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1、1 2.7 形形色色的切线问题 一、考情分析 用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一, 也是高考考查的热点, 考查的形式不一, 可以是客观题 也可以是解答题, 内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率, 曲线切线方程的确定, 两曲线的公切线问题及满足 条件的切线条数问题 二、经验分享 (1) 函数yf(x) 在点x0处的导数的几何意义, 就是曲线yf(x) 在点P(x0,f(x0) 处的切线的斜率k, 即k f(x0) (2) 已知切点A(x0,f(x0) 求斜率k, 即求该点处的导数值：kf(x0) (2) 已知斜率k, 求切点A(x1,f(x1), 即解方程f(x1) k. (3) 若求过点
2、P(x0,y0) 的切线方程 , 可设切点为 (x1,y1), 由 11 01101 yfx yyfxxx 求解即可 (4) 函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况, 由切线的倾斜程度可 以判断出函数图象升降的快慢 (5) 求切线方程的方法：一点一方向可确定一条直线, 在求切线时可考虑先求出切线的斜率（切点导数）与 切点 , 在利用点斜式写出直线方 (6) 在处理切线问题时要注意审清所给已知点是否为切点. “在某点处的切线”意味着该点即为切点, 而 “过某点的切线”则意味着该点有可能是切点, 有可能不是切点. 如果该点恰好在曲线上那就需要进行分类 讨论了 . (
3、7) 在解析几何中也学习了求切线的方法, 即先设出切线方程, 再与二次方程联立利用0求出参数值进而 解出切线方程. 解析几何中的曲线与函数同在坐标系下, 所以两个方法可以互通. 若某函数的图像为圆锥曲 线, 二次曲线的一部分, 则在求切线时可用解析的方法求解, 例如： 2 1yx（图像为圆的一部分）在 13 , 22 处的切线方程, 则可考虑利用圆的切线的求法进行解决. 若圆锥曲线可用函数解析式表示,像焦点 在y轴的抛物线 , 可看作y关于x的函数 , 则在求切线时可利用导数进行快速求解（此方法也为解析几何中 处理焦点在y轴的抛物线切线问题的重要方法） 三、知识拓展 1. 求曲线切线时, 要分
4、清在点P处的切线与过P点的切线的区别, 前者只有一条 , 而后者包括了前者 2. 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个, 这和研究直线与二次曲线相切时有差别 3. 当曲线yf(x) 在点 (x0,f(x0) 处的切线垂直于x轴时 , 函数在该点处的导数不存在, 切线方程是xx0； 2 四、题型分析 ( 一) 曲线切线的倾斜角与斜率 【例 1】已知函数f(x) 1 3x 3 2x 23x( xR)的图象为曲线C. (1) 求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围； (2) 若在曲线C上存在两条相互垂直的切线, 求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围 【分析】 (1) 求出f(x) 的范
5、围就是切线斜率的范围；(2) 由1k0 或k1, 得1x 24x30 或 x 2 4x31, 解不等式求范围 【点评】求切线的倾斜角与斜率是导数几何意义应用的较简单问题, 一般是先求导, 把导函数看作切线斜率. 【小试牛刀】 【2018 届福建省福州高三上学期期中】已知函数 2 2,0 ,0 xxa x fx lnx x , 其中a是实数 . 设 11 ,A xfx, 22 ,B xfx为该函数图象上的两点, 且 12 xx. （1）若函数fx的图象在点,A B处的切线互相垂直, 且 2 0x, 求 21 xx的最小值； （2）若函数fx的图象在点,A B处的切线重合 , 求a的取值范围 .
6、【答案】（1）1； （ 2）ln21, 【解析】 (1) 由导数的几何意义可知, 点A处的切线斜率为 1 fx, 点B处的切线斜率为 2 fx, 故当 A处 的切线与B处的切线垂直时, 12 1fxfx, 当0x时, 有22fxx, 所以 12 0xx, 12 22221xx, 所以 12 22022xx, 所以 212112 1 222222221 2 xxxxxx, 当且仅当 21 22221xx, 即 3 1 3 2 x, 2 1 2 x时, 等号成立 , 所以 21 xx的最小值为1. （2）当 12 0xx或 12 0xx时, 12 fxfx, 所以 12 0xx, 当 1 0x时,
7、 函数fx图象在点 A处的切线方程为 2 1111 222yxxaxxx, 即 2 11 22yxxxa, 当 2 0x时 ,函数 fx图象在点B处的切线方程为 22 2 1 lnyxxx x , 即 2 2 1 ln1yxx x , 两处切线重合的充要条件 是 1 2 2 21 1 22 1 x x lnxxa , 由 1 2 1 22x x 及 12 0xx, 得 1 10x, 22 1211 ln1ln 221axxxx, 记 2 ln 221( 10)h xxxx, 则 1 20 1 hxx x , 所以h x在1,0单调递减 , 0ln21h, x趋近于1时, h x趋近于 , 所以
8、ln21,h x, 所以a的取值范围是ln21,. ( 二 ) 求曲线的切线方程 【例 2】已知函数f(x) x 34x2 5x4. (1) 求曲线f(x) 在点 (2,f(2) 处的切线方程； (2) 求经过点A(2, 2) 的曲线f(x) 的切线方程 【分析】 (1) 切点已知时求切线方程, 求出2kf, 用点斜式写出方程；(2) 题目并没有说明A是否为切 点, 所以要分A是否为切点进行分类讨论. 当A是切点时 , 易于求出切线方程, 当A不是切点时 , 切点未知 , 从 而先设再求 , 设切点 00 ,xy, 切线斜率为k,三个未知量需用三个条件求解： 00 yfx, 0 kfx, 0 0 A A yy k xx 【点评】注意在点A 处的切线与过点A的切线的区别 , 前者 A 是切点 , 切线只有1 条, 或者 A 可能是切点 , 也