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1、习题 2-1 图 习题 2-2 图 习题 2-3 图习题 2-4 图 习题 2-5 图 习题 2-6 图 第 1 章引论 11 图示矩形截面直杆，右端固定，左端在杆的对称平面内作用有集中力偶，数值为M。关于固定 端处横截面 AA 上的内力分布，有四种答案，根据弹性体的特点，试分析哪一种答案比较合理。 正确答案是C 。 12 图示带缺口的直杆在两端承受拉力FP作用。关于 AA 截面上的内力分布，有四种答案，根据 弹性体的特点，试判断哪一种答案是合理的。 正确答案是D 。 13 图示直杆 ACB 在两端 A、B 处固定。关于其两端的约束力有四种答案。试分析哪一种答案最合 理。 正确答案是D 。 1
2、4 等截面直杆在两端承受沿杆轴线的拉力FP。关于杆中点处截面 AA 在杆变形后的位置（图中 虚线所示），有四种答案，根据弹性体的特点，试判断哪一种答案是正确的。 正确答案是D 。 15 图示等截面直杆在两端作用有力偶，数值为M，力偶作用面与杆的对称面一致。关于杆中点处 截面 AA 在杆变形后的位置（对于左端，由 AA ；对于右端，由 AA ） ，有四种答案，试判断哪一 种答案是正确的。 正确答案是C 。 16 等截面直杆，其支承和受力如图所示。关于其轴线在变形后的位置（图中虚线所示），有四种答 案，根据弹性体的特点，试分析哪一种是合理的。 正确答案是C 。 第 2 章杆件的内力分析 21 平衡
3、微分方程中的正负号由哪些因素所确定？简支梁受力及Ox 坐标取向如图所示。试分析下 列平衡微分方程中哪一个是正确的。 （A）)( d d Q xq x F ； Q d d F x M ； 习题 2-1 图 习题 2-2 图 习题 2-3 图 习题 2-4 图 AB A B )(ql 2l M Q F Q F 4 5 4 1 4 1 (a-1) (b-1) A DEC M AB M B 2 M 2 M M 2 3 4 1 M2 2 ql (a-2) (b-2) （B）)( d dQ xq x F ， Q d d F x M ； （C）)( d d Q xq x F ， Q d d F x M ；
4、（D）)( d d Q xq x F ， Q d d F x M 。 正确答案是B 。 22 对于图示承受均布载荷q 的简支梁，其弯矩图凸凹性与哪些因素相关？试判断下列四种答案中 哪几种是正确的。 正确答案是B、C、D 。 23 已知梁的剪力图以及a、e 截面上的弯矩Ma和 Me，如图所示。 为确定 b、d 二截面上的弯矩Mb、Md，现有下列四种答案，试分析哪一种 是正确的。 （A）)( Q F baab AMM，)( Q F deed AMM； （B）)( QFbaabAMM，)(QFdeedAMM； （C）)( Q F baab AMM，)( Q F deed AMM； （D）)( Q F
5、 baab AMM，)( Q F deed AMM。 上述各式中)( QFbaA 为截面 a、b 之间剪力图的面积，以此类推。 正确答案是B 。 24 应用平衡微分方程，试画出图示各梁的剪力图和弯矩图，并确定 m a xQ| F。 解： （a）0 AM， l M FB 2 R（） 0 yF， l M FA 2 R（） l M F 2 | maxQ MM2| max （b）0 A M，02 2 R 2 lFlql l qlql B ， qlF B 4 1 R （） 0 y F，qlF A 4 1 R （） ， 2 R 4 1 4 1 qllqllFM BC（） 2 qlM A qlF 4 5 |
