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1、直线与椭圆的综合问题 考点一弦中点问题 典例 (2018 南宁摸底联考)已知椭圆 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的一条弦所在的直线方程是 xy 50，弦的中点坐标是M(4,1)，则椭圆的离心率是() A. 1 2 B. 2 2 C. 3 2 D. 5 5 解析 设直线 xy5 0 与椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21 相交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB 的中点M(4,1)，所以x1 x2 8， y1 y2 2.易知直线AB 的斜率k y2y1 x2x1 1.由 x 2 1 a 2 y 2 1 b 21， x 2 2 a 2 y 2 2 b 21， 两式相
2、减得， x1 x2x1x2 a 2 y1y2y1y2 b 2 0， 所以 y1y2 x1x2 b 2 a 2 x1x2 y1y2，所以 b 2 a 21 4，于是椭圆的离心率 e c a 1 b 2 a 2 3 2 ，故选 C. 答案 C 解题技法 1用“ 点差法 ”求解弦中点问题的步骤 2解有关弦中点问题的注意点 对于弦中点问题， 常用“根与系数的关系”或“点差法”求解在用根与系数的关系时， 要注意前提条件 0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交 题组训练 1已知椭圆： x 2 9 y21，过点 P 1 2， 1 2 的直线与椭圆相交于A，B 两点，且弦AB 被点 P 平分，则直
3、线AB 的方程为 () A9xy50 B9xy40 Cx9y50 Dx 9y4 0 解析：选 C设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有 x 2 1 9 y2 11， x 2 2 9 y2 21， 两式作差得 x2 x1x2x1 9 (y2y1)(y2y1)0，因为x2x11，y2y11， y2y1 x2x1k AB，代入后求得 kAB 1 9，所以 弦所在的直线方程为y 1 2 1 9 x 1 2 ，即 x9y50. 2焦点为F(0,52)，并截直线y2x1 所得弦的中点的横坐标是 2 7的椭圆的标准方程 为_ 解析：设所求的椭圆方程为 y 2 a 2 x 2 b 21(ab 0)， 直
4、线被椭圆所截弦的端点为 A(x1， y1)， B(x2，y2) 由题意，可得弦AB 的中点坐标为 x1x2 2 ， y1y2 2 ，且 x1x2 2 2 7， y1 y2 2 3 7. 将 A，B 两点坐标代入椭圆方程中，得 y 2 1 a 2 x 2 1 b 21， y 2 2 a 2 x 2 2 b 21. 两式相减并化简，得 a 2 b 2 y1y2 x1x2 y1 y2 x1 x2 2 6 7 4 7 3， 所以 a23b2，又 c2a2 b2 50，所以 a2 75，b225， 故所求椭圆的标准方程为 y 2 75 x 2 251. 答案： y 2 75 x 2 25 1 考点二弦长
5、问题 典例 (2018 北京高考节选)已知椭圆M： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的离心率为 6 3 ，焦距为 22.斜率为 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不同的交点A，B. (1)求椭圆 M 的方程； (2)若 k1，求 |AB|的最大值 解(1)由题意得 a 2b2c2， c a 6 3 ， 2c22， 解得 a3，b1. 所以椭圆 M 的方程为 x 2 3 y 21. (2)设直线 l 的方程为yxm，A(x1， y1)，B(x2，y2) 由 yxm， x 2 3 y21， 得 4x 26mx3m230， 所以 x1x2 3m 2 ，x1x23m 23 4 . 所以 |A
6、B|x2x1 2 y 2y1 2 2 x2x1 2 2 x1x2 24x 1x2 12 3m 2 2 . 当 m0，即直线 l 过原点时， |AB|最大，最大值为6. 解题技法 弦长的求解方法 (1)当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解 (2)当直线的斜率存在时，设直线与椭圆的交点坐标为A(x1， y1)，B(x2，y2)， 则|AB|1k2 x1x2 2 4x 1x21 1 k 2 y1y2 24y 1y2(k 为直线斜率 ) 提醒 利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略 判别式 题组训练 1已知椭圆 x 2 2 y21 与直线 yxm 交于
