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1、2019-2020 年高考数学专题 23 数列通项公式的求解策略黄金解题模板 【高考地位】 在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴 题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。求通项公式 也是学习数列时的一个难点。由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、 灵活度大、技巧性强。 【方法点评】 方法一数学归纳法 解题模板：第一步求出数列的前几项，并猜想出数列的通项； 第二步使用数学归纳法证明通项公式是成立的. 例 1 若数列 n a的前 n 项和为 n s，且方程 2 0 nn xa
2、 xa有一个根为 n s1，n=1,2,3 (1) 求 12 ,a a； （2）猜想数列 n S的通项公式，并用数学归纳法证明 试题解析：解： （1） 12 11 , 26 aa （2）由 2 (1)(1)0 nnnn SaSa知 2 210 nnnn SSa S 1( 2) nnn aSSn代入 2 210 nnnn SSa S 1 210 nnn S SS(2)n（） 【变式演练1】已知数列 n a满足 1122 8(1)8 (21) (23)9 nn n aaa nn ，求数列 n a的通项公式。 由此可知，当 1nk 时等式也成立。 根据（ 1） ， （ 2）可知，等式对任何 * nN
3、都成立。 【变式演练2】把数列 21n（ Nn）依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三 个数，第四个括号四个数，第五个括号一个数，第六个括号两个数，进行摆放，即（3） ， （5，7） ， （9，11， 13） ， （15，17，19，21） ， （23） ， （25，27） ， （29，31，33） ， （35，37，39， 41） ， （43） ， （45，47） ，则第 104 个括号内各数之和为（） A2072 B2060 C2048 D2036 【答案】 A 【解析】 试题分析：该摆放具有周期性，周期为4，即一个周期内有4 个括号，而第104 个括号位于第26 个周期内
4、， 又第一个周期中最后一个数为21，第二个周期最后一个数为41，第三个周期最后一个数为81，易知每个周 期的最后一个数依次构成以21 为首项，公差为20 的等差数列，由此可得第104 个括号内的最后一个数为 521，由此得第104 个括号内的四个数为515、517、519、521. 考点：归纳推理的应用。 方法二 n S法 使用情景：已知()( ) nnn Sf aSf n或 解题模板：第一步利用 n S满足条件p，写出当2n时， 1n S 的表达式； 第二步利用 1( 2) nnn aSSn，求出 n a或者转化为 n a的递推公式的形式； 第三步根据 11 aS求出 1 a，并代入 n a
5、的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立， 则写出分段形式或根据 1 a和 n a的递推公式求出 n a. 例 2 在数列 n a中，已知其前n项和为 23 n n S，则 n a_ 【答案】 1 5,1 2,2 nn n a n 【变式演练3】已知数列 n a的前项和为 n S，若=2-4 nn SanN，则= n a（） A. 1 2 n B. 2 n C. -1 2 n D. -2 2 n 【答案】 A. 【解析】 试题分析： 1111 24(24)2 nnnnnnn aSSaaaa，再令1n， 111 244Saa，数列 n a是以 4 为首项， 2 为公比是等比数列， 11 4
6、22 nn n a，故选 A. 考点：本题主要考查数列的通项公式. 【变式演练4】在数列 n a中，1 1 a，)( 2 1 32 1321 Nna n naaaa nn （1）求数列 n a的通项 n a； （2）若存在 * nN，使得 (1) n an成立，求实数的最小值 . 【答案】（1） 2 1,1 2 3,2 n n n a n n ；(2) 1 3 方法三累加法 使用情景：型如 1 ( ) nn aaf n或 1 ( ) nn aaf n 解题模板：第一步将递推公式写成 1 ( ) nn aaf n； 第二步依次写出 121 , nn aaaa，并将它们累加起来； 第三步得到 1n
7、 aa的值，解出 n a； 第四步检验 1 a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例 3 数列 n a满足1 1 a，对任意的 * nN都有naaa nn11 ，则 201621 111 aaa （） A、 2015 2016 B、 4032 2017 C、 4034 2017 D、 2016 2017 【答案】 B 【变式演练5】在数列 n a中， 1 a=1， 1 1 nn aan (n=2 、3、4 ) ，求 n a 的通项公式。 【答案】 2 2 2 n nn a 【变式演练6】已知数列 an满足a11 2， an 1an 1 n 2 n，求 an. 【答
