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1、中考复习：平面直角坐标系与一次函数、反比例函数 【考纲要求】 结合实例，了解常量、变量和函数的概念，体会“变化与对应”的思想； 会确定函数自变量的取值范围，即能用三种方法表示函数，又能恰当地选择图象去描述两个 变量之间的关系； 理解正比例函数、反比例函数和一次函数的概念，会画他们的图象，能结合图象讨论这些函 数的基本性质，能利用这些函数分析和解决有关的实际问题. 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系 平面内两条有公共原点且互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，坐标平面内一点对应的有序实 数对叫做这点的坐标. 在平面内建立了直角坐标系，就可以把“形”（平面内的点
2、）和“数”（有序实数 对）紧密结合起来. 2各象限内点的坐标的特点、坐标轴上点的坐标的特点 点 P(x,y) 在第一象限0,0 yx； 点 P(x,y) 在第二象限0,0 yx； 点 P(x,y) 在第三象限0,0 yx； 点 P(x,y) 在第四象限0,0 yx； 点 P(x,y) 在 x 轴上0y，x 为任意实数； 点 P(x,y) 在 y 轴上0x，y 为任意实数； 点 P(x,y) 既在 x 轴上，又在y 轴上x， y 同时为零，即点P坐标为（ 0，0） . 3. 两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征 点 P(x,y) 在第一、三象限夹角平分线上x 与 y 相等； 点 P(x,y) 在
3、第二、四象限夹角平分线上x 与 y 互为相反数 . 4. 和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征 位于平行于x 轴的直线上的各点的纵坐标相同； 位于平行于y 轴的直线上的各点的横坐标相同. 5. 关于 x 轴、 y 轴或原点对称的点的坐标的特征 点 P与点 p关于 x 轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数； 点 P与点 p关于 y 轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数； 点 P与点 p关于原点对称横、纵坐标均互为相反数. 6. 点 P(x,y) 到坐标轴及原点的距离 （ 1）点 P(x,y) 到 x 轴的距离等于y； （ 2）点 P(x,y) 到 y 轴的距离等于x； （ 3）点 P(x,y) 到原点
4、的距离等于 22 yx. 7. 在平面直角坐标系内两点之间的距离公式 如果直角坐标平面内有两点 2211 ,yxByxA、，那么 A、B两点的距离为： 2 21 2 21 yyxxAB. 两种特殊情况： （1）在直角坐标平面内，x轴或平行于x轴的直线上的两点yxByxA, 21 、的距离为： 21 2 21 22 21 xxxxyyxxAB （2）在直角坐标平面内，y轴或平行于y轴的直线上的两点 21 ,yxByxA、的距离为： 21 2 21 2 21 2 yyyyyyxxAB 要点诠释： （ 1）注意： x 轴和 y 轴上的点，不属于任何象限； （ 2）平面内点的坐标是有序实数对，当ba时
5、， （a，b）和（ b，a）是两个不同点的坐标. 考点二、函数 1. 函数的概念 设在某个变化过程中有两个变量x、y, 如果对于x 在某一范围内的每一个确定的值，y 都有唯一确 定的值与它相对应，那么就说y 是 x 的函数， x 叫做自变量 . 2. 自变量的取值范围 对于实际问题， 自变量取值必须使实际问题有意义. 对于纯数学问题， 自变量取值应保证数学式子有 意义 . 3表示方法 解析法；列表法；图象法. 4画函数图象 （1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值； （2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点； （3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线