6、 maxQ 2 max|qlM （c）0 y F，qlF AR （） 0 A M， 2 qlM A 2 M 2 M (c) (d) A DBC 1.5 1 )( 2 qlM )( 2 qlM AB 32 25 2 1 (c-2) (d-2) (e) (f) A B C 0.5 B E 0.50.5 D ql Q FQ F ql (e-1) (f-1) C B 1 0.5 )( 2 qlM A (e-2) (a) (b) A BC D lA B 1 0.75 Q F Q F 1.25 (c-1) (d-1) )(gl )(g l A C BD 0.125 E 0.125 )( 2 qlM (f-
7、2) 0 D M，0 2 2 D M l qllqlql 2 2 3 qlMD qlF maxQ| 2 max 2 3 |qlM （d）0 B M 0 2 1 32 R lqllqlF A qlF A 4 5 R （） 0 yF，qlFB 4 3 R（） 0 BM， 2 2 l q MB 0 D M， 2 32 25 qlM D qlF 4 5 | maxQ 2 max 32 25 |qlM （e）0 yF，FRC = 0 0 C M，0 22 3 C M l qllql 2 qlM C 0 BM， 2 2 1 qlMB 0 yF，qlFBQ qlF maxQ | 2 max |qlM （f）
8、0 A M，qlF B 2 1 R （） 0 y F，qlF A 2 1 R （） 0 yF，0 2 1 QBFqlql qlFB 2 1 Q 0 D M，0 4222 1 D M ll q l ql 2 8 1 qlMD 2 8 1 qlM E qlF 2 1 | maxQ 2 max 8 1 |qlM 25 试作图示刚架的弯矩图，并确定 max | M。 解： 图（ a） ：0 AM ，02 PPRlFlFlFB PRFFB（） 2 1 2 1 AB1 1 (d-1) 2 1 2 1 AB 1 )( 2 qlM (c-1) 2 1 2 1 C B A1 )( 2 qlM (b-1) xN
9、F xx FN N dF C MMd xd p (b) M xN F x C p (a) (c) (d) C B A D 2 )( Pl FM 1 (a-1) 习题 2-6 和 2-7 图 0 y F， P FFAy（） 0 x F， P FFAx（） 弯距图如图（ a-1） ，其中lFM Pmax2|，位 于刚节点 C 截面。 图（ b） ：0 y F，qlFAy（） 0 AM ，qlF B 2 1 R （） 0 xF，qlFAx 2 1 （） 弯距图如图（ b-1） ，其中 2 max|qlM。 图（ c） ：0 x F，qlFAx（） 0 AM 0 2 R 2 lF l qlql B q
10、lFB 2 1 R（） 0 y F，qlFAy 2 1 （） 弯距图如图（ c-1） ，其中 2 max|qlM。 图（ d） ：0 x F，qlFAx 0 AM 0 2 R 2 lFql l ql B qlFB 2 3 R 0 y F， 2 2 3 qlFAy（） 弯距图如图（ d-1） ，其中 2 max|qlM。 26 梁的上表面承受均匀分布的切向力作用，其集度为 p。梁的尺寸如图所示。若已知p、h、l， 试导出轴力 FNx、弯矩 M 与均匀分布切向力p之间的平衡微分方程。 解： 1以自由端为x 坐标原点，受力图（a） 0 xF，0NxFxp xpF xN p x F x d d N 0
11、 CM， 0 2 h xpM hxpM 2 1 hp x M 2 1 d d 方法 20 x F，0dd NNNxxx FxpFF p x F x d d N 0 C M，0 2 dd h xpMMM 2d dhp x M )( 2 qlM AB C 0.2kN/m 0.3kN (b) A CB 15kN/mq (d) N F x l lx hlp 2 1 M O lp A M m 3 4 3 40 BC 5.7 mkN (c) 习题 2-8 图 习题 2-9 图 A B C kN/m2. 0q 1kN (a) 27 试作 26 题中梁的轴力图和弯矩图， 并确定 maxN|xF 和 max |