8、案】 31 2 n a n 方法四累乘法 使用情景：型如 1 ( ) n n a f n a 或 1 ( ) nn aaf n 解题模板：第一步将递推公式写成 1 ( ) n n a f n a ； 第二步依次写出 2 11 , n n aa aa ，并将它们累加起来； 第三步得到 1 n a a 的值，解出 n a； 第四步检验 1 a是否满足所求通项公式，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式. 例 4 已知数列 n a满足 nnn aa n n aa求, 1 , 3 2 11 【答案】 n an 3 2 【变式演练7】已知数列 n a中， 1 a=1， n n n aa2 1 （n)
9、N，则数列 n a的通项公式为（） A 1 2 n n a B n n a2 C 2 )1( 2 nn n a D 2 2 2 n n a 【答案】 C 【解析】 试题分析： 1231 1324 1 1231 222222 nnn nn nn nn aaaaa aa aaaaa , 即 111 1 2 31 222 1 1 2222 n nn nn n n n n a aa a 故 C正确 考点： 1 累乘法求通项公式；2 等差数列的前n项和 方法五构造法一 使用情景：型如 1nn apaq（其中,p q为常数，且(1)0,pq p） 解题模板：第一步假设将递推公式改写为an1tp(ant)
10、； 第二步由待定系数法，解得 1 q t p ； 第三步写出数列 1 n q a p 的通项公式； 第四步写出数列 n a通项公式 . 例 5 已知数列 n a满足 1 a=1， 1n a =21 n a (nN) ，求数列 n a 的通项公式。 【答案】 n a=21 n 【变式演练8】如题图， 已知点D为ABC的边BC上一点，3BDDC，() n EnN为边AC上的列点， 满足 1 1 (32) 4 nnnnn E AaE BaE D，其中实数列 na 中 1 0,1 n aa，则 na 的通项公式为（） A 1 3 22 n B21 n C32 n D 1 2 31 n 【答案】 D 【
11、解析】 试题分析：因为3BDDC，所以 14 33 nnn E CE BE D设 nn mE CE A，则由 1 1 4 nnn E AaE B (32) nn aE D， 得 1 11 34 n ma，4(32) 3 n ma， 所以 1 11 (32) 44 nn aa， 所以 1 13(1) nn aa 因 为 1 12a，所以数列1 n a是以2 为首项，3 为公比的等比数列，所以 1 12 3 n n a ，所以 1 2 31 n n a，故选 D 考点： 1、向量的加减运算；2、等比数列的定义及通项公式 【变式演练10】已知数列 an 中，a11，an12an3，求an. 【答案】
12、an2 n13. 方法六构造法二 使用情景：型如 1nn apaqnr（其中,p q为常数，且(1)0,pq p） 解题模板：第一步假设将递推公式改写为 1 (1)() nn ax nyp axny； 第二步由待定系数法，求出, x y的值； 第三步写出数列 n axny的通项公式； 第四步写出数列 n a通项公式 . 例 6 已知数列 n a满足 2 11 23451 nn aanna，求数列 n a的通项公式。 【答案】 42 231018 n n ann 2 13 1101 1813132a为首项，以2 为公比的等比数列，因此 21 31018322 n nann， 则 42 23101
13、8 n n ann。 例 7 已知数列 n a中的 12 ,a a分别为直线2 +20x y -=在x轴、 y轴上的截距，且 2 1 2 nn nn aa aa + + - = + ，则数列 n a的通项公式为 【答案】 ( ) 31 4 n n - . 【解析】 试题分析： 由已知得： 12 1,2aa，已知条件可化为 21 23 nnn aaa，设 211nnnn ax ay ax a， 可化为： 21nnn ayx axya，则 2 3 yx xy ，解得： 3 1 y x ，即 211 3 nnnn aaaa，所以数 列 1nn aa是以3为首项，3为公比的等比数列，则13 n nn
14、aa两边同时除以 1 3 n 转化为： 11 11 11111 33 3334334 nnnn nnnn aaaa ，即数列 1 34 n n a 是以 1 12 为首项， 1 3 为公比的等比数列， 所以 11 31 111111 34123341234 nnn n nn n nn aa a 考点： 1. 等比数列的通项公式；2. 构造等比数列 【方法点晴】本题主要考察的是等比数列的通项公式和根据递推数列构造等比数列，属于难题本题两次 构造等比数列，首先设 211nnnn axay axa，再根据已知条件 21 23 nnn aaa确定,x y的值，构 造数列 1nn aa为等比数列； 第二
