数字信号处理期末试题及答案.pdf

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1、数字信号处理期末试卷 (含答案 ) 填空题（每题 2 分，共 10 题） 1、 1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是信号，再 进行幅度量化后就是信号。 2、 2、 )()( j eXnxFT ，用 )(nx 求出 )(Re j eX 对应的序列 为。 、序列 )(nx 的 N 点 DFT 是 )(nx 的 Z 变换在的 N 点等间隔采样。 、 )()( 5241 nRxnRx ，只有当循环卷积长度L 时，二者的循环卷 积等于线性卷积。 、用来计算N16 点 DFT，直接计算需要_ 次复乘法，采用基2FFT 算法， 需要 _ 次复乘法，运算效率为_ _ 。 、 FFT 利用

2、来减少运算量。 、数字信号处理的三种基本运算是：。 、 FIR 滤波器的单位取样响应 )(nh 是圆周偶对称的，N=6， 3)3()2( 2)4()1( 5.1)5()0( hh hh hh ，其幅 度特性有什么特性？，相位有何特性？。 、数字滤波网络系统函数为 N K k kz a zH 1 1 1 )( ，该网络中共有条反馈支路。 、用脉冲响应不变法将 )(sH a 转换为 )(ZH ，若 )(sH a 只有单极点 k s ，则系统 )(ZH 稳 定的条件是（取sT1.0） 。 一、选择题（每题 3 分，共 6 题） 1、 1、 ) 63 ( )( n j enx ，该序列是。 A.非周期

3、序列B.周期6 N C.周期 6N D. 周期 2N 2、 2、 序列 )1()(nuanx n ，则 )(ZX 的收敛域为。 A. aZ B. aZ C. aZ D. aZ 3、 3、 对 )70()(nnx 和 )190()(nny 分别作 20 点 DFT，得 )(kX 和 )(kY ， 19, 1,0),()()(kkYkXkF ， 19, 1,0),()(nkFIDFTnf ， n 在范围内时， )(nf 是 )(nx 和 )(ny 的线性卷积。 A. 70n B. 197n C. 1912n D. 190n 4、 4、 )()( 101 nRnx ， )()( 72 nRnx ，用

4、 DFT 计算二者的线性卷积，为使计算量尽可 能的少，应使DFT 的长度 N 满足。 A. 16N B. 16N C. 16N D. 16N 、 已知某线性相位FIR 滤波器的零点Zi , 则下面那些点仍是该滤波器的零点。 A ZI * B 1 / ZI * C 1 / ZiD 0 、 在 IIR 数字滤波器的设计中，用方法只适合于片断常数特性滤波器的设计。 A.脉冲响应不变法B.双线性变换法C.窗函数法D.频率采样法 三、分析问答题（每题5 分，共 2 题） 1、 1、 已知 0 0 0 )( 0 nn nn nx nn ， 其它 Nn nh n 0 0 )( ， )(ny 是 )(nh 和

5、 )(nx 的线 性卷积，讨论关于 )(ny 的各种可能的情况。 2、 2、 加有限窗截断序列引起的截断效应对谱分析的影响主要表现在哪些方面，如何减 弱？ 四、画图题（每题 8 分，共 2 题） 、已知有限序列的长度为8，试画出基2 时域 FFT 的蝶形图，输出为顺序。 、已知滤波器单位取样响应为 其它, 0 50 ,2.0 )( n nh n ,求其直接型结构流图。 五、计算证明题（每题9 分，共 4 题） 1、 1、 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率HzF20 ，信号最高频率 kHzfc2 。 试确定最小记录时间 minp T ，最少采样点数 min N 和最大采样间隔 max T ； 要

6、求谱分辨率增加一倍，确定这时的 minp T 和 min N 。 、设 )()(nxDFTkX , )(nx 是长为 N 的有限长序列。证明 （1） 如果 00(),1()(）则XnNxnx （2）当 N 为偶数时，如果 0 2 (),1()(）则 N XnNxnx 、 FIR 滤波器的频域响应为 )( )()( j g j eHeH ，设 2 1 ,)( N 为 ，N 为 滤波器的长度，则对FIR 滤波器的单位冲击响应h（n）有何要求，并证明你的结论。 、已知模拟滤波器传输函数为 23 5 )( 2 ss sHa ，设 sT5. 0 ， 用双线性变换法将 )(sHa 转换为数字滤波器系统函数

