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1、1 第 04 节数列求和 【考纲解读】 考点考纲内容五年统计分析预测 数列求和 掌握等差数列、 等比数列前 n 项和公式及其应用. 2016 浙江文 17 2015 浙江文 17；, 理 20； 2014 浙江文 19；理 19； 2013 浙江文 19；理 18. 1.高频考向 : 等差数列与等比数 列综合确定基本量，利用“裂项 相消法”“错位相减法”等求和. 2.低频考向 : 简单的等差数列、 等比数列求和 3.特别关注 : （ 1）灵活选用数列求和公式的 形式，关注应用公式的条件； （ 2）熟悉分组求和法、裂项相 消法及错位相减法. 【知识清单】 一数列求和 1. 等差数列的前n和的求和
2、公式： 1 1 ()(1) 22 n n n aan n Snad. 2等比数列前n项和公式 一般地，设等比数列 123 , n a a aa的前n项和是 n S 123n aaaa，当1q时， q qa S n n 1 )1 ( 1 或 1 1 n n aa q S q ；当1q时， 1 naSn（错位相减法）. 3. 数列前n项和 重要公式： （1） 1 n k k123n 2 ) 1(nn （2） 1 (21) n k k1 3521n 2 n （3） 3 1 n k k 2 333 ) 1( 2 1 21nnn （4） 2 1 n k k)12)(1( 6 1 321 2222 nnn
3、n 2 等差数列中， m nmn SSSmnd； 等比数列中， nm m nnmmn SSq SSq S. 对点练习： 1. 【 2017 课标 1，理 4】记 n S为等差数列 n a的前n项和若 45 24aa， 6 48S，则 n a的公差为 A 1 B 2 C4 D 8 【答案】 C 2. 已知 n a为正项等比数列， n S是它的前n项和，若 1 16a， 且 4 a与 7 a的等差中项为 9 8 ， 则 5 S的值 （） A29 B31 C33 D35 【答案】 B 【解析】由题意得 47 9 += 4 aa， 因此 363911 +=() 6482 qqqq舍去负值， 因此 5
4、5 1 16(1) 2 31. 1 1 2 S 选 B. 【考点深度剖析】 数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求 和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合. 考 查等差数列的求和多于等比数列的求和，往往在此基础上考查“裂项相消法”、 “错位相减法”. 【重点难点突破】 考点 1 数列求和 【1-1 】 已知 n a是递增的等差数列， 2 a， 4 a是方程 2 560xx的根，则数列 2 n n a 的前n项和 . 【答案】 1 4 2 2 n n n S 3 【1-2 】 【2017 届浙江
5、嘉兴市高三上基础测试】已知数列 n a的前n项和为 n S，若 1 1a，且 1 2 nn Sta， 其中 * nN （1）求实数t的值和数列 n a的通项公式； （2）若数列 n b满足 32 log nn ba，求数列 1 1 nn b b 的前n项和 n T 【答案】（1） 2 3 t， 1 3 n n a； （ 2） 1212 1 1 2 1 n n n 【解析】 试题分析：（1）由 nn aS可得 3 2 t，2n时由 1nnn aSS得数列 n a为首项为1，公比为3的等比 数列，可得通项公式；（2）化简21 n bn，则 1 1111 () 2 2121 nn b bnn ，用裂
6、项相消求和，可得前 项和 试题解析：（1）当1n时， 2 1 111 taSa，得 2 3 t，从而 2 1 2 3 nn aS, 则2n时， 2 1 2 3 2 1 2 3 11nnnnn aaSSa得 1 3 nn aa 又0 1 a得3 1n n a a ，故数列 n a为等比数列，公比为3，首项为 1 1 3 n n a （2）由（ 1）得 12 2 3 n n a得12nbn 12 1 12 1 2 1 1212 11 1 nnnnbb nn 得 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 2 1 nn Tn 1212 1 1 2 1 n n n 4 【领悟技法】 1公式法：如果
7、一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等 差、等比数列的前n项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等） 也可以直接使用公式求和. 2倒序相加法：类似于等差数列的前n项和的公式的推导方法，如果一个数列 n a的前n项中首末两端 等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数 列的前n项和公式即是用此法推导的 3错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个 数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的 若 nnn
8、abc，其中 n b是等差数列， n c是公比为q等比数列，令 1 12211nnnnn Sbcb cbcb c，则 n qS 122311nnnn bcb cbcb c两式错位相减并整理即得. 4裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些 正负项相互抵消，于是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法. 适用于类似 1nn c a a （其中 n a是各项不为零的等差数列，c为常数） 的数列、部分无理数列等. 用裂项相消法求和， 需要掌握一些常见的裂项方法： （1） 1111 n nkknnk ，特别地当1k时， 111 11n
9、 nnn ； （2） 11 nkn knkn ，特别地当1k时， 1 1 1 nn nn ； （3） 2 2111 1 212122121 n n a nnnn （4） 1111 122112 n a n nnn nnn （5）)() 11 ( 11 qp qppqpq 5分组转化求和法：有一类数列 nn ab，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列, nn ab是 等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的 特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可. 6并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和形如1 n n afn类