15、，根据 1 3 n nn aa，两边同时除以 1 3 n 得数列 1 34 n n a 为等比数列， 从而得解因为两次构造等比数列，做题过程中要注意认真计算，否则容易出现错误 【变式演练11】 设数列 an 满足a14，an3an12n1(n2) ，求an. 【答案】an23 n n1. 【变式演练12】已知数列 n a中 1 1 2 a，函数 2 ( ) 1 x fx x （1）若正项数列 n a满足 1 () nn af a，试求出 2 a， 3 a， 4 a，由此归纳出通项 n a，并加以证明； （2）若正项数列 n a满足 1 () nn af a（nN *） ，数列 n b的前项和为
16、Tn，且 21 n nn a b ，求证： 1 2 n T 【答案】（1） 234 248 , 359 aaa， 1 1 2 12 n n n a ； （2）证明见解析 【解析】 试题分析： （ 1）由递推公式依次可求得 234 ,a aa，用数学归纳法的要求证明即可；也可把递推公式 1 2 1 n n n a a a 变形为 1 111 1(1) 2 nn aa ，则数列 1 1 n a 是等比数列； （2）要与（ 1）进行联系，首选函数 22 ( )2 11 x f x xx ，因此( )f x在(0,)上是增函数，可妨（1）进行归纳， 21 2 () 3 af a， 32 24 ()()
17、 35 af af， 43 48 ()() 59 af af，也可把 1 () nn af a变形为 1 1 1 1 1 2 1 n n a a ，由累乘 证明如下： 1 2 1 n n n a a a ， 1 11111 222 n nnn a aaa ， 1 111 1(1) 2 nn aa ， 数列 1 1 n a 是以 1 为首项、 1 2 为公比的等比数列， 1 11 1 2 n n a ， 1 1 1 12 1 12 1 2 n nn n a ； （2） 1 2 () 1 n nn n a af a a （nN *） ， 1 111 1(1) 2 nn aa ， 1 1 1 1 1
18、 2 1 n n a a ， 累乘得： 1 1 1 1 1 1 2 1 n n a a ， 1 11 1 2 n n a ，即 1 1 1 1 2 n n a ， 1 1 2 12 n nn a， 1 1 1 11 2 211 12 1212(12 )(12)1212 n n n n nnnnnnn a b ， 01121 111111 121212121212 nnn T 11 212 n 1 2 考点：归纳法，等比数列的公式，累乘法，放缩法证明不等式 方法七构造法三 使用情景：型如 1 n nn apaq（其中,p q为常数，且 (1)0,pq p） 解题模板：第一步在递推公式两边同除以
19、1n q ，得 1 1 1 nn nn aap qq qq ； 第二步利用方法五，求数列 n n a q 的通项公式； 第三步写出数列 n a通项公式 . 例 7 已知数列 n a满足112356 n nn aaa，求数列 n a的通项公式。 【答案】 例 8 已知数列 n a满足 1 232 n nn aa， 1 2a，求数列 n a的通项公式。 【答案】 31 ()2 22 n n an 【变式演练13】已知数列 an中，a1 5 6， an1 1 3a n 1 2 n 1，求 an. 【答案】bn32 2 3 n， an bn 2 n3 1 2 n2 1 3 n. 【解析】法一：在an1
20、1 3a n 1 2 n 1 两边乘以2 n1，得 2n 1 an12 3(2 n an) 1. 令bn2 n an，则bn1 2 3b n1， 方法八构造法四 使用情景：型如 11nnn apaqa（其中,p q为常数，且0,2pqn） 解题模板：第一步假设将递推公式改写成 11 () nnnn asat asa； 第二步利用待定系数法，求出 , s t的值； 第三步求数列 1 nn asa的通项公式； 第四步根据数列 1 nn asa的通项公式，求出数列 n a通项公式 . 例 9 数列 n a中， nnn aaaaa 1221 23 ,2, 1，求数列 n a的通项公式。 【答案】 n
21、a 1 ) 3 1 ( 4 3 4 7 n 【变式演练14】已知数列 n a满足 * 1221 1,4,43(). nnn aaaaanN （1）求 34 ,a a的值；（2）证明：数列 1nn aa是等比数列； （3）求数列 n a的通项公式； 【答案】见解析 方法九构造五 使用情景：型如 1 n n n pa a qar （其中, ,p q r为常数） 解题模板：第一步将递推公式两边取倒数得 1 11 nn rq apap ； 第二步利用方法五，求出数列 1 n a 的通项公式； 第三步求出数列 n a通项公式 . 例 10 已知数列 n a满足, 1, 13 1 1 1 a a a a
22、n n n 求数列 n a的通项公式。 【答案】 1 32 n a n 【变式演练15】已知数列 an的首项a13 5， an1 3an 2an1， n1,2,3 ，求 an的通项公式 【答案】an 3 n 3 n2. 【解析】an 1 3an 2an 1， 1 an 1 2 3 1 3an， 方法十构造六 使用情景：型如 1( 2,0) r nn apanp 解题模板：第一步对递推公式两边取对数转化为 1nn bpbq； 第二步利用方法五，求出数列 n b的通项公式； 第三步求出数列 n a通项公式 . 例 11 若数列 n a中， 1 a=3 且 2 1nn aa （n 是正整数），求它的