7、 )(zH 。 数字信号处理期末试卷2 二、填空题（每题 2 分，共 10 题） 3、 若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条 件是。 4、 已知2 2 0 2 )( j eX ， )( j eX 的反变换 )(nX 。 、 )3()(nnx ，变换区间8N，则 )(kX 。 、 21121121)( 01 ， ）（nnx ， 02310)( 02 ， ）（nnx ， )( 3 nx 是 )( 1 nx 和 )( 2 nx 的 8 点循环卷积，则 )2( 3 x 。 、用来计算N 16 点 DFT 直接计算需要_ 次复加法，采用基2FFT 算法，需要次

8、复乘法 、基 2DIF-FFT 算法的特点是 、有限脉冲响应系统的基本网络结构有 、线性相位FIR 滤波器的零点分布特点是 、 IIR 系统的系统函数为 )(zH ，分别用直接型，级联型，并联型结构实现， 其中的运算速度最高。 、用双线性变换法设计理想低通数字滤波器，已知理想低通模拟滤波器的截止频率 srad c /)2000(2 ，并设msT4. 0，则数字滤波器的截止频率 c （保 留四位小数） 。 三、选择题（每题 3 分，共 6 题） 5、 以下序列中的周期为5。 A. ) 85 3 cos()(nnx B. ) 85 3 sin()(nnx C. ) 85 2 ( )( nj enx

9、 D. ) 85 2 ( )( nj enx 6、 FIR 系统的系统函数 )(ZH 的特点是。 A.只有极点，没有零点B.只有零点，没有极点C.没有零、极点D. 既 有 零点，也有极点 7、 有限长序列 10)()()(Nnnxnxnx opep ，则 )(nNx 。 A. )()(nxnx opep B. )()(nNxnx opep C. )()(nxnx opep D. )()(nNxnx opep 8、 对 )90()(nnx 和 )190()(nny 分别作20 点DFT ，得 )(kX 和 )(kY ， 19, 1,0),()()(kkYkXkF ， 19, 1,0),()(nk

10、FIDFTnf ， n 在范围内时， )(nf 是 )(nx 和 )(ny 的线性卷积。 A. 90n B. 190n C. 199n D. 1910n 、线性相位FIR 滤波器有种类型 A 1 B 2 C 3 D 4 、利用模拟滤波器设计IIR 数字滤波器时， 为了使系统的因果稳定性不变，在将 )(sHa 转 换为 )(ZH 时应使 s平面的左半平面映射到z 平面的。 A.单位圆内B.单位圆外C.单位圆上D.单位圆与实轴的交点 四、分析问答题（每题5 分，共 2 题） 3、 某线性时不变因果稳定系统单位取样响应为 )(nh （长度为N） ，则该系统的频率特性、 复频域特性、离散频率特性分别怎

11、样表示，三者之间是什么关系？ 4、 用DFT对连续信号进行谱分析时，主要关心哪两个问题以及怎样解决二者的矛盾？ 五、画图题（每题 8 分，共 2 题） 1、 已知系统 )()1( 2 1 )(nxnyny ，画出幅频特性 )( j eH （的范围是20） 。 2、 已知系统 )2( 6 1 )1( 3 1 )( 6 1 )2( 5 1 )1( 15 14 )(nxnxnxnynyny ，用直接 型结构实现。 六、计算证明题（每题9 分，共 4 题） 2、 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率HzF100 ，信号最高频率 kHzfc1 。 试确定最小记录时间 m inpT ，最少采样点数 min N

12、 和最低采样频率 m in f ； 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的值。 3、 设 )(nx 是长度为2N 的有限长实序列， )(kX 为 )(nx 的 2N 点 DFT。试设计用一次N 点 FFT 完成 )(kX 的高效算法。 、 FIR 数字滤波器的单位脉冲响应为 )4(2)3() 1()(2)(nnnnnh （1）写出频率采样型结构中复数乘法器系数的计算公式，采样点数为N5。 （2）该滤波器是否具有线性相位特性？为什么？ 、已知模拟滤波器传输函数为 65 3 )( 2 ss sHa ，设sT5.0， 用脉冲响应不变法（令 )()(nTThnh a ）将 )(sHa 转换为数

