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1、湖北省部分重点中学2017-2018 学年度上学期期中联考 高一数学试卷 一、选择题：本大题共12 个小题 , 每小题 5 分, 共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的. 1. 设全集，则图中阴影部分所表示的集合为（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】图中阴影部分所表示的集合为，全集，所 以，故选 C. 2. 下列四组函数中，表示同一函数的是（） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】 D 【解析】在选项中，前者的属于非负数，后者的，两个函数的值域不同；在选项中， 前者的定义域为，后者为或，定义域不同；在选项中，两函数定义域不相同； 在选项
2、中，定义域是的定义域为，定义域不相同，值域、 对 应法则都相同，所以是同一函数，故选D. 3. 函数的定义域为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】要使函数有意义，则， 则， 故函数的定义域是， 故选 B. 4. 下列函数中为偶函数且在上单调递减的函数是（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】项，定义域为，不是偶函数，故项错误；项，定义域为 ，是偶函数，由反比例函数性质可得， 在上单调递减，故项正确；项，在递增，故项错误；项， 原函数是奇函数，故错误，故选B. 5. 函数的单调递增区间是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】函数的定义域为，设，根据复合函
3、数的 性质可得函数的单调增区间即的单调减区间，的单调减区间为，函数 的单调递增区间是，故选 A. 【方法点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题. 复合函数的单 调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要 注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正 确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减） . 6. 已知函数，则函数的值域为（） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】设，时，时， 的值域为，故选 B. 7. 已知，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 【答案】 C
4、 【解析】 设，则不等式等价为，作出的图象，如图，由图象可 知时，即时，若，由得，解得， 若，由，得，解得，综上，即不等式的解集为 ，故选 C. 8. 一水池有两个进水口和一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示，某天0 点 到 8 点该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3 个论断：0 点到 4 点只进水不出水；4点 到 6 点不进水只出水；6点到 8 点不进水也不出水，其中一定正确的是（） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】由甲、乙两图可得进水速度为，出水速度为，结合丙图中直线的斜率可知，只进水 不出水时，蓄水量增加的速度是，故正确；不进水只出水时，蓄水量减少的速度是，故
5、不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少的速度是，故不正确，故选D. 9. 若在上为减函数，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】为上的减函数，时，递减， 即，时，递减，即， 且， 联立解得，故选 C. 【方法点晴】本题主要考查分段函数的解析式及单调性，属于中档题. 分段函数的单调性是分 段函数性质中的难点，也是高考命题热点，要正确解答这种题型，必须熟悉各段函数本身的 性质，在此基础上，不但要求各段函数的单调性一致，最主要的也是最容易遗忘的是，要使 分界点处两函数的单调性与整体保持一致. 10. 若， 定义在上的奇函数满足：对任意的且 都有，则的大小顺序为（） A
6、. B. C. D. 【答案】 B 【解析】对任意且都有，在上递减， 又是 奇函数，在上递减，由对数函数性质得，由指数函数性质可得 ， 又，故选 B. 11. 设集合，从到建立的映射中，其中为函数值域的映射个数为 （） A. 9 个 B. 8个 C. 7个 D. 6个 【答案】 D 12. 已知定义在上的函数在上是减函数，若是奇函数，且，则 不等式的解集是（） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由是把函数向右平移个单位得到的，所以函数的图象关于对称，如 图，且，结合函数的图象可知，当 或时，综上所述，的解集 是，故选 A. 【方法点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用以