6、连接起来. 要点诠释： （1）在某一变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量； （2）确定自变量取值范围的原则：使代数式有意义；使实际问题有意义. 考点三、几种基本函数（定义图象性质） 1. 正比例函数及其图象性质 （1）正比例函数：如果y=kx(k 是常数， k0) ，那么 y 叫做 x 的正比例函数 （2）正比例函数y=kx（ k 0) 的图象： 过（ 0，0） ， （ 1，K）两点的一条直线 （3）正比例函数y=kx（k0) 的性质 当 k0 时，图象经过第一、三象限，y 随 x 的增大而增大； 当 k0 时，图象经过第二、四象限，y 随 x 的增大而减小 . 2
7、. 一次函数及其图象性质 （1）一次函数：如果y=kx+b(k,b是常数， k0), 那么 y 叫做 x 的一次函数 （2）一次函数y=kx+b （k0) 的图象 （ 3）一次函数y=kx+b（k0) 的图象的性质 一次函数ykxb的图象是经过(0 ，b) 点和)0,( k b 点的一条直线 当 k0 时， y 随 x 的增大而增大； 当 k0 k0 时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限.在每个象限内，y 随 x 的增大而减小 . x 的取值范围是x0， y 的取值范围是y0； 当 k1 C. 1或 ka，将一次函数y=bx+a 与 y=ax+b 的图象画在同一平面直角坐标系内，?则有一
8、组a，b 的取值， 使得下列4 个图中的一个为正确的是（） 4如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1= 2 x 和y2= 4 x 的图像交于点A和 点B. 若点C是y轴上任意一点，连结AC、BC，则ABC的面积为（） A1 B2 C3 D4 第 4 题图 5题图 5如图，已知双曲线经过直角三角形OAB斜边OA的中点D，且与直角边AB相交于点C若 点A的坐标为（，4） ，则AOC的面积为（） A12 B9 C6 D4 6已知 abc0，而且=p，那么直线y=px+p 一定通过（） A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第三、四象限 D.第一、四象限 1 3 1 3 1
9、3 (0) k yk x 6 abbcca cab 二、填空题 7如图，正比例函数yx与反比例函数 1 y x 图象相交于A、 C 两点，过点A做x轴的垂线交x轴于 点B，连接 BC ，若ABC 的面积为 S，则 S= . 8如图，已知梯形ABCO 的底边 AO在 x 轴上， BC AO ，AB AO ，过点 C的双曲线 x k y交 OB于 D ， 且 OD ：DB=1 ：2，若 OBC 的面积等于3，则 k 的值是 . 第 7 题图第 8 题图第 11 题图 9点AB，为直线yx上的两点， 过AB，两点分别作y轴的平行线交双曲线 1 y x（ x0）于CD， 两点 . 若2BDAC，则 2
10、2 4OCOD的值为 . 10函数 y=-3x+2 的图像上存在点P，使得 P?到 x?轴的距离等于3， ?则点 P?的坐标为 _ 11如图，已知函数y=2x 和函数 k y= x 的图象交于A、B两点，过点A作 AE x轴于点 E，若 AOE的面 积为 4，P是坐标平面上的点，且以点B、O、E、P为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是 12已知是正整数，是反比例函数图象上的一列点，其 中记，若（是非零 常数），则A1A2An的值是 _（用含和的代数式表示） 三、解答题 C B A O x y n 111222 (,),(,),(,), nnn P x yP xyPxy k y
11、x 12 1,2, n xxxn 112 Ax y 223 Ax y 1nnn Ax y， 1 Aaa an 13已知正比例函数ykx (0)k与反比例函数(0) m ym x 的图象交于AB、两点，且点A的坐 标为(2 3)， （1）求正比例函数及反比例函数的解析式； （2）在所给的平面直角坐标系中画出两个函数的图象，根据图象直接写出点B的坐标及不等式 m kx x 的解集 14. 如图， 将直线xy4沿y轴向下平移后， 得到的直线与x轴交于点A （0, 4 9 ） ， 与双曲线 k y x （0x） 交于点 B （1）求直线AB的解析式； （2）若点 B的纵坐标为m ， 求 k 的值（用含