13、字滤波器系统函数 )(zH 。 数字信号处理考试试题 考试时间： 120 分钟考试日期：年 月日 班级：序号：姓名：成绩： 一、 （8 分） 求序列 (a) 27,3 ,65 ,34,52jjjjjnh 的共扼对称、共扼反对称部分； (b) 27,3 ,65 ,34,52jjjjjnh 周期共扼对称、周期共扼反对称 部分。 二、 （8 分）系统的输入输出关系为 0,1anxnnxany 判定该系统是否为线性系统、 因果系统、稳定系统和时移不变系统， 并说明理由。 三、 （8 分）求下列 Z变换的反变换 6.02.0 2 zz zz zH ， 2 . 0z 四、 （3 分）一个 FIR 滤波器的

14、系统函数为 4321 5 .18.05. 23 .01zzzzzH 求另一个 4n 时 0nh ，且具有相同幅度响应的因果FIR 滤波器。 五、 （8 分）已知单位脉冲响应长度为9 的类型 3 实系数线性相位 FIR 滤波器具 有零点： 4 1 z ， jz1 2 。 （a） 求其他零点的位置 （b） 求滤波器的传输函数 六、 （8 分）已知 nx （ 10Nn ）为长度为N（N 为偶数）的序列，其DFT 变换为 kX ， （1） 用 kX 表示序列 3 N nxnv 的 DFT变换。 （2） 如果 n nx （ 10Nn ） ，求其 N点 DFT 。 七、 （10分）确定以下数字滤波器的传输

15、函数 )( )( )( zX zY zH 八（10 分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器 2 1 1123 3 3333.01 4 .0 3333.01 24.0 5.01 36.0 14318 18 z zzzzz z zG 九、 （10 分）低通滤波器的技术指标为： 2.0 p ， 3.0 s ， 001.0 sp ， 请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位 FIR 滤波器。 十、 （20 分）用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤 波器，技术指标为： 1.0 s ， 3.0 p ， 10A , 4843.0 十一、 （7

16、 分）信号 ny 包含一个原始信号 nx 和两个回波信号： dd nnxnnxnxny225.05.0 求一个能从 ny 恢复 nx 的可实现的滤波器 附录： 表 1一些常用的窗函数 矩形窗 (rectangular window) 其它0 01 Mn nw 汉宁窗 (Hann window) 其它0 ) 12 2 cos(5 .05.0 MnM M n nw 汉明窗 (Hamming window) 其它0 ) 12 2 cos(46.045.0 MnM M n nw 布莱克曼窗 (Blackman window) 其它0 ) 12 4 cos(08.0) 12 2 cos(5.042.0

17、MnM M n M n nw 表 2一些常用窗函数的特性 Window Main Lobe width MLRelative sidelobe level Asl Minimum stopband attenuation Transition bandwidth Rectangular 4 /(2M+1) 13.3dB 20.9dB 0.92 /M Hann 8 /(2M+1) 31.5dB 43.9dB 3.11 /M Hamming 8 /(2M+1) 42.7dB 54.5dB 3.32 /M Blackman 12 /(2M+1) 58.1dB 75.3dB 5.56 /M c=1 归

18、一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式： NN nnN a asasasas sH 1 2 2 1 1 1 )( 表 3阶数 1 N 5 归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 N a1a2a3a4a5 1 1.0000 2 1.4142 1.0000 3 2.0000 2.0000 1.0000 4 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 5 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 数字信号处理考试答案 总分： 100 分 1、 （8 分）求序列 (a) 27,3 ,65 ,34,52jjjjjnh 的共扼对称、共扼反对称部分。 (b) 27,3 ,

19、65 ,34,52jjjjjnh 周期共扼对称、周期共扼反对称 部分。 解：(a) 52, 34,65,3 ,27 * jjjjjnh 5.15 .4,25.3, 5,25.3, 5.15 .4)(*5.0 * jjjjnhnhnH cs 5 .35.2,5 .0,5.0,5 .35 .2)(*5.0 * jjjjjnhnhnH ca (b) 34,65 ,3 ,27,52 * jjjjjnNh 5.25. 1, 5.24, 5. 24, 5. 25 .1,2)(*5. 0 * jjjjnNhnhnHpcs 5 .05 .5, 5. 31, 5. 31, 5. 05.5, 5)(*5.0 *

