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1、2019-2020 年高中数学必修四 1.3 三角函数的诱导公式导学案 【学习目标】 1. 诱导公式 ( 一) 、 （二）的探究、推导借助单位圆的直观性探索正弦、余弦、正切的诱 导公式 2. 利用诱导公式进行简单的三角函数式的求值、化简和恒等式的证明 【导入新课】 1. 复习公式一，公式二 2. 回忆公式的推导过程 新授课阶段 1诱导公式二： 思考： （ 1）锐角的终边与180的终边位置关系如何？ （2）写出的终边与180的终边与单位圆交点,P P的坐标 （3）任意角与180呢？ 结论：任意与180的终边都是关于原点中心对称的则有( , ),(,)P x yPxy， 由正弦函数、余弦函数的定义
2、可知： siny，cosx； sin(180)y，cos(180)x 从而，我们得到诱导公式二：sin(180) sin ；cos(180)cos 说明：公式中的指任意角； 若是弧度制，即有sin()sin，cos()cos； 公式特点：函数名不变，符号看象限； 可以导出正切： sin(180)sin tan(180)tan cos(180)cos 2诱导公式三： 思考： （ 1）360的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究； （2）任何角与的终边位置关系如何？ 可以由学生自己结合一个简单的例子思考，从坐标系看20与20180，20与 20180的终边的关系从而易知， ,33 )kz 与
3、， ，（2k+1）， ( 终边相同，所以三角函数值相等由与的终边与单位圆分别相交于P与 P， 它们的坐标互为相反数P( x ，y) ，P (-x ，-y) （见课本图1-18 ） ，所以有 cos(21)-cosk sin(21)-sink（三） tan(21)tank 结论：同诱导公式二推导可得：诱导公式三：sin()sin；cos()cos 说明：公式中的指任意角； 在角度制和弧度制下，公式都成立； 公式特点：函数名不变，符号看象限； 可以导出正切：tan()tan 3诱导公式四：sin(180)sin； cos(180)cos 4诱导公式五：sin(360)sin； cos(360)co
4、s 说明：公式四、五中的指任意角； 在角度制和弧度制下，公式都成立； 公式特点：函数名不变，符号看象限； 可以导出正切：tan(180)tan；tan(360)tan 5公式六： cos) 2 sin(sin) 2 cos( cos) 2 sin(sin) 2 cos( 说明：公式六中的指任意角； 在角度制和弧度制下，公式都成立； 公式特点：函数名变化，符号看象限 结合公式（一）和（三）可以得出下结论： sin , sin() sin an n an 当 为奇数 ，当 为偶数 cos , cos() cos an n an 当 为奇数 ，当 为偶数 tan()tan,nnZ 由与和单位圆分别交
5、于点P与点P，由诱导公式（二）和（三）或P与点P 关于 y 轴对称，可以得到与只见的三角函数关系（见课本图1-19） sinsin(）-coscos(） 例1 下列各三角函数值： 219 sin120cos135tancos() 34 解： 例2 将下列三角函数化为0到45之间角的三角函数： sin68cos75tan126 解： 例 3 求下列三角函数值： （ 1）sin960； （2） 43 cos() 6 解： 例 4 （1）化简 2 3 cotcos() sin (3) tancos () ； （2）sin120cos330sin( 690 )cos( 660 )tan675cot 7
6、65. 解： （1） （2） 例 5 已知：tan3，求 2cos()3sin() 4cos()sin(2) 的值 解： 例 6 已知 3 sin 5 ， 且是第四象限角， 求tancos(3)sin(5)的值 解： 例 7 化简 sin()sin() () sin()cos() nn nZ nn 解： 课堂小结 1五组公式可概括如下：360 (),180,360kkZ的三角函数值， 等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号； 2要化的角的形式为 o k 90（k为常整数）； 3记忆方法： “奇变偶不变，符号看象限”； （k 为奇数还是偶数） ； 4利用五组诱导公式就可以将任意