12、m的代数式表示） 15某加油站五月份营销一种油品的销售利润y( 万元 ) 与销售量x( 万升 ) 之间函数关系的图象如图中折 线所示，该加油站截止到13 日调价时的销售利润为4 万元，截止到15 日进油时的销售利润为5.5万 元 (销售利润 ( 售价 -成本价 )销售量 ) 请你根据图象及加油站五月份该油品的所有销售记录提供的信息，解答下列问题： (1)销售量 x 为多少时，销售利润为4万元 ? (2)分别求出线段AB与 BC所对应的函数关系式； (3) 我们把销售每升油所获得的利润称为利润率，那么，在O1A，AB ，BC三段所表示的销售信息中， 哪一段的利润率最大?( 直接写出答案 ) 16
13、. 如图所示，等腰梯形ABCD中， AB 15，AD 20， C30点 M 、N 同时以相同速度分别从点A、 x y O A 6 2 4 6 -2 -2 -6 2 -8 -4 4 点 D开始在 AB 、AD(包括端点 ) 上运动 (1)设 ND的长为 x，用 x 表示出点N到 AB的距离，并写出x 的取值范围； (2)当五边形BCDNM 面积最小时，请判断AMN 的形状 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】 C； 【解析】直线y=-x+4 经过第一，二，四象限，一定不经过第三象限，因而直线y=x+2m 与 y=-x+4 的 交点不可能在第三象限 2. 【答案】 C； 【解析】解关于x，y
14、 的方程组 31yx yxk 解得： 1 2 13 2 k x k y 交点在第四象限，得到不等式组 1 0 2 13 0 2 k k 解得： 1 3 k 1. 3. 【答案】 B； 【解析】由方程组的解知两直线的交点为（1， a+b） ，? 而图 A中交点横坐标是负数，故图A不对；图C中交点横坐标是21， 故图 C不对；图D?中交点纵坐标是大于a，小于 b 的数，不等于a+b， ybxa yaxb 故图 D不对；故选B 4. 【答案】 A； 5. 【答案】 B； 【解析】由A（-6,4 ） ，可得 ABO的面积为，同 时由于 D为OA的中点，所以D（-3,2 ） ，可得反比例 函数解析式为，
15、设 C（a，b） ，则， ab=-6 ，则 BO BC=6 ，CBO 的面积为3，所以AOC的面积为12-3=9. 6. 【答案】 B； 【解析】=p， 若 a+b+c0，则 p=2； 若 a+b+c=0，则 p=-1 ， 当 p=2 时， y=px+q 过第一、二、三象限； 当 p=-1 时， y=px+p 过第二、三、四象限， 综上所述， y=px+p 一定过第二、三象限 二、填空题 7 【答案】 1； 【解析】无法直接求出ABC 的面积 将ABC 分割成OBC 和OAB 1246 2 1 x y 6 a b 6 abbcca cab ()()()abbcca abc abc cc 由题意
16、，得 1 yx y x ，解得 1 1 x y 或 1 1 x y (1,1)A、( 1, 1)B ABC 的面积 = 11 1 22 AOBCOBSS 8 【答案】 4 3 k； 【解析】设B点坐标为（ a，b） ， OD ：DB=1：2， D点坐标为（a 3 1 ，b 3 1 ） ， D在反比例函数 x k y的图象上，得kba 3 1 3 1 ，kab9 -， BC AO ，AB AO ，C在反比例函数 x k y的图象上， C点的纵坐标是b， C点坐标为（b b k ,） 将（b b k ,）代入 x k y得， b k x， b k aBC， 又因为 OBC 的高为 AB ，所以 O
17、BC 1 ()3 2 k Sab b ，6kab -， 把代入得，9k-k=6 ， 解得 4 3 k 9 【答案】 6； 【解析】设A（a,a ）,B (b,b),则 C（ 1 ,a a ）,D ( 1 ,b b ), AC= 1 a a ,BD = 1 b b , BD=2AC ， 11 2()ba ba ， 2222 22 11 44()()OCODab ab 22 11 4 ()2()2ab ab 2211 4()84()2aa aa 6 10 【答案】（，3）或（,-3 ） ； 【解析】点P到 x 轴的距离等于3，点 P的纵坐标为3或 -3 当 y=3 时， x=；当 y=-3 时，
18、x=；点 P的坐标为（，3）或（， -3 ） “点 P到 x 轴的距离等于3” 就是点 P的纵坐标的绝对值为3， 故点 P的纵坐标应有两种情况 11 【答案】（0， 4） ， （ 4， 4） ， （4，4） ； 【解析】先求出B、O 、E的坐标，再根据平行四边形的性质画出图形，即可求出P点的坐标： 如图， AOE的面积为4，函数 k y= x 的图象过一、三象限，k=8 . 1 3 5 3 1 3 5 3 1 3 5 3 反比例函数为 8 y= x 函数 y=2x 和函数 8 y= x 的图象交于A、B两点， A、 B两点的坐标是： （2，4） （ 2， 4） ， 以点 B、O 、E、P为顶点
