整式的加减讲义.pdf

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1、整式的加减讲义 知识要点 一、整式的有关概念 1单项式 （1）概念：注意：单项式中数与字母或字母与字母之间是乘积关系，例如：可以看成，所以是单项 式；而表示 2 与的商，所以不是单项式，凡是分母中含有字母的就一定不是单项式. （2）系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 例如：的系数是；的系数是 注意：单项式的系数包括其前面的符号；当一个单项式的系数是1 或时， “1”通常省略不写，但符号 不能省略 . 如：等；是数字，不是字母. （3）次数：一个单项式中，所有字母指数的和叫做这个单项式的次数. 注意：计算单项式的次数时，不要漏掉字母的指数为1 的情况 . 如的次数为，而不是 5； 切

2、勿加上系数上的指数，如的次数是3，而不是8；的次数是 5，而不是6. 2多项式 （1）概念：几个单项式的和叫做多项式. 其含义是：必须由单项式组成；体现和的运算法则. （2）项：在多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项；一个多项式含有几个单 项式就叫几项式.例如：共含有有三项，分别是，所以是一个三项式 . 注意：多项式的项包括它前面的符号，如上例中常数项是，而不是1. （3）次数：多项式中，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数. 注意：要防止把多项式的次数与单项式的次数相混淆，而误认为多项式的次数是各项次数之和. 例如：多项式 中，的次数是4，的次数是5，的次数是3，

3、故此多项式的次数是5，而不 是. 3整式：单项式和多项式统称做整式. 4降幂排列与升幂排列 （1）降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的降 幂排列 . （2）把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来叫做把这个多项式按这个字母的升幂排列. 注意：降（升）幂排列的根据是：加法的交换律和结合律；把一个多项式按降（升）幂重新排列，移动多 项式的项时，需连同项的符号一起移动；在进行多项式的排列时，要先确定按哪个字母的指数来排列. 例如：多 项式按的升幂排列为：；按的降幂排列为： . 二、整式的加减 1同类项：所含的字母相同，并且相同字母的指

4、数也分别相同的项叫做同类项. 2 x1 2 x 2 x 2 x x 2 x 2 1 2 x y 1 2 2 r2 . 1 23 ,xy a b c 32 2xy z1326 52 2 xy 32 2 x y 2 231xy 2 2, 3 , 1xy 2 231xy 1 2242 235x yx yxy 22 2x y 4 3x y 2 5xy 45312 244233 32xyxyx yx yx 422334 32yxyx yx yxy 423234 32yx yxyx yx 注意：同类项与其系数及字母的排列顺序无关. 例如：与是同类项；而与却不是同 类项，因为相同的字母的指数不同. 2合并同

5、类项 （1）概念：把多项式中相同的项合并成一项叫做合并同类项. 注意：合并同类项时，只能把同类项合并成一项，不是同类项的不能合并，如显然不正确； 不能合并的项，在每步运算中不要漏掉. （2）法则：合并同类项就是把同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数保持不变. 注意：合并同类项，只是系数上的变化，字母与字母的指数不变，不能将字母的指数相加；合并同类项的 依据是加法交换律、结合律及乘法分配律；两个同类项合并后的结果与原来的两个单项式仍是同类项或者是0. 3去括号与填括号 （1） 去括号法则： 括号前面是 “” ， 把括号和它前面的 “”去掉，括号内的各项都不变号；括号前面是 “”

6、 ， 把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号. 注意：去括号的依据是乘法分配律，当括号前面有数字因数时，应先利用分配律计算，切勿漏乘；明确法 则中的 “都” 字， 变符号时，各项都变；若不变符号， 各项都不变 . 例如：； 当出现多层括号时，一般由里向外逐层去括号，如遇特殊情况，为了简便运算也可由外向内逐层去括号. （2）填括号法则：所添括号前面是“”号，添到括号内的各项都不变号；所添括号前面是“”号，添到 括号内的各项都改变符号. 注意：添括号是添上括号和括号前面的“”或“”，它不是原来多项式的某一项的符号“移”出来的； 添 括 号 和 去 括 号 的 过 程 正 好 相 反 ，

7、添 括 号 是 否 正 确 ， 可 用 去 括 号 来 检 验 . 例 如 ： 4整式的加减 整式的加减实质上是去括号和合并同类项，其一般步骤是： （1）如果有括号，那么先去括号；（2）如果有同类项，再合并同类项. 注意：整式运算的结果仍是整式. 基础巩固 1 下列说法正确的是( ) A单项式 2 3 x 的系数是3B单项式 324 2 2 ab 的指数是7 C 1 x 是单项式D单项式可能不含有字母 2 多项式 2332 320.53x yx yy x 是 次项式， 关于字母y的最高次数项是，关于字母 x的 最高次项的系数，把多项式按x 的降幂排列。 3 已知单项式 43 1 2 x y 的

8、次数与多项式 2122 8 m aaba b 的次数相同，求m 的值。 4 若A和B都是五次多项式，则( ) AAB一定是多项式BAB一定是单项式 CAB是次数不高于5的整式DAB是次数不低于5的整式 5 若 m 、 n都是自然数，多项式 22 2 mnmn ab的次数是 ( ) 23 2a b 32 3b a 23 2a b 32 5a b 235abab ;abcabc abcabc ;.abcabcabcabc A m B2nC2mnD m 、2n中较大的数 6 同时都含有字母a 、b、 c ，且系数为1的7次单项式共有()个。 A1B3C15D36 7 若 222 2 m ab 与 3