12、 M。 解：lpF xmaxN|（固定端） hl p M 2 | max（固定端） 28 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图 如图所示。 若已知 A 端弯矩0)( AM，试确定梁上的载荷及梁的 弯矩图，并指出梁在何处有约束，且为何种约束。 解： 由 FQ图线性分布且斜率相同知，梁上有向下均布 q 载 荷，由 A、B 处 FQ向上突变知， A、B 处有向上集中力；又因A、 B 处弯矩无突变，说明A、B 处为简支约束，由A、B 处 FQ值知 FRA = 20 kN（），FRB = 40 kN 由0 yF，04RRqFFBA q = 15 kN/m 由 FQ图 D、B处值知， M 在 D
13、、B 处取极值 3 40 ) 3 4 ( 2 1 15 3 4 20 2 D MkNm 5.71 2 1 2 qMBkNm 梁上载荷及梁的弯矩图分别如图（d） 、 （c）所示。 29 已知静定梁的剪力图和弯矩图，如图所示，试确定梁上的载荷及梁的支承。 解： 由 FQ图知，全梁有向下均布 q 载荷，由 FQ图中 A、B、C 处突变，知A、B、C 处有向上集中力， 且 FRA = 0.3 kN（） FRC = 1 kN（） FRB = 0.3 kN（） 2. 0 4 ) 5. 0(3.0 qkN/m （） 由 MA = MB = 0，可知 A、B 简支，由此得梁 上载荷及梁的支承如图（a）或（ b
14、）所示。 210 静定梁承受平面载荷，但无集中力偶作用，其剪力图如图所示。若已知截面E 上的弯矩为零， 试： ACB y 2387 1432 4296 zQ F (N) D (b) Cz F C A BD Dz F B T Q F A T r F z F S2 3F x y z (a) A C D B yQF (N) 434 864 0 Q F (c) 0.5 A B C D E 5.0 3.5 )( 2 qlM (a) 习题 2-10 图 E C A D q ql2 B (b) Q F 习题 2-11 图 1在 Ox 坐标中写出弯矩的表达式； 2画出梁的弯矩图； 3确定梁上的载荷； 4分析梁
15、的支承状况。 解： 由 FQ图知，全梁有向下均布 q；B、D 处有相等的向 上集中力 4ql；C 处有向下的集中力2ql；结合 M，知 A、E 为 自由端，由 FQ线性分布知， M 为二次抛物线， B、C、D 处 FQ 变号， M 在 B、C、D 处取极值。 2 2 1 qlMM DB ，FQB = 4ql 22 2 7 24)3( 2 1 qllqllqMC 1弯矩表达式： 2 0 2 1 )(xqxM， )0(lx lxqlxqxM40 2 1 )( 2 ，)2(lxl lxqllxqlxqxM3240 2 1 )( 2 )53(lxl lxqllxql lxqlxqxM 5432 40
16、2 1 )( 2 )65(lxl 即 lxqllxql lxqlxqxM 5432 40 2 1 )( 2 )60(lx 2弯矩图如图（ a） ； 3载荷图如图（ b） ； 4梁的支承为B、D 处简支（图b） 。 211 图示传动轴传递功率P = 7.5kW，轴 的转速 n = 200r/min 。齿轮 A 上的啮合力FR与水 平切线夹角 20，皮带轮B 上作用皮带拉力FS1 和 FS2，二者均沿着水平方向，且 FS1 = 2FS2。试： （分轮 B 重 FQ = 0 和 FQ = 1800N 两种情况） 1画出轴的受力简图； 2画出轴的全部内力图。 解： 1轴之扭矩： 358 200 5.
