空间几何体的表面积与体积.pdf

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1、空间几何体的表面积与体积 一、基础知识 1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧2 rl S圆锥侧 rl S圆台侧 ( rr)l 几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和. 圆台、圆柱、圆锥的转化 当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱； 当圆台的上底面半径为零时，得到圆 锥，由此可得： 2空间几何体的表面积与体积公式 名称 几何体 表面积体积 柱体 (棱柱和圆柱 )S表面积S侧2S底VSh 锥体 (棱锥和圆锥 )S表面积S侧S底V 1 3Sh 台体 (棱台和圆台 )S表面积 S侧S上 S下V 1 3(S

2、 上S下 S 上S下)h 球S 4 R 2 V4 3 R 3 二、常用结论 几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， 若球为正方体的外接球，则2R3a； 若球为正方体的内切球，则2Ra； 若球与正方体的各棱相切，则2R2a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b， c，外接球的半径为R，则2R a 2b2c2. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3 1. 考点一空间几何体的表面积 典例 (1)(2018全国卷 )已知圆柱的上、 下底面的中心分别为O1，O2，过直线 O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为() A1

3、22B12 C82 D10 (2)(2019沈阳质检 )某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是() A442 B4 22 C842 D.8 3 解析 (1)设圆柱的轴截面的边长为x， 则 x28，得 x2 2， S圆柱表 2S底S侧2 (2)22 222 12.故选 B. (2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥P-ABCD，如 图所示， 其中 PA底面 ABCD，四边形 ABCD 是正方形， 且 PA2，AB 2， PB22，所以该四棱锥的侧面积S是四个直角三角形的面积和， 即 S2 1 2 221 2 22 2 4 4 2，故选 A. 答案 (1)B(2)A 题组训练 1

4、(2019 武汉部分学校调研)一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为() A28 B2425 C204 5 D2025 解析： 选 B如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为 2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱ABIE-DCMH ，则该几何体的 表面积S(22)5 1 212 2212 5242 5.故选 B. 2 (2018 郑州第二次质量预测)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 () A202 B24(21) C24(22) D20(21) 解析： 选 B由三视图知， 该几何体是由一个棱长为2 的正方体挖去一个底面半径为1、 高为 1 的圆锥后所剩余的部分，所以

5、该几何体的表面积S622 12 1224 (21) ，故选 B. 考点二空间几何体的体积 典例 (1)(2019开封高三定位考试)某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形， 则该几何体的体积为() A4B2 C.4 3 D (2)(2018天津高考 )如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1， 则四棱锥A1-BB1D1D 的体积为 _ 解析 (1)直接法 由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形 的圆心角为 ，由 tan 3 1 3，得 3，故底面面积为 1 2 32 22 3 ，则该 几何体的体积为 2 3 32. (2)法一： 直接法 连接 A1

6、C1交 B1D1于点 E，则 A1EB1D1，A1EBB1，则 A1E平 面 BB1D1D， 所以 A1E 为四棱锥 A1-BB1D1D 的高，且A1E 2 2 ， 矩形 BB1D1D 的长和宽分别为 2，1， 故 VA1-BB1D 1D 1 3(1 2) 2 2 1 3. 法二： 割补法 连接 BD1， 则四棱锥 A1-BB1D1D 分成两个三棱锥 B-A1DD1与 B-A1B1D1， 所以 VA1-BB1D1D VB-A 1DD1VB-A1B1D1 1 3 1 211 1 1 3 1 21 11 1 3. 答案 (1)B(2)1 3 题组训练 1. 等体积法如图所示，已知三棱柱 ABC-A

7、1B1C1的所有棱长均为 1，且 AA1底面 ABC，则三棱锥 B1-ABC1的体积为 () A. 3 12 B. 3 4 C. 6 12 D. 6 4 解析： 选 A三棱锥 B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，三棱锥A-B1BC1的高 为 3 2 ，底面积为 1 2，故其体积为 1 3 1 2 3 2 3 12. 2. 割补法某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 () A13 B14 C15 D16 解析： 选 C所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得 到的几何体， 在长方体中还原该几何体，如图中 ABCD-ABCD 所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两

8、个三棱柱的高为2，底 面是两直角边长分别为3 和 1.5 的直角三角形， 故该几何体的体积V 423 2 1 23 3 2 215，故选 C. 3. 直接法一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积 为() A. 1 3 2 3 B.1 3 2 3 C.1 3 2 6 D1 2 6 解析： 选 C由三视图知，四棱锥是底面边长为1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可 得半球半径为 2 2 ，从而该几何体的体积为 1 31 211 2 4 3 2 2 31 3 2 6 . 考点三与球有关的切、接问题 考法 (一)球与柱体的切、接问题 典例 (2017 江苏高考 )如图，在圆