20、jjjjjnNhnhnH pca 2、 （8 分）系统的输入输出关系为 0,1anxnnxany 判定该系统是否为线性系统、 因果系统、稳定系统和时移不变系统， 并说明理由。 解：非线性、因果、不稳定、时移变化。 3、 （8 分）求下列 Z变换的反变换 6.02.0 2 zz zz zH ， 2 . 0z 解： 1111 1 6. 01 75.1 2.01 75.2 6. 012. 01 21 6.02. 0 2 zzzz z zz zz zH 16.075.112.075.2nununh nn 4、 （3 分）一个 FIR 滤波器的系统函数为 4321 5 .18.05. 23 .01zzz

21、zzH 求另一个 4n 时 0nh ，且具有相同幅度响应的因果FIR 滤波器。 解： 5.18 .05 .23.0 1234 zzzzzH 5、 （8 分）已知单位脉冲响应长度为9 的类型 3 实系数线性相位 FIR 滤波器具有 零点： 4 1 z ， jz1 2 。 （c） （a）求其他零点的位置 （d） （b）求滤波器的传输函数 解： （a） 4z ， 4 1 z ， jz1 ， jz1 ， jz1 2 1 ， jz1 2 1 ， 1z ， 1z （b） 1111 1111 4 1 1411 2 1 11 2 1 1 111111 zzzjzj zjzjzzzH 6 （8 分）已知 nx

22、（ 10Nn ）为长度为 N（N为偶数）的序列，其DFT变 换为 kX （1）用 kX 表示序列 3 N nxnv 的 DFT变换。 （2）如果 n nx （10Nn） ，求其 N点 DFT 。 解： (1) /63 kXekXWkV Nkjk N (2) k N N k N N n n k N N n nk N n N n nk N W W WWWnxkX 1 1 1 0 1 0 1 0 7、 （10 分）确定以下数字滤波器的传输函数 )( )( )( zX zY zH 解： WVzY XVzU bUVazW WXV 2 2 1 2 XbzbazWbzaz WzXzXWXzU 2121 22

23、2 221 212 X bzaz zbazb X bzaz bzbaz zXzWWXzY 21 21 21 21 222 221 1 221 212 8、 （10 分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器 V W U 2 1 1123 3 3333.01 4 .0 3333.01 24.0 5.01 36.0 14318 18 z zzzzz z zG 9. （10 分）低通滤波器的技术指标为： 2.0p ， 3.0 s ， 001.0sp ， 请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位 FIR 滤波器。 解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、 阻带内有相同的波动

24、幅度。由于滤波器技 术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为 20log(0.001)=-60dB，因此只能采用布莱克曼窗。 1.0 ps 56 1.0 56.556.5 M 其它0 ) 12 4 cos(08.0) 12 2 cos(5.042.0 MnM M n M n nw 25.02/)( psc ， )( )(sin( Mnw Mn Mn MnwMnhnh c dt ，Mn20 10(20 分) 用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波 器，技术指标为： 1.0 s ， 3.0 p ，10A, 4843.0 解： 1.0

25、(0.0 )j eH 1.00 0.1(9 .0 )j eH 3 .0 。 我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波 器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在 z 域进行低通到高通的转换。另一 种方法是在双线性变换前就在s 平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高 通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方 法，更容易计算。 我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为 1.0 s ，通带截止频率为 3 .0 p ， 且 A=1/0.1=10, 9 19 9 .0 1 1 2 = 0.4843 先将数

26、字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且 ) 2 tan( 有： 1584.0)05.0tan() 2 tan( s s 5095.0)15.0tan() 2 tan( p p 用变换 ss?/1 将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 9627.15095.0/1/1 ? pp 3138. 61584.0/1/1 ? ss 所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为 3109.0 ? ? s p k 判别因子 (discrimination parameter)为： 04867.0 1 2