7、A，B 两点，且 |AB| 42 3 ，则实数m 的值 为 () A 1B 1 2 C.2 D 2 解析： 选 A由 x 2 2 y21， yxm 消去 y 并整理， 得 3x2 4mx2m2 20. 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则 x1x2 4m 3 ，x1x2 2m 2 2 3 . 由题意，得 |AB|2 x1x2 28x 1x2 4 3 3m 242 3 ， 解得 m 1. 2椭圆 E： x 2 a 2 y 2 b 21(a b0)的左焦点为 F1，右焦点为 F2，离心率e 1 2，过 F1 的直 线交椭圆于A，B 两点，且 ABF2的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方
8、程； (2)若直线 AB 的斜率为3，求 ABF2的面积 解： (1)由题意知， 4a8，所以 a2， 又 e 1 2，所以 c a 1 2，c1， 所以 b22213， 所以椭圆 E 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线 AB 的方程为y3(x1)， 由 y3 x 1 ， x 2 4 y 2 3 1， 得 5x 28x0， 解得 x10，x2 8 5， 所以 y13，y2 33 5 . 所以 SABF2 c |y1y2|1 3 3 3 5 8 3 5 . 考点三椭圆与向量的综合问题 典例 (2019 长春质检)已知椭圆C 的两个焦点为F1( 1,0)， F2(1,0) ，且经
9、过点 E3， 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)过 F1的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点 (点 A 位于 x 轴上方 )，若 AF1 2F 1B ，求直线 l 的斜率 k 的值 解(1)设椭圆 C 的方程为 x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)， 由 2a|EF1|EF2|4， a 2 b2 c2， c1， 解得 a2， c1， b3， 所以椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)由题意得直线l 的方程为yk(x1)(k0)， 联立 yk x1 ， x 2 4 y 2 3 1， 整理得 3 k 24 y2 6 k y90， 则 144 k 2144
10、 0， 设 A(x1，y1)， B(x2，y2)， 则 y1y2 6k 34k 2，y1y2 9k 2 34k 2， 又 AF1 2F 1B ，所以 y 1 2y2， 所以 y1y2 2(y1y2)2， 则 34k 28，解得 k5 2 ， 又 k0，所以 k 5 2 . 解题技法 解决椭圆中与向量有关问题的方法 (1)将向量条件用坐标表示，再利用函数、方程知识建立数量关系 (2)利用向量关系转化成相关的等量关系 (3)利用向量运算的几何意义转化成图形中位置关系解题 题组训练 1 已知 F1， F2为椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的两个焦点， B为椭圆短轴的一个端点， BF1
11、 BF2 1 4F 1F2 2，则椭圆的离心率的取值范围为 () A. 0， 1 2 B. 0， 2 2 C. 0， 3 3 D. 1 2，1 解析： 选 C根据题意不妨设B(0，b)，F1(c,0)，F2(c,0)，因为 BF1 BF2 1 4F 1F2 2，BF 1 (c，b)，BF2 (c，b)，|F1F2|24c2，所以 b22c2， 又因为 b2 a2 c2， 所以 a23c2， 所以 0 c a 3 3 . 2 已知椭圆D： x 2 a 2 y 2 b 2 1(ab0)的右焦点为F， A 为短轴的一个端点， 且|OA| |OF|， AOF 的面积为1(其中 O 为坐标原点 ) (1
12、)求椭圆 D 的标准方程； (2)过椭圆 D 长轴左端点C 作直线 l 与直线 x a交于点 M， 直线 l 与椭圆 D 的另一交点 为 P，求 OM OP 的值 解： (1)因为 |OA|OF|，所以 bc， 又 AOF 的面积为1，所以 1 2bc1，解得 bc 2， 所以 a2b2c24， 所以椭圆 D 的标准方程为 x 2 4 y 2 2 1. (2)由题意可知直线MC 的斜率存在，设其方程为yk(x2)， 代入 x 2 4 y 2 2 1，得 (12k2)x28k2x8k2 40， 所以 P 4k 22 2k 21， 4k 2k 21 .又 M(2,4k)， 所以 OM OP(2,4
13、k) 4k 22 2k 21， 4k 2k 214. 课时跟踪检测 A 级 1(2019 长春二检 )椭圆 4x 29y2144 内有一点 P(3,2)，则以 P 为中点的弦所在直线的 斜率为 () A 2 3 B 3 2 C 4 9 D 9 4 解析： 选 A设以 P 为中点的弦所在的直线与椭圆交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，斜率为 k，则 4x 2 19y 2 1 144,4x 2 29y 2 2144，两式相减得 4(x1 x2)(x1x2)9(y1y2)(y1y2)0，又 x1x26，y1y24， y1y2 x1x2k，代入解得 k 2 3. 2已知直线y x1 与椭圆 x