17、7 9549 xMNm 358 xBAMTTNm 2387 2 3.0 A T FN 86920tan rFFN 1432 2 5.0 2s BT FN 轴的受力简图如图（a） 。 2 FQ = 0 时， 0 Cz M 06. 04.02. 0 QrFFFDy 434 DyFN 0 y F 1303 CyFN F Cy FDyF xN F A CB 650 (N) (b) AB xAF Ay F AzF BzF By F z M 650N 650N C x M y 1730N xM (a) 习题 2-12 图 A C D B x 173 360 N1800 Q F m)(N z M (h) y
18、Q F A C D B x 86 9 5461 800 (N) N1800 Q F (d) A C D x 17 3 0 Q F m)(N z M (g) m)(N y M A C D B 477 859 (f) x M m)(N x 358 1335 (e) FQ = 1800 N 时， 0 CzM 1254 Dy FN 0 yF 323 CyFN 0 Cy M 033.04 .02. 0 S2FFFDz 5250 Dz FN 0 zF，1432CzFN 4772.0 FMCyNm 8592.03 2s FMDyNm 1732 .0 rFMCzNm FQ = 0 时，0 Dz M FQ =
19、1800 N 时，360 DzM Nm 212 传动轴结构如图所示，其一的A 为斜 齿轮，三方向的啮合力分别为F a = 650N，F= 650N，Fr= 1730N，方向如图所示。若已知D = 50mm，l = 100mm。试画出： 1轴的受力简图； 2轴的全部内力图。 解： 1力系向轴线简化，得受力图（a） 。 25.1610 2 50 650 3 xMNm 25.16025.0650 zMNm 0 x F，650 Ax FN 0AzM，784ByFN 0 y F，946 Ay FN 0 CyM，BzAzFF 0 z F，325 2 650 BzAz FFN 2全部内力图见图（a） 、 （
20、b） 、 （c） 、 （d） 、 （e） 、 （f） 、 （g）所示。 1335 C D C D z 习题 3-1 图 kN15 kN15 kN5 kN5 DE F C D 4m 3m CE F (a) 习题 3-2 图 C B D A E 30 20 40 (kN) Nx F (a) (f) (e) yQ F A 946 B C (N) 784 (c) A B 32 5 C (N) Qz F 3 25 (d) (g) A C B m325N yM A C B x Mm)(N 16.25 z M m)(N ACB 94.6 78.4 第 3 章弹性杆件横截面上的正应力分析 31 桁架结构受力如
21、图示，其上所有杆的横截面均为20mm50mm 的矩形。试求杆CE 和杆 DE 横 截面上的正应力。 解： 图（ a）中， 5 4 cos（1） 截面法受力图（ a） 0 D M，03)515(4 CE F（2） FCE = 15 kN 0 x F，40cos DE F（3） （1）代入（ 3） ，得 FDE = 50 kN 15 05.002.0 1015 3 A FCE CEMPa 50 A FDE DE MPa 32 图示直杆在上半部两侧面受有平行于杆轴线的均匀分布载荷，其集度 p= 10kN/m ，在自由端 D 处作用有集中呼FP = 20 kN 。已知杆的横截面面积 A = 2.010
22、-4m2，l = 4m。试求： 1A、B、E 截面上的正应力； 2杆内横截面上的最大正应力，并指明其作用位置。 解： 由已知，用截面法求得 FNA = 40 kN FNB = 20 kN FNE = 30 kN （1）200 100.2 1040 4 3 N A FA A MPa 100 N A F B B MPa 习题 3-3 图 习题 3-4 图 习题 3-5 图 150 N A F E E MPa （2）200 maxA MPa（A 截面） 33 图示铜芯与铝壳组成的复合材料杆，轴向拉伸载荷FP通过两端的刚性板加在杆上。试： 1写出杆横截面上的正应力与FP、d、D、Ec、Ea的关系式；
23、2若已知 d = 25mm，D = 60mm；铜和铝的单性模量分别为Ec = 105GPa和 Ea = 70GPa，FP = 171 kN。 试求铜芯与铝壳横截面上的正应力。 解： 1变形谐调： aa Na cc Nc AE F AE F （1） PNaNc FFF（2） P aacc cc Nc F AEAE AE F P aacc aa Na F AEAE AE F 4 )( 4 )( 4 4 22 a 2 c Pa a Na a 22 a 2 c P aacc Pc c Nc c dD E d E FE A F dDE d E FE AEAE FE A F c 25.83 )025.00