23、通项公式是 n a。 【变式演练16】已知数列 an中，a1 1，an 11 a a 2 n(a0)，求数列 an 的通项公式 【答案】 1 1 2n n aa 所以bncnlg 1 a2 n1lg1 alg 1 a lga 1 a 2n1 lga 1 12n ， 即 lg anlga 1 12n ，所以 1 1 2 n n aa. 【高考再现】 1. 【 2015 高考新课标1，文 7】已知 n a是公差为1 的等差数列， n S为 n a的前n项和，若 84 4SS，则 10 a（） （A） 17 2 （B） 19 2 （C）10（D）12 【答案】 B 【考点定位】等差数列通项公式及前n
24、 项和公式 【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n 项和公式，利用方程思 想和公式列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，利用等差数列性质可以简化计算. 2. 【2016 高考浙江理数】设数列an的前n项和为Sn. 若S2=4，an+1=2Sn+1，nN *，则 a1= ，S5= . 【答案】 1121 【解析】 试题分析： 122112 4,211,3aaaaaa， 1111 21,21(2)23(2) nnnnnnnnn aSaSnaaaaan，又 21 3aa，再由 所以 5 15 13 3(1),S121. 13 nn aan 考点： 1、等比数列的
25、定义；2、等比数列的前n项和 【易错点睛】由 1 21 nn aS转化为 1 3 nn aa的过程中，一定要检验当1n时是否满足 1 3 nn aa，否 则很容易出现错误 3. 【 2017 全国 III文， 17】设数列 n a满足 12 3(21)2 n aanan. （1）求 n a的通项公式； （2）求数列 21 n a n 的前n项和 . 【答案】（1） 12 2 n an ； （2） 12 2 n n 【解析】试题分析： （1） 先由题意得2n时，)1(2)32(3 121 nanaa n ， 再作差得 12 2 n an ， 验证1n时也满足（ 2）由于 12 1 12 1 )1
26、2)(12( 2 12nnnnn an ，所以利用裂项相消法求和. 【考点】数列通项公式，裂项法求和 【名师点睛】裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项 的方法， 裂项相消法适用于形如 1nn c a a ( 其中 n a 是各项均不为零的等差数列，c 为常数 ) 的数列 . 裂项 相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和( 如本例 ) ，还有一类隔一项的裂项求和，如 1 (1)(3)nn 或 1 (2)n n . 4. 【 2016 高考新课标文数】已知各项都为正数的数列 n a满足 1 1a， 2 11 (21)20 nnnn aaaa. （I ）求
27、 23 ,a a； （II ）求 n a的通项公式 . 【答案】（） 4 1 , 2 1 32 aa； （） 1 2 1 nn a 5. 【 2016 高考山东理数】已知数列 n a的前n项和 Sn=3n 2+8n， n b是等差数列，且 1.nnn abb （）求数列 n b的通项公式； 【答案】（）13nbn. 考点： 1. 等差数列的通项公式；2. 等差数列、等比数列的求和；3. “错位相减法”. 【名师点睛】 本题主要考查等差数列的通项公式及求和公式、等比数列的求和、数列求和的 “错位相减法” . 此类题目是数列问题中的常见题型. 本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高. 解答本题，布列
28、方程组，确 定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题能 较好的考查考生的逻辑思维能力及基本计算能力等. 6. 【2016 高考新课标3 理数】已知数列 n a的前 n 项和1 nn Sa，其中0 （I ）证明 n a是等比数列，并求其通项公式； （II ）若 5 31 32 S，求 【答案】（） 1 ) 1 ( 1 1n n a ； （）1 【解析】 试题分析： （）首先利用公式 1 1 1 2 n nn Sn a SSn ，得到数列 n a的递推公式，然后通过变换结合等 比数列的定义可证； （）利用（）前n项和 n S化为的表达式，结合 5