27、1 A k 因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为： 59.2 )/1log( )/1(log 110 k k N 我们取 N=3, 则 7853.0 ? ? ) ? ? ( 22 p c N c p 1509.2 ? ? 1) ? ? ( 22s c N c s A 我们可取1509. 2 ? ? 7853.0 ? s c p ， 如取 5 .2 ?c ，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为： 1) ? /?(2) ? /?(2) ? /?( 1 ) ? ( 23 ccc a sss sH 1?8.0?32.0?064.0 1 1)5 .2/?(2)5.2/?(2)5.2/?( 1 ) ? ( 232

28、3 ssssss sH a 用低通到高通的转换关系ss ?/1 将低通滤波器转换为高通滤波器： 32 3 8 .032.0064.0 )( sss s sHa 最后采用双线性变换 1 1 1 1 z z s 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ) 1 1 () 1 1 (8. 0 1 1 32. 0064.0 ) 1 1 ( )()( 1 1 z z z z z z z z sHzH z z s a 184.2288.3072.2456.0 )1( 123 31 zzz z 11. （7 分）信号 ny 包含一个原始信号 nx 和两个回波信号： dd nnxnnxnxny225

29、.05.0 求一个能从 ny 恢复 nx 的稳定的滤波器 解：因为 X(z) 与 Y(z) 的关系如下： )()25.05 .01()( 2 zXzzzY dd nn 以 yn为输入， xn为输出的系统函数为： dd nn zz zG 2 25.05 .01 1 )( 注意到： )()( dn zFzG ，且 21 25.05 .01 1 )( zz zF F(z)的极点在： )31(25.0jz 它在单位圆内半径为r=0.5 处，所以G(z)的极点在单位圆内 d n r)5.0( 处，所以G(z)是可 实现的。 数字信号处理 1 1(8 分)确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、

30、周期共扼反对称 部分： (a) 27,3,65 ,34, 52jjjjjnh (b) 27,3,65 ,34, 52jjjjjnh 2. (8 分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位 不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。 nxnxny 3. (6 分)确定下列序列的平均功率和能量 3 5 nunx n 4(6 分)已知 xn（10Nn ）为长度为N（N 为偶数）的序列，其DFT 变换为 Xk （1）（1）用 Xk 表示序列 3 N nxnv 的 DFT 变换 （2）（2）如果 n nx （10Nn） ，求其 N 点 DFT。 5. (8 分)

31、确定下列数字滤波器结构的传输函数 )( )( )( zX zY zH Z -1 Z -1 X(z) -k1 a1 a2 Y(z) k2 -k2 6(10 分)以以下形式实现传输函数为 5432151 16807.02005.143.39.45.31)7.01 ()(zzzzzzzH 的 FIR 系统结构。 (1) (1)直接形式 (2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。 7. (10 分)低通滤波器的技术指标为： 01.1(99.0 )j eH 3 .00 01.0( )j eH 35.0 用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR 滤波器。 8(20 分)用双线性变换法设计一个离散时间

32、巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器， 通带内等波纹，且 1 .0(0.0 )j eH1 .00 0 .1(9.0 )j eH 3. 0 。 9.（10 分） ）信号 yn 包含一个原始信号xn和两个回波信号： yn=xn+0.5xn-n d+0.25xn-2nd 求一个能从yn恢复 xn 的可实现滤波器 10 (14 分)一个线性移不变系统的系统函数为 1 *1 1 )( az az zH ， 这里 1a (a)求实现这个系统的差分方程 (b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统） (c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果 G(z)是一

33、个稳定系统，求单位 采样响应g(n)。 附录： 表 1一些常用的窗函数 矩形窗 (rectangular window) 其它0 01 Mn nw 汉宁窗 (Hann window) 其它0 ) 12 2 cos(5 .05.0 MnM M n nw 汉明窗 (Hamming window) 其它0 ) 12 2 cos(46.045.0 MnM M n nw 布莱克曼窗 (Blackman window) 其它0 ) 12 4 cos(08.0) 12 2 cos(5.042.0 MnM M n M n nw 表 2一些常用窗函数的特性 Window Main Lobe width MLRe

34、lative Minimum Transition sidelobe level Asl stopband attenuation bandwidth Rectangular 4 /(2M+1) 13.3dB 20.9dB 0.92 /M Hann 8 /(2M+1) 31.5dB 43.9dB 3.11 /M Hamming 8 /(2M+1) 42.7dB 54.5dB 3.32 /M Blackman 12 /(2M+1) 58.1dB 75.3dB 5.56 /M c=1 归一化巴特沃兹滤波器的系统函数有以下形式： NN nnN a asasasas sH 1 2 2 1 1 1 )(