7、及函数的图象的变换，属于 难题 . 将奇偶性与单调性综合考查是，一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给 区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性( 偶函数在对称区间上单调性 相反，奇函数在对称区间单调性相同) ，然后再根据单调性列不等式求解. 二、填空题（每题5 分，满分20 分，将答案填在答题纸上） 13. 已知幂函数的图像过点，则的值为 _. 【答案】 【解析】由题意令，由于图象过点，得， ，故答案为. 14. 设，那么的解析式_，定义域为 _. 【答案】 (1). (2). 【解析】，令， ，故答案为（1）， （2）. 15. 设函数，若，则_. 【答案】 3
8、【解析】令，则， 是奇函数，即 ，故答案为. 16. 若函数在上为减函数，则实数的取值集合是_. 【答案】 【解析】显然，求导函数可得：函数在区间上是减函 数，在区间上恒成立，或 实数 的取值范围是，故答案为. . 三、解答题（本大题共6 小题，共70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 17. 求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）（2） 【解析】 试题分析：（1）直接利用指数幂的运算法则求解，化简过程中注意避免计算错误；（2） 直接利用对数运算法则，化简过程中注意运用换底公式. 试题解析：（1）原式 = （2）原式 = 18. 已知函数的定义域为集合，关于的不
9、等式的解集 为集合. （1）求集合和集合； （2）若，求实数的取值范围 . 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】试题分析： （1）利用一元二次不等式的解法以及含参数的不等式的解法解不等式即 可分别求出集合； （2）等价于，利用（ 1）的结论根据的包含关系，分 类讨论，分别得到关于的不等式，解出即可得结果. 试题解析：（1）若有意义，则 所以的定义域； 的解集为集合 当时，集合 当时，集合 当时，集合； （2）因为所以由(1) 当时，即 当时，即 当时，集合 综上，实数的取值范围是. 【方法点睛】本题主要考查函数的定义域、一元二次不等式的解法、集合的子集以及分类讨 论思想 . 分类讨论思想解决
10、高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思 想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度. 运用这种方法 的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使 问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中. 19. 设函数. （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围 . 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析： （1）等价于方程无解，根据判别式小于零即 可得结果；（2）等价于时，恒成立，分离参数可得 ，求出的最小值，从而可得结果. 试题解析： (1) 因为方程无解，所以的判别式或 有两个
11、相等的实根为，即或 所以实数的取值范围为 (2) 由题意，即，令 当时， 所以实数的取值范围为. 20. 已知函数（且）为奇函数 . （1）求 的值； （2）求函数的值域； （3）判断的单调性并证明. 【答案】（1） 2（2）（3）详见解析 【解析】试题分析： （1）利用，求得，验证此时为奇函数即可； （2） 化简，利用函数单调性及即可得结果； （3）任取 , 作差，化简分解因式可得，利用指数函数的 性质可得，从而可得结果. 试题解析： (1) 因为的定义域为 所以， 当时，可得则为奇函数，所以 (2) 因为又 所以的值域为； （3）为上的增函数 . 证明 : 对任意的, 因为 所以, 所以为
12、上的增函数 . 【方法点睛】本题主要考查函数的值域、奇偶性以及函数的单调性，属于中档题. 利用定义法 判断函数的单调性的一般步骤是：（ 1）在已知区间上任取； （2）作差； （3）判断的符号，可得在已知区间上是增函数，可 得在已知区间上是减函数. 21. 设函数. （1）求函数的定义域； （2）若对任意实数，关于的方程总有解，求实数的取值范围 . 【答案】（1）详见解析（2） 【解析】试题分析： （1）对 ，分三种情况讨论，分别利用一元二次不等式的解法，求解不等 式即可得结果； （2）任意实数方程总有解 , 等价于函数 的值域为，的值域为，利用判别式非负，解不等式即可 的结果 . 试题解析：
13、(1) 由有意义 当时,的定义域为 当时,的定义域为 当时,的定义域为 (2) 对任意实数方程总有解 , 等价于函数的值域为则 的值域为，则至少有一解 ,，实数的取值范 围 22. 设函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）求函数在上的最大值的解析式 . 【答案】（1）为非奇非偶函数（2） 【解析】试题分析： （1） 当时, 可得， 可得为奇函数， 当时, 由 且，可得为非奇非偶函数； （2）根据二次函数的对称轴与区间之间的关系，对 分三种情况讨论，分别结合函数单调性可得函数在上的最大值，从而可得的解析 式. 试题解析： (1) 当时, 所以为奇函数 ; 当时, , 则 所以为非奇非偶函数; (2)， 当时,在上是单调递增函数, 当时, 在上是单调递增函数, 在上是单调递减函数. 其中 当时, 当时, 当时,在上是单调递增函数, 在上是单调递减函数. 当时,在上是单调递增函数, 所以函数在上的最大值的解析式