29、 S的值，建立方程可求得的值 （）由（）得 n n S) 1 (1 ，由 32 31 5 S得 32 31 ) 1 (1 5 ，即 5 ) 1 ( 32 1 ， 解得1 考点： 1、数列通项 n a与前n项和为 n S关系； 2、等比数列的定义与通项及前n项和为 n S 【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明 1n n a q a （常数）； （2）中项法，即证 明 2 12nnn aa a根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化为等比数列或等差数列来求解 7. 【 2015 高考福建，文17】等差数列 n a中， 2 4a， 47 15aa （）求数列 n
30、a的通项公式； （）设 2 2 n a n bn，求 12310 bbbb的值 【答案】（）2 n an； （）2101 【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法 【名师点睛】确定等差数列的基本量是 1, a d所以确定等差数列需要两个独立条件，求数列前n 项和常用 的方法有四种： （1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和，在前n 项相加的过程中相互抵消）； （2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）； （3）分组求和法 ( 根据数列通项公式的特点，将其分 解为等差数列求和以及等比数列求和)； （4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显，但是奇数项之间 以及偶数项之间有
31、明显的等差数列特征或等比数列特征） 8. 【 2015 高考山东，理18】设数列 n a的前 n 项和为 n S. 已知233 n n S. （I ）求 n a的通项公式； （II ）若数列 n b满足 3 log nnn a ba，求 n b的前 n 项和 n T. 【答案】（I ） 1 3,1, 3,1, n n n a n ; （II ） 1363 124 3 nn n T . 【考点定位】1、数列前n项和 n S与通项 n a的关系； 2、特殊数列的求和问题. 【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的 严密性和运算的准确性，在利用 n
32、 S与通项 n a的关系求 n a的过程中，一定要注意1n的情况，错位相减 不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求. 9. 【2015 高考安徽，文18】已知数列 n a是递增的等比数列，且 1423 9,8.aaa a （）求数列 n a的通项公式； （）设 n S为数列 n a的前n项和， 1 1 n n nn a b S S ，求数列 n b的前n项和 n T. 【答案】（） 1 2 n n a（） 1 1 22 21 n n 【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质，等比数列的前n项和，以及利用裂项相消法求和. 【名师点睛】本题利用“若qpnm，则 qpnm aa
33、aa ”，是解决本题的关键，同时考生发现 11 111 11 nnn n nnnnnn aSS b S SS SSS 是解决本题求和的关键, 本题考查了考生的基础运算能力. 10.【2015 高考广东， 文 19】（本小题满分14 分） 设数列 n a的前n项和为 n S，n 已知 1 1a， 2 3 2 a， 3 5 4 a，且当2n 时， 211 458 nnnn SSSS （1）求 4 a的值； （2）证明： 1 1 2 nn aa 为等比数列； （3）求数列 n a的通项公式 【答案】（1） 7 8 ； （2）证明见解析； （3） 1 1 21 2 n n an （3） 由 （2） 知
34、： 数列 1 1 2 nn aa 是以 21 1 1 2 aa为首项，公比为 1 2 的等比数列， 所以 1 1 11 22 n nn aa 11. 【2015 高考天津，理18】已知数列 n a满足 212 ()*,1,2 nn aqaqqnNaa为实数，且1 ， 且 233445 ,aa aaaa+成等差数列 . (I) 求q的值和 n a的通项公式； (II)设 *22 21 log , n n n a bnN a ，求数列 n b的前n项和 . 【答案】 (I) 1 2 2 2, 2 ,. n n n n a n 为奇数 , 为偶数 ; (II) 1 2 4 2 n n n S. 【考
35、点定位】等差数列定义、等比数列及前n项和公式、错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差 数列定义、等比数列性质，分n为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和. 是中档题 . 12. 【2015 高考重庆，理22】在数列 n a中， 2 111 3,0 nnnn aaaaanN （ 1）若0,2,求数列 n a的通项公式； （2）若 00 0 1 ,2 ,1,kNk k 证明： 0 1 00 11 22 3121 k a kk 【答案】（1） 1 3 2 n n a ； （2）证明见解析 . 【解析】 若存在某个 0