35、 表 3阶数 1 N 5 归一化巴特沃兹滤波器系统函数的系数 N a1a2a3a4a5 1 1.0000 2 1.4142 1.0000 3 2.0000 2.0000 1.0000 4 2.6131 3.4142 2.6131 1.0000 5 3.2361 5.2361 5.2361 3.2361 1.0000 数字信号处理考试答案 总分： 100分 2 1(8 分)确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部 分： (a) 27,3,65 ,34, 52jjjjjnh (b) 27,3,65 ,34, 52jjjjjnh 解：(a) 52, 34,65,3 ,27

36、* jjjjjnh 5.15 .4,25.3, 5,25.3, 5.15 .4)(*5.0 * jjjjnhnhnHcs 5 .35.2,5 .0,5.0,5 .35 .2)(*5.0 * jjjjjnhnhnH ca (b) 34,65 ,3 ,27,52 * jjjjjnNh 5.25. 1, 5.24, 5. 24, 5. 25 .1,2)(*5. 0 * jjjjnNhnhnHpcs 5 .05 .5, 5. 31, 5. 31, 5. 05.5, 5)(*5.0 * jjjjjnNhnhnHpca 2. (8 分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位 不变

37、还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。 nxnxny 解：(a) 令：对应输入 x1n的输出为 y1n，对应输入 x2n的输出为 y2n,对应 输入 xn=x1n+x2n的输出为 yn，则有 111 nxnxny 222 nxnxny )()( 2121 nxnxnxnxnxnxny )()( 212211 nynynxnxnxnx 所以此系统为线性系统。 (b)(b)设对应 xn的输出为 yn，对应输入 x1nxn-n0的输出 为 y1n,则 )( 0000111 nnxnnxnnxnnxnxnxny nxnxny 000 nnxnnxnny 10 nynny 此系统为移位变

38、化系统。 (c )假设 Bnx ，则有 Bnxnxnxnxny2 所以此系统为 BIBO 稳定系统。 (d)此系统为非因果系统。 3. (6分)确定下列序列的平均功率和能量 3 5 nunx n 能量为： 16/25 25/91 1 ) 5 3 () 3 5 () 3 5 ( 0 2 0 2 0 2 2 n n n n n n n n n n n x nx 功率为： kn n n k n kn n k kn kn k x kk nx k p 0 2 0 2 2 ) 3 5 ( 12 1 lim) 3 5 ( 12 1 lim 12 1 lim 0 25/91 25/91 12 1 lim) 2

39、5 9 ( 12 1 lim 1 0 k k kn n n k x kk p 4(6 分)已知 xn（ 10Nn）为长度为N（N 为偶数） 的序列， 其 DFT 变换为 Xk （3）（1）用 Xk 表示序列 3 N nxnv 的 DFT 变换 （4）（2）如果 n nx （10Nn） ，求其 N 点 DFT。 解： (1) /63 kXekXWkV Nkjk N (2) k N N k N N n n k N N n nk N n N n nk N W W WWWnxkX 1 1 1 0 1 0 1 0 5. (8 分)确定下列数字滤波器结构的传输函数 )( )( )( zX zY zH Z

40、-1 Z -1 X(z) -k1 a1 a2 Y(z) k2 -k2 Vz 解： )()()()( 1 2 1 2 1 1 zVzVzkzVzzVkzkzX 则 )( )(1 1 )( 2 1 1 212 zX zkzkkk zV 又 )()()()( 1 2 1 12 1 zYzVzzzVkz 则有 )()( 2 1 1 122 zVzzkzY )(1 )( 2 1 1 212 2 1 1 122 zX zkzkkk zzk 6(10 分)以以下形式实现传输函数为 5432151 16807.02005.143.39.45.31)7.01 ()(zzzzzzzH 的 FIR 系统结构。 (2