14、2 a 2 y 2 b 21(ab 0)相交于 A，B 两点，若椭圆的离心率 为 2 2 ，焦距为2，则线段AB 的长是 () A. 2 2 3 B.4 2 3 C.2 D2 解析： 选 B由条件知c1，e c a 2 2 ，所以 a2，b1，椭圆方程为 x 2 2 y21， 联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)， 4 3， 1 3 ，所以 |AB| 42 3 . 3斜率为1 的直线 l 与椭圆 x 2 4 y21 相交于 A，B 两点，则 |AB|的最大值为 () A2 B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 解析： 选 C设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(
15、x2，y2)，直线 l 的方程为 yxt， 由 x 24y24， yx t 消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x2 8 5t，x1x2 4 t 21 5 . |AB|1k2|x1 x2| 1k 2 x 1x2 24x 1x2 28 5t 244 t 21 5 4 2 5 5t 2， 当 t0 时， |AB|max 4 10 5 . 4(2019 石家庄质检 )倾斜角为 4的直线经过椭圆 x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的右焦点 F，与椭 圆交于 A，B 两点，且AF 2 FB ，则该椭圆的离心率为() A. 3 2 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 3 解析：
16、选 B由题可知，直线的方程为yxc，与椭圆方程联立 x 2 a 2 y 2 b 21， yxc， 得(b2 a2)y22b2cy b 40， 由于直线过椭圆的右焦点， 故必与椭圆有交点， 则 0.设 A(x1， y1)， B(x2，y2)，则 y1 y2 2b2c a 2b2， y1y2 b4 a 2b2， 又 AF 2 FB ， (c x 1，y1)2(x2c，y2)， y12y2，可得 y2 2b2c a 2b2， 2y2 2 b 4 a 2b2. 1 2 4c 2 a 2 b2， e 2 3 ，故选 B. 5已知点P 是椭圆 x 2 16 y 2 8 1 上的动点， F1，F2分别是椭圆
17、的左、右焦点，O 是坐标 原点，若M 是 F1PF2的平分线上一点，且F1M MP 0，则 |OM |的取值范围是() A0,3)B(0,22) C22，3) D(0,4 解析： 选 B如图，延长F1M 交 PF2的延长线于点G. F1M MP 0， F1M MP . 又 MP 为 F1PF2的平分线， |PF1|PG|，且 M 为 F1G 的中点 O 为 F1F2中点， OM 綊 1 2F 2G. |F2G|PF2|PG|PF1|PF2|， |OM | 1 2|2a2|PF 2|4 |PF2|. 422|PF2|4 或 4|PF2|42 2， |OM |(0,22) 6已知F1( 1,0)，
18、F2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆C 于 A， B 两点，且 |AB|3，则椭圆C 的标准方程为 _ 解析： 由题意知椭圆C 的焦点在x 轴上， 且 c1，可设椭圆C 的方程为 x 2 a 2 y 2 a 211(a 1)，由 |AB|3，知点 1， 3 2 在椭圆上，代入椭圆方程得4a417a240，所以a24 或 a 21 4(舍去 )故椭圆 C 的标准方程为 x 2 4 y 2 3 1. 答案： x 2 4 y 2 3 1 7已知焦点在x 轴上的椭圆C： x 2 a 2 y 2 1(a0)，过右焦点作垂直于 x 轴的直线交椭 圆于 A，B 两点，且 |
19、AB|1，则该椭圆的离心率为_ 解析： 因为椭圆 x 2 a 2y 21(a0)的焦点在 x 轴上，所以ca21，又过右焦点且垂直 于 x 轴的直线为xc，将其代入椭圆方程中，得 c 2 a 2y21，则 y1 c 2 a 2，又 |AB| 1， 所以 21 c 2 a 21，得 c 2 a 2 3 4，所以该椭圆的离心率 e c a 3 2 . 答案： 3 2 8已知 P(1,1)为椭圆 x 2 4 y 2 2 1 内一定点，经过P 引一条弦，使此弦被P 点平分，则此 弦所在的直线方程为_ 解析： 易知此弦所在直线的斜率存在，所以设斜率为k， 弦的端点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，
20、则 x 2 1 4 y 2 1 2 1， x 2 2 4 y 2 2 2 1， 得 x1 x2x1x2 4 y1y2y1y2 2 0， x1x22， y1 y2 2， x1x2 2 y1y20， k y1y2 x1x2 1 2. 此弦所在的直线方程为y1 1 2(x 1)， 即 x2y3 0. 答案： x2y30 9 (2019 湖北武汉部分学校调研)设 O 为坐标原点， 动点 M 在椭圆 C： x 2 a 2y 21(a1， aR)上，过 O 的直线交椭圆C 于 A，B 两点， F 为椭圆 C 的左焦点 (1)若 FAB 的面积的最大值为1，求 a 的值； (2)若直线 MA，MB 的斜率乘
