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1、学习 -好资料 更多精品文档 极坐标与参数方程高考题 1. 在直角坐标系xOy中，直线 1: 2Cx，圆 22 2: 121Cxy，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极 轴建立极坐标系. （I ）求 12 ,C C的极坐标方程 . （II ）若直线 3 C的极坐标方程为 R 4 ，设 23 ,C C的交点为,M N，求 2 C MN的面积 . 解 ： （ ） 因 为cos ,sinxy， 1 C的 极 坐 标 方 程 为cos2， 2 C的 极 坐 标 方 程 为 2 2cos4sin40. （）将= 4 代入 2 2cos4 sin40， 得 2 3 240 ， 解得 1=2 2，2= 2， |
2、MN|= 1 2 =2，因为 2 C的半径为 1，则 2 C MN的面积 o1 21 sin 45 2 = 1 2 . 2. 已知曲线 1 94 : 22 yx C，直线 ty tx l 22 2 :（t为参数） （1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程； （2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为 30的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值. 解： (1) 曲线 C的参数方程为 ( 为参数 ). 直线 l 的普通方程为2x+y-6=0. (2) 曲线 C上任意一点P(2cos ,3sin ) 到 l 的距离为d= 1 5 |4cos +3sin -6|, 则|PA|=|5sin(+)-6
3、|,其中 为锐角 , 且 tan = 4 3 . 当 sin( +)=-1 时,|PA| 取得最大值 , 最大值为 11 5 5 . 当 sin( + )=1 时,|PA| 取得最小值 , 最小值为 5 5 . 3. 在直角坐标系xOy 中, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为=2cos 0 2 ，, (1) 求 C的参数方程 ;(2) 设点 D 在 C上,C 在 D 处的切线与直线l:y=3x+2 垂直 , 根据 (1) 中你得到的参数方程, 确定 D的坐标 . 解： (1)C 的普通方程为(x-1) 2+y2=1(0 y 1). 可得 C的参数方程为
4、 : x1 cos siny (0 ). 学习 -好资料 更多精品文档 (2) 设 D(1+cos,sin ). 由(1) 知 C是以 G(1,0) 为圆心 ,1 为半径的上半圆. 因为 C在点 D处的切线与 l 垂直 , 所以直线 GD 与 l 的斜率相同 ,tan =3, = 3 . 故 D的直角坐标为 33 22 （，）. 4. 将圆 x 2+y2=1 上每一点的横坐标保持不变 , 纵坐标变为原来的2 倍, 得曲线 C. (1) 写出 C的参数方程 ; (2) 设直线 l:2x+y-2=0与 C 的交点为P1,P2, 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求过线段P1P2的
5、 中点且与l 垂直的直线的极坐标方程. 解： (1) 设(x1,y1) 为圆上的点 , 经变换为C上点 (x,y),由 22 xy=1 得 x 2+ 2 2 y =1, 即曲线 C的方程为4x 2+2 y=4. 故 C的参数方程为 sin2 cosx y (为参数 ). (2) 由解得或不妨设P1(1,0),P 2(0,2),则线段 P1P2的中点坐标为 1 2 （，1）, 所求直线斜率为k= 1 2 , 于是所求直线方 程为 y-1= 1 2 （x- 1 2 ）, 化为极坐标方程, 并整理得2 cos -4 sin =-3, 即= sin4cos2 3- . 5. 在直角坐标系xOy中，以
6、O为极点， x 轴正半轴为极轴建立坐标系曲线 C的极坐标方程为cos 3 1， M 、N分别为 C与 x 轴， y 轴的交点 (1) 写出 C的直角坐标方程，并求M 、N的极坐标； (2) 设 MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程 解： (1) 由cos 3 1 得 1 2 cos 3 2 sin 1. 从而C的直角坐标方程为 1 2x 3 2 y1，即x3y 2，当 0 时， 2，所以M(2,0) 当 2 时， 23 3 ，所以N 23 3 ， 2 . (2)M点的直角坐标为(2,0) N点的直角坐标为(0 ， 23 3 ) 所以P点的直角坐标为1， 3 3 ， 则P点的极坐标为 23 3
7、 ， 6 ，所以直线OP的极坐标方程为 6 ，( ， ) 6. 在极坐标系下，已知圆O ：cossin和直线 l ： sin( 4 ) 2 2 ， (1) 求圆 O和直线 l 的直角坐标方程；(2) 当(0 ， ) 时，求直线l 与圆 O公共点的一个极坐标 解： (1) 圆O：cos sin ，即 2cos sin ，圆 O的直角坐标方程为x 2 y 2 xy，即x 2 y 2 xy0. 直线l：sin( 4 ) 2 2 ，即sin cos 1，则直线l的直角坐标方程为yx1， 即xy10. 学习 -好资料 更多精品文档 (2) 由 x 2y2 xy0， xy10 得 x0， y1. 故直线l
8、与圆O公共点的一个极坐标为(1 ， 2 ) 7. 在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆 x 5cos ， y 3sin ( 为参数 ) 的右焦点， 且与直线 x42t， y3t (t为参 数) 平行的直线的普通方程 解：由题设知，椭圆的长半轴长a5，短半轴长b 3，从而ca 2 b 2 4，所以右焦点为 (4,0) 将已知直线 的参数方程化为普通方程：x2y20. 故所求直线的斜率为 1 2，因此其方程为 y 1 2( x4)，即x2y40. 8. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为 x3 2 2 t， y5 2 2 t (t为参数 ) 在极坐标系 ( 与直角坐标系xOy 取相同的长度单位
9、，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴) 中，圆C的方程为 25sin . (1) 求圆C的直角坐标方程；(2) 设圆C与直线l交于点A，B. 若点P的坐标为 (3 ，5) ，求 |PA| |PB|. 解： (1) 25sin ，得x 2 y 2 2 5y0，即x 2 ( y5) 25.(4 分) (2) 将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3 2 2 t) 2( 2 2 t) 25，即 t 23 2t4 0. 由于 (32) 2 4420，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以 t1t232， t1t24. 又直线l过点P(3 ，5) ，故由上式及t的几何意义得 |PA| |PB|
10、|t1| |t2| t1t232. 9. 在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为 1 3 2 ( 3 2 xt t yt 为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，C的极坐标方程为2 3sin. (I) 写出C的直角坐标方程；(II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标 . 学习 -好资料 更多精品文档 解： (I) 由2 3sin，得 2 2 3 sin，从而有 22 2 3xyy，所以 2 2 33xy (II)设 13 3, 22 Ptt ，又(0,3)C，则 2 2 213 3312 22 PCttt ， 故当0t时，PC取得最小值，此时 P点的坐标为(3,0).