9、柱O1O2内有一个球 O，该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切记圆柱O1O2的体积为V1，球 O 的体积为V2，则 V1 V2的值是 _ 解析 设球 O 的半径为 R，因为球O 与圆柱 O1O2的上、下底面及母线均相切，所以 圆柱的底面半径为R、高为 2R，所以 V1 V2 R 2 2R 4 3 R 3 3 2. 答案 3 2 考法 (二)球与锥体的切、接问题 典例 (2018 全国卷 )设 A，B，C，D 是同一个半径为4 的球的球面上四点，ABC 为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC 体积的最大值为() A123B18 3 C243 D543 解析 由等边 ABC 的面积为 93

10、，可得 3 4 AB 29 3，所以 AB6，所以等边 ABC 的外接圆的半径为r 3 3 AB23.设球的半径为R，球心到等边ABC 的外接圆圆心的距 离为 d，则 dR2r216122.所以三棱锥D-ABC 高的最大值为246，所以三棱 锥 D-ABC 体积的最大值为 1 39 36183. 答案 B 题组训练 1(2018 福建第一学期高三期末考试)已知圆柱的高为2，底面半径为3，若该圆柱的 两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于() A4B.16 3 C.32 3 D16 解析： 选 D如图，由题意知圆柱的中心O 为这个球的球心， 于是，球的半径rOBOA 2AB2 1

11、2 3 22. 故这个球的表面积S4 r216.故选 D. 2三棱锥 P-ABC 中， ABBC15，AC6，PC平面 ABC，PC2，则该三棱锥的 外接球表面积为_ 解析： 由题可知，ABC 中 AC 边上的高为15 3 2 6，球心 O 在底面 ABC 的投影 即为 ABC 的外心D，设 DADBDCx，所以x232(6x)2，解得x5 6 4 ，所以 R 2 x2 PC 2 275 8 1 83 8 (其中 R 为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S4 R 2 83 2 . 答案： 83 2 课时跟踪检测 1(2019 深圳摸底 )过半径为2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的

12、平面，则所 得截面的面积与球的体积的比值为() A. 9 32 B. 9 16 C.3 8 D. 3 16 解析： 选 A由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为r，则 2 212r2，所以 r 2 3， 所以所得截面的面积与球的体积的比值为 3 4 3 2 3 9 32，故选 A. 2如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为() A4 B8 C16 D20 解析： 选 B由三视图知，此几何体是一个三棱锥，底面为一边长为6，高为 2 的三角 形，三棱锥的高为4，所以体积为V1 3 1 26248.故选 B. 3.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如 下问题：“今有委米依垣内角，

13、下周八尺，高五尺问：积及为米几 何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四 分之一 )，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积和 堆放的米各为多少？”已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺， 圆周率约 为 3，估算出堆放的米约有() A14 斛B22 斛 C36 斛D66 斛 解析： 选 B设米堆的底面半径为r 尺，则 2r8，所以 r 16 ，所以米堆的体积为V 1 4 1 3 r 25 12 16 25320 9 (立方尺 )故堆放的米约有 320 9 1.6222(斛) 4(2018 贵阳摸底考试)某实心几何体是用棱长为1 cm 的正方体无缝粘合而成的

14、，其三 视图如图所示，则该几何体的体积为() A35 cm 3 B40 cm 3 C70 cm 3 D75 cm 3 解析： 选 A结合题中三视图可得， 该几何体是个组合体， 该组合体从下到上依次为长、 宽、高分别为5 cm,5 cm,1 cm 的长方体，长、宽、高分别为3 cm,3 cm,1 cm 的长方体，棱长 为 1 cm 的正方体，故该组合体的体积V55133111135(cm 3)故选 A. 5 (2019 安徽知名示范高中联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 () A1 B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析： 选 C法一： 该几何体的直观图为四棱锥S -ABCD，

15、如图， SD平面 ABCD，且 SD1，四边形ABCD 是平行四边形，且AB DC1，连接 BD，由题意 知 BDDC，BDAB，且 BD 1，所以 S四边形 ABCD1，所以 VS-ABCD1 3S 四边形 ABCD SD 1 3，故选 C. 法二： 由三视图易知该几何体为锥体，所以V 1 3Sh，其中 S 指的是锥体的底面积，即 俯视图中四边形的面积，易知S1，h 指的是锥体的高，从正视图和侧视图易知h1，所 以 V 1 3Sh 1 3，故选 C. 6(2019 重庆调研 )某简单组合体的三视图如图所示，则该组合体的体积为() A. 8 3 3 83 3 B.4 3 3 8 3 3 C.4

16、 3 3 4 3 3 D.8 3 3 4 3 3 解析： 选 B由三视图知， 该组合体是由一个半圆锥与一个三棱锥组合而成的，其中圆 锥的底面半径为2、高为42 222 3，三棱锥的底面是斜边为4、高为 2 的等腰直角三角 形，三棱锥的高为23，所以该组合体的体积V 1 2 1 3 2 22 3 1 3 1 2422 3 43 3 8 3 3 ，故选 B. 7(2019 湖北八校联考)已知一几何体的三视图如图所示，它的侧视图与正视图相同， 则该几何体的表面积为() A1612 B3212 C2412 D3220 解析： 选 A由三视图知， 该几何体是一个正四棱柱与半球的组合体，且正四棱柱的高 为