9、3 3 4 mn ab是同类项，则mn。 8 单项式 214 1 2 n ab 与 28 3 mm ab是同类项，则 100102 (1)(1)nm() A无法计算B 1 4 C4D1 9 若 523 3 mn xyx y与的和是单项式，则 n m。 10 下列各式中去括号正确的是() A 2222 22aabbaabb B 2222 22xyxyxyxy C 22 235235xxxx D 3232 413413aaaaaa 11 已知 2222 23223AxxyyBxxyy，求(2 )ABA 12 若 a是绝对值等于4的有理数，b是倒数等于2的有理数。求代数式 2222 3224a ba

10、 babaaab的值。 13 已知 a 、b、 c 满足： 2 53220ab； 211 3 ab c xy是 7 次单项式； 求多项式 22222 234a ba babca ca ba cabc的值。 14 李明在计算一个多项式减去 2 245xx时，误认为加上此式， 计算出错误结果为 2 21xx， 试求出正确答案。 15 有这样一道题 “当22ab，时，求多项式 22 233322aabbaabb的值”，马小虎做题时把2a错 抄成2a时，王小明没抄错题，但他们做出的结果却都一样，你知道这是怎么回事吗？说明理由。 典型例题 例 1 若多项式xyxxxmx537852 222 的值与 x

11、无关， 求mmmm452 22 的值 . 例 2 x=-2 时，代数式6 35 cxbxax的值为 8，求当 x=2 时，代数式6 35 cxbxax的值。 例 3 当代数式53 2 xx的值为 7 时, 求代数式293 2 xx的值 . 例 4 已知01 2 aa，求20072 23 aa的值 . 例 5 （实际应用） A和 B两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异： A公司，年薪一万元，每年加工龄工资200 元； B公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资50 元。从收入的角度考 虑，选择哪家公司有利？ 例 6 三个数 a、b、c 的积为负数，和为正数，

12、且 bc bc ac ac ab ab c c b b a a x， 则1 23 cxbxax的值是 _ 。 例 7 如图，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ， OE ，OF ，从射线OA开始按逆时针方向依次在射线上 写出数字1，2，3，4，5，6，7， A B 7 2 8 （1） “17”在射线 _上， “2008”在射线 _上 （2）若 n 为正整数，则射线OA上数字的排列规律可以用含n 的 代数式表示为 _ 例 8 将正奇数按下表排成5 列: 第一列第二列第三列第四列第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行

13、 31 29 27 25 根据上面规律，2007 应在 A125 行,3 列 B. 125行,2 列 C. 251行,2 列D . 251行 ,5 列 例 9 定义一种对正整数n 的“ F”运算：当n 为奇数时，结果为3n5；当 n 为偶数时，结果为 k n 2 （其中k 是使 k n 2 为奇数的正整数） ，并且运算重复进行例如，取n26，则： 若 n449，则第 449 次“ F运算”的结果是_ 例 10已知3 xy xy ，求代数式 353 3 xxyy xxyy 的值。 26 13 44 11 第一次 F 第二次 F 第三次 F 作业 一、填空题 1、单项式 2 3x减去单项式yxxy

14、x 222 2,5,4的和，列算式为，化简后的结果是。 2、当2x时，代数式12 2 xx= ，12 2 xx= 。 3、写出一个关于x 的二次三项式，使得它的二次项系数为-5，则这个二次三项式为。 4、已知：1 1 x x，则代数式5 1 ) 1 ( 2010 x x x x的值是。 5、张大伯从报社以每份0.4 元的价格购进了a份报纸，以每份0.5 元的价格售出了 b份报纸，剩余的以每份 0.2 元的价格退回报社， 则张大伯卖报收入元。 7、计算：)2008642()200953(mmmmmmmm= 。 8、bca2的相反数是，3= ，最大的负整数是。 9、若多项式 732 2 xx 的值

15、为 10，则多项式 796 2 xx 的值为。 10、若 myxyxm n 则的六次单项式是关于,)2( 232 ，n= 。 11、已知 2222 4,142, 82babaabbaba则； 22 ba。 12、多项式1723 32 xxx是次项式，最高次项是，常数项是。 二、选择题 13、下列等式中正确的是（） A、)25(52xxB、)3(737aaC、)(babaD、)52(52xx 14、下面的叙述错误的是（） A、倍的和的平方的与的意义是2)2( 2 baba。 B、 22 2baba与的意义是的 2 倍的和 C、 3 ) 2 ( b a 的意义是a的立方除以2b的商 D、baba与

16、的意义是 2 )(2的和的平方的2 倍 15、下列代数式书写正确的是（） A、48aB、yxC、)(yxaD、 2 1 1abc 16、)(cba变形后的结果是（） A、 cba B、 cba C、 cba D、 cba 17、下列说法正确的是（） A、0 不是单项式B、x没有系数C、 37 x x 是多项式D、 5 xy是单项式 18、下列各式中 ,去括号或添括号正确的是（） A、cbaacbaa2)2( 22 B、 )123(123yxayxa C、 1253)12(53xxxxxx D、 )1()2(12ayxayx 19、代数式, 2 1 a a 4 3 , 2 1 ,2009, 3

17、,4 2 mn bcaa ba xy 中单项式的个数是（） A、3 B、4 C、5 D、6 20、若 A 和 B 都是 4 次多项式，则A+B 一定是（） A、8 次多项式B、4 次多项式 C、次数不高于4 次的整式D、次数不低于4 次的整式 21、已知 yxx nmnm 26 52与是同类项，则（） A、1,2 yxB、1,3 yxC、1, 2 3 yxD、0,3 yx 三、解答题 23、已知：;)()(,055 3 2 1 2 mxyxm满足 2312 72)2(abba y 与是同类项，求代数式: )733()9(62 22222 yxyxyxymyx的值。 24、试说明：不论x取何值代数式)674() 132()345( 323223 xxxxxxxxx的值是不会改变的。