24、6.0(1070025. 010105 10171101054 22929 39 c MPa 6.55 105 70 5.83 c a ca E E MPa 34 图示由铝板钢板组成的复合材料柱，纵向截荷 FP通过刚性平板沿着柱的中心线施加在其上。 试： 1导出复合材料柱横截面上正应力与FP、b0、b1、h 和 Ea、Es之间的关系式； 2已知 FP = 385kN ；Ea = 70GPa，Es = 200GPa；b0 = 30mm， b1 = 20mm ，h = 50mm。求铝板与钢板横 截面上的最大正应力。 解： 变形谐调： aa Na ss Ns AE F AE F （1） PNaNsF
25、FF（2） P aass aa Na P aass ss Ns F AEAE AE F F AEAE AE F 1 a1s0 Ps 1a0s Ps s Ns s 22hEbhEb FE hbEhbE FE A F a1s0 Pa a Na a 2hEbhEb FE A F 2175 107005.002.021020005.003.0 103850200 99 39 s MPa（压） 25.61 200 70 175 175 s a a E E MPa（压） 35 从圆木中锯成的矩形截面梁，受力及尺寸如图所示。试求下列两种情形下h 与 b 的比值： 1横截面上的最大正应力尽可能小； 2曲率半径
26、尽可能大。 解： 1 )( 6 6 222 bdb M bh M W M zz z z 习题 3-7 图 03)( d d d d2232 bdbbd bb Wz d 3 3 b 2222 3 2 dbdh 2 b h （正应力尽可能小） 2 z z z EI M1 1212 3223 hhdbh Iz 0 d d h Iz ，得 22 4 3 dh 2222 4 1 dhdb 3 b h （曲率半径尽可能大） 36 梁的截面形状为正方形去掉上、下角，如图所示。梁在两端力偶Mz作用下发生弯曲。设正方形 截面时，梁内最大正应力为 0；去掉上、下角后，最大正应力变为0max k，试求： 1k值与
27、h 值之间的关系； 2 max为尽可能小的 h 值，以及这种情形下的k 值。 解： 3 4 0 0 h I zh ， 3 3 0 0 h Wz 3 0 max00 3 0 h M W M z z z yyhy h III h h zzhzhd)(22 3 2 0 2 4 0 0 00 ) 3 4 ( 3 4 )()( 3 4 3 0 343 0 44 0 33 00 4 0 hhhhhhhhhhh h ) 3 4 ( 0 2 maxmax hhh M W M z h z h )34( ) 3 4 (3) 3 4 ( 3 0 2 3 0 0 2 3 0 0 2 3 0 0 max hhh h h
28、hh h hhh h k（1） 032 3 4 d ) 3 4 (d d d 2 0 0 2 hhh h hhh h Wh 0)3 3 8 ( 0hhh，h = 0（舍去），0 9 8 hh 代入（ 1） ：9492.0 ) 812(64 381 ) 3 8 4() 9 8 ( 1 ) 9 8 34() 9 8 ( 2 00 2 0 3 0 hhh h k 37 工字形截面钢梁，已知梁横截面上只承受Mz = 20 kN m 一个内力分量， Iz = 11.3106mm4，其 他尺寸如图所示。试求横截面中性轴以上部分分布力系沿x 方向的合力。 解： 21 2 Nddd A z z A z z A
29、xxAy I M Ay I M AF yyyy I M z z d088.0d006.0 080.0 07. 0 07. 0 0 9222 10)7080( 2 1 8870 2 1 6 z z I M 习题 3-8 图 O y 2 d 2 O2x x x y (a) 习题 3-9 图 )7080(4470310 103.11 10202229 6 3 14310143 3 kN 2 | *N z cx M yF mm70m0699. 0 1432 20 *c y 即上半部分布力系合力大小为143 kN（压力），作用位置离中心轴y = 70mm 处，即位于腹板与翼缘交 界处。 38 图示矩形截
30、面（bh）直梁，在弯矩Mz作用的 Oxy 平面内发生平面弯曲，且不超出弹性范围， 假定在梁的纵截面上有y 方向正应力 y存在，且沿梁长均匀分布。试： 1导出)( y yy 的表达式； 2证明： maxmax 4 xy h ，为中性面的曲率半径。 解： 1先求)( y y表达式： 0 y F y hxyyyyF 2 2 2 0d1 2 sin2cosd1 即0d 2 s i n2 2 si n2 2 yy I M y h z z yy ， （y I M z z x ） 即0) 4 ( 2 1 2 si n2 2 si n2 2 2h y I M z z yy ) 4 ( 2 2 2 y h I