41、) (1)直接形式 (2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。 解：(1) (2) )49.04 .11)(49.04 .11)(7.01()7.01()( 2121151 zzzzzzzH 7. (10 分)低通滤波器的技术指标为： 01.1(99.0 )j eH 3 .00 01.0( )j eH35.0 用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR 滤波器。 z -1 z -1 z -1 z -1 z -1 1 -3.5 4.9 -3.43 1.2005 -0.16807 0.49 -1.4 yn z -1 z -1-0.7 xn z -1 0.49 -1.4 z -1 z -1 xn

42、 yn 解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、 阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指 标 中 的 通 带 、 、 阻 带 波 动 相 同 ， 所 以 我 们 仅 需 要 考 虑 阻 带 波 动 要 求 。 阻 带 衰 减 为 20log(0.01)=-40dB ，我们可以采用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带 衰 减 增 大 的 同 时 ， 过 渡 带 的 宽 度 也 会 增 加 ， 技 术 指 标 要 求 过 渡 带 的 宽 度 为 05.0ps 。由于M= 3.11 , 所以： 52 05.0 11.3 M ，且： 其它0 ) 12 2 cos(5 .05 .0 Mn

43、M M n nw 一个理想低通滤波器的截止频率为 325.02/)( psc ，所以滤波器为： )( )(sin( Mnw Mn Mn MnwMnhnh c dt ，Mn20 8(20 分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器， 通带内等波纹，且 1 .0(0.0 )j eH 1 .00 0 .1(9.0 )j eH 3. 0 。 解：我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通 滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z 域进行低通到高通的转换。 另一种方法是在双线性变换前就在s 平面域进行低通到高通的转换，然

44、后用双线性变换将模 拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二 种方法，更容易计算。 我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为 1.0 c ，通带截止频率为 3 .0 p ， 且 A=1/0.1=10, 9 19 9. 0 1 1 2 = 0.4843 先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且 ) 2 tan( 有： 1584.0)05.0tan() 2 tan( s s 5095.0)15.0tan() 2 tan( p p 用变换ss?/1将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们有 9627.15095.0/1/1

45、? pp 3138. 61584.0/1/1 ? ss 所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter) 为 3109.0 ? ? s p k 判别因子 (discrimination parameter) 为： 04867.0 1 2 1 A k 因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为： 59.2 )/1log( )/1(log 110 k k N 我们取 N=3, 则 7853.0 ? ? ) ? ? ( 22 p c N c p 1509.2 ? ? 1) ? ? ( 22s c N c s A 我们可取 1509. 2 ? ? 7

46、853.0 ? s c p ， 如取 5 .2 ? c ，则所求得的低通巴特沃兹滤波器为： 1) ? /?(2) ? /?(2) ? /?( 1 ) ? ( 23 ccc a sss sH 1?8.0?32.0?064.0 1 1)5 .2/?(2)5.2/?(2)5.2/?( 1 ) ?( 2323 ssssss sH a 用低通到高通的转换关系ss ?/1 将低通滤波器转换为高通滤波器： 32 3 8 .032.0064.0 )( sss s sH a 最后采用双线性变换 1 1 1 1 z z s 3 1 1 2 1 1 1 1 3 1 1 1 1 ) 1 1 () 1 1 (8. 0

47、1 1 32. 0064.0 ) 1 1 ( )()( 1 1 z z z z z z z z sHzH z z s a 184.2288.3072.2456.0 )1( 123 31 zzz z 9.（10 分） ）信号 yn 包含一个原始信号xn和两个回波信号： yn=xn+0.5xn-n d+0.25xn-2nd 求一个能从yn恢复 xn 的可实现滤波器 解：因为 X(z) 与 Y(z) 的关系如下： )()25.05 .01()( 2 zXzzzY ddnn 以 yn为输入， xn为输出的系统函数为： dd nn zz zG 2 25.05 .01 1 )( 注意到： )()( dn

48、zFzG ，且 21 25.05 .01 1 )( zz zF F(z)的极点在： )31(25.0jz 它在单位圆内半径为r=0.5 处，所以G(z)的极点在单位圆内 dn r)5.0( 处，所以G(z)是可 实现的。 10 (14 分)一个线性移不变系统的系统函数为 1 *1 1 )( az az zH ， 这里 1a (a)求实现这个系统的差分方程 (b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统） (c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果 G(z)是一个稳定系统，求单位 采样响应g(n)。 解： (a) 1 *1 1)( )( )( az az zX zY zH )()1)( *11 azzXazzY 对方程