆的圆心在直线23x上 （2）若60APB时，结合（ 1）的结论可知3,3 PBPA kk 直 线PA的 方 程 为 ：)23(32xy， 代 入1 436 22 yx 中 ， 消 去y得 0)3313(18)331(6914 2 xx 它的两根分别是 1 x 和23，所以 14 )3313(18 23 1 x，即 14 )3313(23 1 x所以 学习好资料欢迎下载 7 )133(23 |23|)3(1| 1 2 xPA 34、 （2012一试 11）如图 5，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且 6OBOD （）求证：| |OAOC为定值；（）当点A在半圆 22 (2)4xy（24x）上 运动时，求 点C的轨迹