36、 nN， 使得 0 n0a=， 则由上述递推公式易得 0 n10a+=， 重复上述过程可得 1 0a =， 此与 1 3a = 矛盾，所以对任意Nn ,0 n a. 从而 1 2 nn aa + =Nn，即 n a是一个公比q2=的等比数列 . 故 11 1 3 2 nn n aa q - =?. 求和得 ()() 000 11211kkk aaaaaa + =+-+- 0 10 0001020 00000 11111 111 11111 22 31313131 k ak kkk ak ak a kkkkk 另一方面，由上已证的不等式知 00 121 2 kk aaaa + 得 0 0 110
37、 0001020 11111 111 k k aak kkk ak ak a 00000 11111 22 21212121kkkkk 综上： 0 1 00 11 22 3121 k a kk + + + 【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法. ，考查探究能力和推理论证 能力，考查创新意识 【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、 新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数( 包括三角函数) 、不等式以及导数等的综合性试题不 断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯
38、通数列的 问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递 推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、 积( 幂) 等形式在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力 本题第（ 1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第（2）小题 把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大 13. 【2015 高考四川，理16】设数列 n a的前n项和 1 2 nn Saa，且 123 ,1,a aa成
39、等差数列 . （ 1）求数列 n a的通项公式； （ 2）记数列 1 n a 的前 n 项和 n T，求得 1 |1| 1000 n T成立的n的最小值 . 【答案】（1）2 n n a； （2）10. 【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查 运算求解能力. 【名师点睛】凡是有 n S与 n a间的关系，都是考虑消去 n S或 n a（多数时候是消去 n S，得 n a与 1n a 间的递 推关系） . 在本题中，得到 n a 与 1n a间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关公 式即可求解 . 等差数列与等比数列是
40、高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分. 14. 【2015 高考湖北，理18】设等差数列 n a的公差为d，前n项和为 n S ，等比数列 n b的公比为q已知 11 ba ， 2 2b， qd ， 10 100S （）求数列 n a ， n b的通项公式； （）当1d时，记 n n n a c b ，求数列 n c的前n项和 n T 【答案】（） 1 21, 2. n n n an b 或 1 1 (279), 9 2 9 (). 9 n n n an b ； （） 1 23 6 2 n n . 2345 11357921 2222222 n n n T. - 可得 22 1111
41、2123 23 222222 n nnn nn T， 故 n T 1 23 6 2 n n . 【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前n项和 . 【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列 n a及一个等比数列 n b对应项之积组成的数列考生在 解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大 导致了漏项或添项以及符号出错等两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对 齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项 外，剩下的1n项是一个等比数列 15.【2015 高考