19、的平行四边形共有3 个， 满足条件的P点有 3 个，分别为： P1（0， 4） ，P2（ 4， 4） ，P3（4，4）. 12 【答案】； 【解析】由题意可知：=，又，即， 所以原式 =. 又，所以， 所以原式. 三、解答题 13. 【答案与解析】 （1）点A (2,3)在正比例函数ykx的图象上， 23k 解得 3 2 k 正比例函数的解析式为 3 2 yx 点A (2 , 3)在反比例函数 m y x 的图象上， 3 2 m 解得6m (2 ) 1 n a n 12.nAAA12231nnxyxyxy k y x xyk 1 11 n n xky 112 Ax ya 22 kx y 2ka
20、 111 11 1 2(2 ) 1 (2 )1(2 ) 11 n nnn n n kaa xkyaa xnn 反比例函数的解析式为 6 y x 2 分 （ 2）点B的坐标为( 2,3)， 3 分 不等式 m kx x 的解集为20x或2x 14. 【答案与解析】 （1）将直线 xy4 沿y轴向下平移后经过x轴上点A（0, 4 9 ） ， 设直线AB的解析式为bxy4 则0 4 9 4b 解得9b 直线AB的解析式为94xy （2）设点B的坐标为（xB，m） ， 直线AB经过点B， 94 B xm 4 9m xB B点的坐标为（ 4 9m ，m） ， 点B在双曲线 k y x （0x）上， 4
21、9m k m 4 9 2 mm k 15. 【答案与解析】 解法一： (1) 由题意知，当销售利润为4 万元时，销售量4 (5-4) 4 万升 x y O A 6 2 4 6 -2 -2 -6 2 -8 -4 4 答：销售量x 为 4 万升时，销售利润为4 万元 (2) 点 A的坐标为 (4，4) ，从 13 日到 15 日利润为5.5-4 1.5 ，所以销售量为1.5 (5.5-4)-1， 所以点 B的坐标为 (5 ，5.5) 设线段 AB所对应的函数关系式为ykx+b，则 44, 5.55. kb kb 解得 1.5, 2. k b 线段 AB所对应的函数关系式为 y 1.5x-2(4 x
22、5) 从 15 日到 31 日共销售5 万升，利润为l 1.5+4 15.5( 万元 ) 本月销售该油品的利润为5.5+5.5 11( 万元 ) ，则点 C的坐标为 (10 ， 11) 设线段 BC所对应的函数关系式为ymx+n ， 则 5.55, 1110. mn mn 解得 1.1, 0. m n 所以线段BC所对应的函数关系式为 y 1.1x(5 x10) (3)线段 AB段的利润率最大 解法二： (1) 根据题意，线段OA所对应的函数关系式为y(5-4)x ，即 yx(0 x4) 当 y 4 时， x 4，所以销售量为4 万升时，销售利润为4 万元 答：销售量x 为 4 万升时，销售利
23、润为4 万元 (2)根据题意，线段AB对应的函数关系式为y14+(5.5-4)(x-4)， 即 y 1.5x-2(4 x5) 把 y 5.5 代入 y1.5x-2 ，得 x5，所以点B的坐标为 (5 ，5.5) 此时库存量为6-5 1 当销售量大于5 万升时，即线段BC所对应的销售关系中， 每升油的成本价 1 444.5 4.4 5 （元） ， 所以，线段BC所对应的函数关系式 y(1.5 5-2)+(5.5-4.4)(x-5)1.1x(5 x10) (3)线段 AB段的利润率最大 16. 【答案与解析】 解： (1) 过点 N作 BA的垂线 NP ，交 BA的延长线于点P 由已知， AM x
24、，AN 20-x ， 四边形 ABCD 是等腰梯形， AB CD ， D C30， PAN D30 在 RtAPN中， 1 sin(20) 2 PNANPANx， 即点 N到 AB的距离为 1 (20) 2 x 点 N在 AD上， 0x20，点 M在 AB上， 0x15， x的取值范围是0 x15 (2) 根据 (1) ， 2 111 (20)5 244 AMN SAMNPxxxx 1 0 4 ，当 x10 时， AMN S有最大值 又 AMNBCDNM SSS 五边形梯形 ，且S 梯形 为定值， 当 x10 时，即 ND AM 10，AN AD-ND 10，即 AM AN 则当五边形BCDNM 面积最小时，AMN 为等腰三角形