17、2，底面对角线长为4，球的半径为2，所以该正四棱柱的底面正方形的边长为22，该 几何体的表面积S1 24 2 2 222 22412 16，故选 A. 8 (2019 福州质检 )已知正三棱柱ABC-A1B1C1中， 底面积为 33 4 ， 一个侧面的周长为63， 则正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的表面积为() A4 B8 C16 D32 解析： 选 C如图所示，设底面边长为a， 则底面面积为 3 4 a 23 3 4 ， 所以 a3.又一个侧面的周长为6 3，所以 AA1 2 3.设 E，D 分别为 上、下底面的中心，连接DE，设 DE 的中点为O，则点 O 即为正三棱 柱 ABC-A1

18、B1C1的外接球的球心，连接 OA1，A1E，则 OE 3，A1E3 3 2 2 31.在直角三角形 OEA1中，OA1123 2 2，即外接球的 半径 R2，所以外接球的表面积S4 R216 ，故选 C. 9(2017 天津高考 )已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积 为 18，则这个球的体积为_ 解析： 由正方体的表面积为18，得正方体的棱长为3. 设该正方体外接球的半径为R，则 2R3，R 3 2， 所以这个球的体积为 4 3 R 34 3 27 8 9 2 . 答案： 9 2 10某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为_ 解析： 由题意知该四棱柱为直四棱柱，

19、其高为1，底面为上底长为1，下底长为2，高 为 1 的等腰梯形，所以该四棱柱的体积为V 12 1 2 1 3 2. 答案： 3 2 11一个圆锥的表面积为 ，它的侧面展开图是圆心角为 2 3 的扇形，则该圆锥的高为 _ 解析： 设圆锥底面半径是r，母线长为l，所以 r2 rl ，即 r 2rl 1，根据圆心角 公式 2 3 2 r l ，即 l 3r，所以解得r 1 2，l 3 2，那么高 hl 2r2 2. 答案 ：2 12(2017 全国卷 )已知三棱锥S -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上， SC 是球 O 的 直径若平面SCA平面 SCB，SAAC，SBBC，三棱锥S -ABC 的

20、体积为9，则球 O 的 表面积为 _ 解析： 如图，连接AO，OB， SC为球 O 的直径， 点 O 为 SC的中点， SAAC，SBBC， AOSC，BO SC， 平面 SCA平面 SCB，平面 SCA平面 SCBSC， AO平面 SCB， 设球 O 的半径为R， 则 OAOBR，SC2R. VS -ABCVA-SBC 1 3 SSBCAO 1 3 1 2SCOB AO， 即 91 3 1 22RR R，解得 R3， 球 O 的表面积S4 R24 3236. 答案： 36 13.如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何 体，截面为 ABC， 已知 A1B1B1C12，A

21、1B1C190 ，AA1 4， BB13， CC12，求： (1)该几何体的体积； (2)截面 ABC 的面积 解： (1)过 C 作平行于A1B1C1的截面 A2B2C，交 AA1，BB1分别于点 A2， B2. 由直三棱柱性质及A1B1C1 90 可知B2C平面 ABB2A2，则该几何体的体积 V VA1B1C1-A2B2CVC-ABB2A2 1 2222 1 3 1 2(12)226. (2)在 ABC 中， AB2 2 432 5， BC2 2 322 5， AC2 2 2 4 222 3. 则 SABC1 2 235 2 3 2 6. 14.如图，四边形ABCD 为菱形， G 为 A

22、C 与 BD 的交点， BE 平面 ABCD. (1)证明：平面AEC平面 BED； (2)若 ABC 120 ，AEEC，三棱锥E-ACD 的体积 6 3 ，求该 三棱锥 E-ACD 的侧面积 解： (1)证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以ACBD. 因为 BE平面 ABCD，AC? 平面 ABCD， 所以 BEAC. 因为 BD BEB，BD ? 平面 BED，BE ? 平面 BED， 所以 AC平面 BED . 又 AC? 平面 AEC， 所以平面 AEC平面 BED . (2)设 ABx，在菱形ABCD 中，由 ABC120 ，可得 AGGC 3 2 x，GB GD x 2. 因为 AEEC， 所以在 Rt AEC 中，可得EG 3 2 x. 由 BE平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形， 可得 BE 2 2 x. 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积 V 三棱锥 E-ACD 1 3 1 2AC GD BE 6 24 x 3 6 3 ， 故 x2. 从而可得 AEEC ED6. 所以 EAC 的面积为3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为5. 故三棱锥 E-ACD 的侧面积为32 5.