31、M zy z y（a） 2由（ a）式，令0 d d y y ，得 y = 0，则 max 2 max, 44 2 48 x z z y z z yzy z y h W Mh h I Mh I Mh （b） 39 图示钢管和铝管牢固地粘成复合材料管，在两端力偶Mz作用下发生平面弯曲，试： 1导出管横截面上正应力与Mz、D1、D2、D3和钢的 Es、铝的 Ea之间的关系式； 2已知 D1 = 20mm，D2 = 36mm，D3 = 44mm；Mz = 800Nm；Es = 210GPa，Ea = 70GPa。求钢管和铝 和铝管横截面上的最大正应力 max。 解： 静力平衡： z MMM sa （
32、1） 变形谐调： sa得 ss s aa a IE M IE M （2） 64 )( 4 2 4 3 a DD I， 64 )( 4 1 4 2 s DD I（3） 由（ 2） s ss aa a M IE IE M（4） 代入（ 1） ，得 z MM IE IE s ss aa )1( aass ss s IEIE MIE M z （5） z M IEIE IE M aass aa a （6） 1 )()( 64 4 2 4 3a 4 1 4 2s s aass s s s s DDEDDE yME y IEIE ME y I M zz ， （ 22 21 D y D ） - 22 习题 3
33、-10 图 习题 3-11 图 C h t t C C (a) ht )()( 64 4 2 4 3a 4 1 4 2s a aass a a a a DDEDDE yME y IEIE ME y I M zz ， （ 22 32D y D ） 2133 10)3644(70)2036(210 101880021064 124444 3 maxs MPa 1 .54 10)3644(70)2036(210 10228007064 124444 3 maxa MPa 310 由塑料制成的直梁，在横截面上只有Mz作用，如图所示。已知塑料受拉和受压时的弹性模量 分别为 Et和 Ec，且已知 Ec =
34、 2Et；Mz = 600Nm。试求： 1梁内最大拉、压正应力； 2中性轴的位置。 解： 根据平面假设，应变沿截面高度作直线变化 Ec = 2Et，E 沿截面高度直线的斜率不同中性轴不过截面形心。 1确定中性轴位置。设拉压区高度分别为ht、hc 由0 xF ，得：0 2 1 2 1 tmaxtcmaxc bhbh 即 c c c t m a xt m a xc h hh h h （1） 又 t c maxt maxc maxtt maxcc maxt maxc 2 2 h h E E （2） 由（ 1） 、 （2） ，得 c c t c c c22 hh h h h h hh 即 2 c 2
35、c 2)(hhh mm6.58)22( mm4 .41) 12( t c hh hh （中性轴的位置） 2 ctctct d2ddddd ctttccttct AAAAAA z AEyAyEAyEAyEAyAyM )2(d2dd2d ct t tctt ctct II E A y yA y yEAyAyE AAAA 其中)246( 33 2 3 2 3 3 c 3 t ct bhbhbh II )2( 1 ctt IIE M z c ct c ctt c c c m a xc 2 2 2 h II M h II M E E h E zz 69.8 10)246( 3 10050 104.416
36、002 12 3 3 MPa（压） 15.6 )246(10 3 10050 10100)22(600 2 12 3 3 t ct t t maxth II M h E z MPa（拉） 311 试求图 a、b 中所示的二杆横截面上最大正应力的比值。 解： （a）为拉弯组合 2 P 2 P P a 3 4 6 ) 2 3 ( 4 2 3 a F aa a F aa F （b）为单向拉伸 2 P b a F 3 4 b a 312 桥墩受力如图所示，试确定下列载荷作用下图示截面ABC 上 A、B 两点的正应力： 习题 3-13 图 习题 3-14 图 1在点 1、2、3 处均有 40 kN 的压
37、缩载荷； 2仅在 1、2 两点处各承受40 kN 的压缩载荷； 3仅在点 1 或点 3 处承受 40 kN 的压缩载荷。 解：67.2 1075200 1040 6 3 N A Fx Mpa 40 10 6 10075 125. 01040 9 2 3 W Mz MPa 18 75200 104033 3 N A Fx BA MPa 23.15 6 20075 2 125 1080 75200 104022 2 3 3 N W M A F zx AMPa 3在点 1 加载： 67.12 6 20075 1251040 75200 1040 2 33 N W M A F zx A MPa 33.