21、积等于 1 3，求椭圆 C 的离心率 解： (1)因为 SF AB 1 2|OF| |yAyB|OF|a 211，所以 a 2. (2)由题意可设A(x0，y0)，B(x0， y0)，M(x，y)， 则 x 2 a 2y 21，x 2 0 a 2y 2 01， kMA kMB yy0 xx0 yy0 xx0 y 2y2 0 x 2x2 0 1 x 2 a 2 1 x 2 0 a 2 x 2x2 0 1 a 2x 2x2 0 x 2x2 0 1 a 2 1 3， 所以 a23，所以 a3，所以 ca2b22， 所以椭圆 C 的离心率 e c a 2 3 6 3 . 10(2019 成都一诊 )已
22、知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(a b0)的右焦点为F(3，0)，长半轴与 短半轴的比值为2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设经过点A(1,0)的直线 l 与椭圆 C 相交于不同的两点M， N.若点 B(0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程 解： (1)由题可知c3， a b2，a 2b2c2， a2，b1. 椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 21. (2)易知当直线l 的斜率为 0 或直线 l 的斜率不存在时，不合题意 当直线 l 的斜率存在且不为0 时，设直线l 的方程为xmy1， M(x1，y1)， N(x2，y2) 联立 xmy 1， x 24y2
23、4 消去 x，可得 (4m2)y22my30. 16m 2480，y 1y2 2m 4m 2，y1y2 3 4m 2. 点 B 在以 MN 为直径的圆上， BM BN 0. BM BN (my1 1，y11) (my21， y2 1)(m2 1)y1y2(m1)(y1y2) 20， (m21) 3 4m 2(m1) 2m 4m 220， 整理，得 3m22m50，解得 m 1 或 m5 3. 直线 l 的方程为xy10 或 3x5y30. B 级 1已知椭圆C： x 2 a 2 y 2 b 21(ab0)的左、右焦点分别为F1， F2，离心率为 1 2，点 A 在 椭圆 C 上，|AF1| 2
24、，F1AF260 ，过 F2与坐标轴不垂直的直线l 与椭圆 C 交于 P，Q 两 点， N 为线段 PQ 的中点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 M 0，1 8 ，且 MNPQ，求线段MN 所在的直线方程 解： (1)由 e1 2，得 a2c， 易知 |AF1|2，|AF2|2a2， 由余弦定理，得|AF1|2|AF2|22|AF1| |AF2|cos A|F1F2| 2， 即 4(2a2)22 2(2a2)1 2a 2， 解得 a2，则 c1， b2a2c23， 椭圆 C 的方程为 x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线 l 的方程为yk(x1)，P(x1， y1)，Q(x2，
25、y2)， 联立 yk x1 ， x 2 4 y 2 3 1， 整理得 (34k 2)x28k2x 4k2120， 则 x1x2 8k 2 34k 2，y1y2k(x1x2)2k 6k 34k 2， N 4k 2 34k 2， 3k 34k 2 .又 M 0， 1 8 ，则 kMN 1 8 3k 34k 2 0 4k 2 34k 2 24k34k 2 32k 2 . MN PQ， kMN 1 k，得 k 1 2或 3 2， 则 kMN 2 或 kMN 2 3，故直线 MN 的方程为16x8y10 或 16x24y30. 2(2019 唐山五校联考 )在直角坐标系xOy 中，长为21 的线段的两端
26、点C，D 分别 在 x 轴， y 轴上滑动，CP 2 PD .记点 P 的轨迹为曲线E. (1)求曲线 E 的方程； (2)经过点 (0,1)作直线 l 与曲线 E 相交于 A，B 两点， OM OA OB ，当点 M 在曲线 E 上时，求直线l 的方程 解： (1)设 C(m,0)，D(0，n)，P(x，y) 由 CP 2 PD ，得 (xm，y)2(x，n y)， 所以 xm2x， y2 ny ， 得 m21 x， n 21 2 y， 由|CD |21，得 m 2n2( 21) 2， 所以 (21)2x2 21 2 2 y 2 ( 21)2， 整理，得曲线E 的方程为x2 y 2 2 1. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 OM OA OB ，知点 M 的坐标为 (x1x2，y1y2) 易知直线 l 的斜率存在，设直线l 的方程为ykx1，代入曲线E 的方程，得 (k22)x2 2kx10， 则 x1x2 2k k 22， 所以 y1y2k(x1x2) 2 4 k 22. 由点 M 在曲线 E 上，知 (x1x2)2 y1y2 2 2 1， 即 4k 2 k 222 8 k 222 1，解得 k 22，即 k 2， 此时直线 l 的方程为y 2x1.