42、浙江， 文 17】 （本题满分15 分）已知数列 n a和 n b满足， * 111 2,1,2(nN ), nn abaa * 1231 111 1(nN ) 23 nn bbbbb n . （1）求 n a与 n b； （2）记数列 nn a b的前 n 项和为 n T，求 n T. 【答案】 (1)2 ; n nn abn；(2) 1* (1)22() n n TnnN 【考点定位】1. 等差等比数列的通项公式；2. 数列的递推关系式；3. 错位相减法求和. 【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式以及数列的求和. 根据数列递推关系式推理得到 数列的性质和特点，以此得到数列的
43、通项公式，利用错位相减法计算新组合的数列的求和问题. 本题属于中 等题，主要考查学生基本的运算能力. 【反馈练习】 1 【广东省中山市第一中学2017-2018 学年高二上学期第二次统测数学（理）试题】在数列1，2，7， 10，13，中，2 19是这个数列的第（） A. 16项 B. 24项 C. 26项 D. 28项 【答案】 C 【解析】数列可化为1,3 1 1,321,331,341,， 所以31132 n ann， 所以322 1976n，解得26n，所以2 19是这个数列的第26项，故选C 2【江苏省常州市2018 届高三上学期武进区高中数学期中试卷（理） 】 已知数列 n a中，
44、1 1 2 a， 对 * Nn 都有 1 1 1 n n n a a a 成立，则 2018 a的值为 _. 【答案】 1 3 3 【广东省中山市第一中学2017-2018 学年高二上学期第二次统测数学（理）试题】若数列 n a的前n项 和 2 1 n Snn，则它的通项公式为_ 【答案】 11 222 n n a nn 【解析】由题意得，当1n时， 11 1aS， 当2n时， 2 2 1 1 11122 nnn aSSnnnnn， 所以数列的通项公式为 11 222 n n a nn 4 【广西玉林、贵港市2017 届高三下学期质量检测考试数学（理）试题】已知数列 n a中，11a， 1 3
45、 n n n a a a （ * nN）. （1）求证： 11 2 n a 是等比数列，并求 n a的通项公式 n a； （2）数列 n b满足31 ? 2 n nn n ba，求数列 n b的前n项和为 n T. 【答案】（1） 2 31 n n a （2） 1 2 4 2 n n n T 5 【安徽省淮北市第一中学2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（理）试题】已知数列 n a满足 1 1a， 且 122 n nnaa（2n且 * nN） . （1）求数列 n a的通项公式； （2）设数列 na 的前n项之和 n S，求证：23 2 n n S n. 【答案】（1） 1 2 2
46、n n an ； （ 2）见解析 【解析】（1）an=2an 1+2 n （2，且 nN *） 1 1 1 22 nn nn aa 1 1 1 22 nn nn aa ，数列 2 n n a 是以 1 2 为首项， 1 为公差的等差数列； 11 1 222 n n a nn 1 2 2 n n an ； （2）Sn= 12 131 222 222 n n ，2Sn= 231 131 222 222 n n ，两式相减可得 Sn=1+2 2+23+2n 1 1 2 2 n n =（32n）?2 n3，S n=（2n3）?2 n+3（2n3）?2n 23 n S n n 5 【安徽省阜阳市太和中学
47、2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（文）试题】已知各项均为正数的数 列 n a满足 22 11 2 nnnn aaa a，且 243 24aaa，其中 * Nn. （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 * 1 1N nn ban，数列 n b的前n项之和为 1nn SS，对任意的 * Nn，总有 1nn SS， 求实数的取值范围 . 【答案】 (1) 2 n n a (2) 1 , 2 实数的取值范围是 1 , 2 . 【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义以及已知数列的递推公式求通项，不等式恒成立问题，属于难 题. 由数列的递推公式求通项常用的方法有：（1）等差数列、等比数
48、列（先根据条件判定出数列是等差、等 比数数列）； （2）累加法，相邻两项的差成等求和的数列可利用累加求通项公式；（ 3）累乘法，相邻两项的 商是能求出积的特殊数列时用累乘法求通项；（4）构造法，形如 1 0,1 nn aqap pq的递推数列求 通项往往用构造法，即将 1 0,1 nn aqap pq利用待定系数法构造成 1nn amq am的形式， 再根据等比数例求出 n am的通项，进而得出 n a的通项公式 . 6【安徽省阜阳市太和中学2017-2018 学年高二上学期期中考试数学（文）试题】 （ 1） 设数列 n a满足 1 0a 且 1 11 1 11 nn aa ，求 n a的通项公式； （2）数列 n a的前n项和 32 n n S，求数列 n a的通项公式 . 【答案】 (1) * 1 N n n an n (2