38、7 6 20075 1251040 75200 1040 2 33 N W M A F zx BMPa 由对称性，得 在 3 点加载：33. 7 A MPa，67.12 B MPa 313 图示侧面开有空洞的正方形截面管，管壁厚= 5mm，管在两端承受轴向载荷FP。已知开孔 处截面的形心为C，形心主惯性矩 6 10177.0 z Im4，Fp = 25kN。试求： 1开孔处横截面上点F 处的正应力； 2最大正应力。 解：25 PNFFxkN 75.16010)57.1825( 3 p FMz Nm 66 1070010)5402550(Am2 185.181057.18 3N z z x F
39、I M A F MPa 2 A F xN max 3 10)57.1850( z z I M 26.64MPa（在 y 正向最大位置） 314 图示矩形截面杆在自由端承受位于纵向对称面内的纵向载荷FP，已知 FP = 60kN。试求： 1横截面上点A 的正应力取最小值时的截面高度h； 2在上述 h 值下点 A 的正应力值。 解： 6 40 ) 2 ( 40 2 P PN h d h F h F W M A F z zx A ) 32 ( 20 2 P h dhF （1） 1令0 h A ，0 26 4 2 h hhd h = 3d = 75mm （2） 2由（ 1） 、 （2）式得： 40)
40、75 253752 ( 20 1060 2 3 AMPa 315 图中所示为承受纵向载荷的人骨受力简图，假定实心骨骼 AB z O y (a) 795. 0 526.14 y (b) 习题 3-16 图 A z y y M C z M 10 5 (a) y A B 14.43MPa 16.55MPa O C C z z (d) O y A B C O 12.6mm 14.1mm z 13.73MPa 15.32MPa C z (c) O B 为圆截面。试： 1确定截面 BB 上的应力分布； 2假定骨骼中心部分 （其直径为骨骼外径的一半）由海绵状骨质所组成，且忽略海绵状承受应力的能 力，确定截面
41、BB 上的应力分布； 3确定 1、2 两种情况下，骨骼在截面BB 上最大压应力之比。 解： 1795.0 4 7.26 10445 2 6 1 N 1N A F x MPa 526.14 10 32 7 .26 1061445 9 3 3 1 maxM z z W M MPa 73.13795.0526.14 max MPa 32.15795.0526.14 max MPa 沿 y方向应力分布如图（c）所示，中性轴为zc。 2 4 ) 2 7.26 (7.26( 10445 22 6 2 2 A F xN N ) 4 1 1(7 .26 104454 2 6 06.1 3 4 795. 0MP
42、a 494.15 15 16 526.14 ) 2 1 (1( 4 1 2 max2 z z z z M W M W M MPa 43.1406.1494.15 max Mpan 55.1606.1494.15 max MPa zC为中性轴，沿 y 轴应力分布如图（d） 308.1 32.15 55.16 1 2 ，或926.0 55.16 32.15 2 1 316 正方形截面杆一端固定，另一端自由， 中间部分开有切槽。杆自由端受有平行于杆轴线的纵向 力 FP。若已知 FP =1kN，杆各部分尺寸示于图中。试求杆内横截面上的最大正应力，并指出其作用位置。 解： 66 105010105Am2
43、 69 2 10 12 1 10 6 105 y Wm3 69 2 10 24 1 10 6 510 z Wm3 FNx = 1 kN 51051000 3 yMNm 5. 2105 .21000 3 zMNm n z C ot y ot z P F 习题 3-17 图 习题 3-18 图 A D C B y h P F z K ).( PPz y ).(zy F b (a) z z y y x W M W M A FN max 14010 24 1 5 .2 12 1 5 50 1000 6 MPa 最大正应力作用位置位于中间开有切槽的横截面的左上角点A，如图（ a）所示。 3 17 钢 制