7、角的三角函数转化为锐角的三角函数其化简方向 仍为： “负化正，大化小，化到锐角为终了” 作业 课本第 32 页习题 B组第 1、 2 题 拓展提升 1若)cos() 2 sin(，则的取值集合为（） A 4 2|Zkk B 4 2|Zkk C|ZkkD 2 |Zkk 2已知,) 15 14 tan(a那么1992sin（） A 2 1 | a a B 2 1a a C 2 1a a D 2 1 1 a 3设角则, 6 35 )(cos)sin(sin1 )cos()cos()sin(2 22 的值等于（） A 3 3 B 3 3 C3D3 4当Zk时， )1cos() 1sin( )cos()
8、sin( kk kk 的值为（） A 1 B1 C 1 D与取值有关 5设,(4)cos()sin()(baxbxaxf为常数），且 ,5)2000(f那么)2004(f（） A1 B3 C5 D 7 6已知 3 sin() 42 ，则 3 sin() 4 值为（） A. 2 1 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 7cos (+)= 2 1 ， 2 3 2,sin(2- ) 值为（） A. 2 3 B. 2 1 C. 2 3 D. 2 3 8化简：)2cos()2sin(21得（） A. sin2cos2 B. cos2sin2 C. sin2cos2D.cos2sin 2 9 已知3
9、tan， 2 3 ，那么sincos的值是（） A 2 31 B 2 31 C 2 31 D 2 31 10已知,0cos3sin则 cossin cossin . 11如果,0sintan且, 1cossin0那么的终边在第象限 12求值： 2sin( 1110o) sin960 o+)210cos()225cos(2 13设( )f )cos()7(cos22 1)cos(2)(sincos2 2 23 ，求() 3 f的值 14已知方程sin( 3) = 2cos( 4) ，求 )si n() 2 3 si n(2 )2cos(5)si n( 的 值 参考答案 例 1 解： 3 sin1
10、20sin(3090 )cos30 2 2 cos135cos(4590 )sin45 2 2 tantan()cot3 3626 191932 cos()coscos(4 )cos()sin 4444242 例 2 解：略 例 3 解： （1）sin 960sin(960720 )sin 240（诱导公式一） sin(18060 )sin60（诱导公式二） 3 2 （2） 4343 cos()cos 66 （诱导公式三） 77 cos(6 )cos 66 （诱导公式一） cos()cos 66 （诱导公式二） 3 2 例 4 解： （1）原式 2 3 cot( cos) sin () tan
11、cos () 2 3 cot(cos ) (sin) tan(cos) 2 3 cot(cos ) sin tan( cos) 22 22 cossin 1 sincos （2）原式sin(18060 ) cos(36030 )sin(720690 )cos(720660 ) tan(675720)cot(765720) sin60 cos30sin30 cos60tan( 45 )cot 45 3311 tan451 2222 31 1 11 44 例 5 解：tan3， 原式 2cos3sin23tan 7 4cossin4tan 例 6 解：tancos(3)sin(5) tancos(
12、)sin()tan(cossin) tansintancossin(tan1) 由已知得： 43 cos,tan 54 ，原式 21 20 例 7 解：当2 ,nk kZ时， 原式 sin(2)sin(2)2 sin(2)cos(2)cos kk kk 当21,nkkZ时， 原式 sin(21) sin(21) 2 sin(21) cos(21) cos kk kk 拓展提升 1D 2C 3 C 4 A 5C 6 C 7 8C 9B 102 11二 12 2 13解： coscos22 1cos2sincos2 )( 2 23 f = coscos22 1cos2)cos1 (cos2 2 23 = coscos22 cos2coscos2 2 23 =cos 2coscos2 )2coscos2(cos 2 2 () 3 f cos 3 2 1 14解：sin( 3) = 2cos( 4) sin(3) = 2cos(4) sin() = 2cos() sin = 2c os且 cos 0 4 3 cos4 cos3 cos2cos2 cos5cos2 sincos2 cos5sin 原式