44、 立柱 上 承受纵向 载 荷FP 如 图 所示 。现在A、 B、 D 三 处 测 得 x 方 向 的 正应 变 6 10300)( A x， 6 10900)(B x， 6 10100)(D x。若已知钢的弹性模量E = 200GPa。试求： 1力 FP的大小； 2加力点在 Oyz 坐标中的坐标值。 解： 36 1061060100Am2 69 2 1010010 6 10060 z Wm3 69 2 106010 6 60100 y Wm3 PN FF x yFMz P yFM yP 6 PPPN 10) 601006000 ( zFyFF W M W M A F y y z zx A（1）
45、 6 PPP 10) 601006000 ( zFyFF B （2） 6PPP 10) 601006000 ( zFyFF D（3） E （4） 由（ 1） 、 （4） ，)10300(1020010) 601006000 1 ( 69 P 6PP F zy 即60) 601006000 1 ( P PP F zy （5） 由（ 2） 、 （4） ，180) 601006000 1 ( P P F zy （6） 由（ 3） 、 （4） ，20) 601006000 1 ( P PP F zy （7） 解（ 5） 、 （6） 、 （7） ：2 0m0 2 .0 P zmm 25m025.0 Py
46、mm FP = 240 kN 318 矩形截面柱受力如图所示，试证明： 1当铅垂力FP作用在下面方程所描述的直线上的 任意点时，点A 的正应力等于零： 1 66 PP h y b z 2为了使横截面的所有点上都不产生拉应力，其作 用点必须位于由类似上述方程所描述的直线围成的区域 内（图中虚直线围成的区域）。 解： 1写出 K 点压弯组合变形下的正应力（图a） 。 12 )( 12 )( 3 PP 3 PPP bh yyF hb zzF A F y h y z b z hb F 1212 1 2 P 2 PP （1） 习题 3-19图 C z 2 1 1 2 z 2P F P1 F (c) z
47、y A 12 3 2 B F 1 P F 2 P F 3 P F 3 (d) 将) 2 , 2 ( bh A代入（ 1）式，并使正应力为零，得 FP所作用的直线方程 0 66 1 PP h y b z 整理得：1 66 PP h y b z 2若 FP 作用点确定，令（1）式等于零，得截面 的中性轴方程（图b） ： 0 1212 1 2 P 2 P y h y z b z （2） 中性轴 nn 的截距： P t0 P t0 6 6 z h z y h y （3） 说明中性轴nn，与力 FP作用点位于形心 C 的异 侧，说明 nn 划分为 FP作用下的区域为压应力区，另 一区域是拉应力区（见图b
48、） 。 如果将（ 2）改写为1 1212 P 2 P 2 y h y z b z （4） 并且把中心轴上一点（y, z）固定，即中性轴可绕该 点顺时针转动（从11 转到 22） 由（ 4）式， FP作用必沿直线移动。由（ 3）式， 2 2 直线的截距值大于11 直线的。所以，当中性轴1 1 顺时针转向中性轴22 时， FP作用点 FP1、FP2沿 直线，并绕形心也顺时针转向。 如果中性轴绕A 点从 11 顺时针转动至33（中性轴始终在截 面外周旋转） ，则截面内就不产生拉应力，将A 坐标代入（ 4）式： 1 66 PP h y b z ，即 FP沿该直线移动。从FP1FP2FP3，反之铅垂力
49、FP从 FP1FP2FP3直线移动，截面不产生拉应力，同理过 B、F、D 分别找另三条FP移动的直线。 这四条直线所围区域为截面核心。铅垂 压力在截面核心内作用，则横截面上不会有拉应力。 319 矩形截面悬臂梁受力如图所示，其中力FP的作用线通过截面形心。试： 1已知 FP、b、h、l 和 ，求图中虚线所示截面上点a 的正应力； 2求使点 a 处正应力为零时的角度值。 解：sin Pl FM y ， 6 2 hb Wy cos Pl FM z ， 6 2 bh Wz )sincos( 6 22 P hb hb lF W M W M y y z z a 令0 a ，则 h b tan， h b1 tan 320 矩形截面柱受力如图所示。试： 1已知=