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1、2019-2020 年高考数学专题 34 空间中线线角、线面角的求法黄金解题模板 【高考地位】 立体几何是高考数学命题的一个重点，空间中线线角、线面角的考查更是重中之重. 其求解的策略主 要有两种方法：其一是一般方法，即按照“作证解”的顺序进行；其一是空间向量法，即建立直 角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题. 【方法点评】 类型一空间中线线角的求法 方法一平移法 使用情景：空间中线线角的求法 解题模板：第一步首先将两异面直线平移到同一平面中； 第二步然后运用余弦定理等知识进行求解； 第三步得出结论 . 例 1 正四面体ABCD中，EF，分别为棱ADBC，的中点，
2、则异面直线EF与CD所成的角为 A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】 B 平移；利用特殊点( 线段的端点或中点) 作平行线平移；补形平移计算异面直线所成的角通常转化为解三 角形的问题处理，要注意异面直线所成角的范围为0, 2 。 【变式演练1】如图， 四边形ABCD是矩形，沿直线BD将ABD翻折成A BD，异面直线CD与A D 所成的角为, 则（） AA CA BA CA C.A CD DA CD 【答案】 B 考点：异面直线所成角的定义及运用. 【变式演练2】【2018年衡水联考】 在棱长为 1的正方体 1111 ABCDA B C D中， 点E，F分别是侧面 11 AA D D
3、 与底面ABCD的中心，则下列命题中错误的个数为（） / /DF平面 11 D EB；异面直线DF与 1 B C所成角为60； 1 ED与平面 1 B DC垂直； 1 1 12 FCDB V A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】 A 【解析】对于， DF 11 / / B D，DF平面 11 D EB， 11 B D平面 11 D EB，/ /DF平面 11 D EB，正确； 对于， DF 11 / / B D，异面直线 DF与1 B C所成角即异面直线 11 B D与 1 B C所成角， 11C B D为等边三 角形，故异面直线DF与 1 B C所成角为60，正确； 对于， 1
4、ED 1 A D， 1 ED CD ，且 1 A DCD=D ， 1 ED平面 11 A B DC，即 1 ED平面 1 B DC，正确； 对于， 11 CDF 1111 1 33412 FCDBBCDF VVS，正确， 故选： A 【变式演练3】设三棱柱 111 ABCABC 的侧棱与底面垂直，90BCA，2BCCA，若该棱柱的所有顶 点都在体积为 32 3 的球面上，则直线 1 B C 与直线 1 AC 所成角的余弦值为（） A 2 3 B 2 3 C 5 3 D 5 3 【答案】 B 【变式演练4】 如图所示， 正四棱锥PABCD的底面面积为3， 体积为 2 2 ，E为侧棱PC的中点，则
5、PA 与BE所成的角为（） A. 30 B. 45 C. 60 D. 90 【答案】 C 方法二空间向量法 使用情景：空间中线线角的求法 解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标； 第三步再利用cos a b a b 即可得出结论. 例 2、如图，直三棱柱 111 ABCA B C中， 1 3ACBCAA，ACBC，点M在线段AB上. （1）若M是AB中点，证明： 1 / /AC平面 1 BCM； （2）当2BM时，求直线 11 C A与平面 1 B MC所成角的正弦值 【答案】（1）详见解析（2） 6 3 （II ） 1
6、,ACBC CCABC平面, 故如图建立空间直角坐标系 1(0 3 3), (3 0 0),(0 3 0),(0 0 0)BABC， ， , 3 2BA , 1 3 BMBA= 1 (1, 1,0),(0,3,0)(1, 1,0)(1,2,0) 3 BMBACMCBBM=-=+=+-=， 令平面 1 B MC的法向量为( , , )nx y z=，由 1 0 0 n CB n CM ，得 0 20 yz xy 设 1z= 所以(2,1,1)n =-, 11 (3,0,0)C ACA=，设直线 11 C A与平面 1 B MC所成角为 q 11 11 |66 sin 3 |3 411 C An
7、C An q = + 故当 2BM = 时，直线 11 C A与平面 1 B MC所成角的正弦值为 6 3 . 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直 角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向 量；第四，破“应用公式关”. 例 3、如图，正方形AMDE的边长为2，BC、分别为线段AMMD、的中点，在五棱锥PABCDE中， F为棱PE的中点，平面ABF与棱PDPC、分别交于点GH、 （1）求证：/ /ABFG； （2）若PA底面ABCDE，且PA
8、 AE，求直线BC与平面ABF所成角的大小 【答案】（1）详见解析（2） 6 考点：线面平行判定定理，利用空间向量求线面角 【思路点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直 角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向 量；第四，破“应用公式关”. 【变式演练4】 已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_ 【答案】 3 6 考点：异面直线及其所成的角 【变式演练5】如图，在三棱柱 111 ABCA B C中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，4AB, 1 6AA. 若E
9、，F分别是棱 1 BB， 1 CC上的点，且 1 BEB E， 11 1 3 C FCC，则异面直线 1 A E与AF所成角的余 弦值为（） A 3 6 B 2 6 C 3 10 D 2 10 【答案】 D 【解析】 试题分析：以BC的中点O为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，则(23,0,0)A， 1(2 3,0,6) A， (0,2,3)E，(0,2,4)F， 1 ( 2 3,2, 3)AE，( 2 3,2,4)AF，设 1 A E，AF所成的角为，则 1 1 |42 cos 10 | |54 2 AE AF AEAF 考点：线面角 . 类型二空间中线面角的求法 方法一垂线法 使用情景：
10、空间中线面角的求法 解题模板：第一步首先根据题意找出直线上的点到平面的射影点； 第二步然后连接其射影点与直线和平面的交点即可得出线面角； 第三步得出结论 . 例 3 如图，四边形ABCD是矩形，1,2ABAD，E是AD的中点，BE与AC交于点F，GF平 面ABCD. G F E D C B A （）求证：AF面BEG； （）若AFFG，求直线EG与平面ABG所成角的正弦值. 【答案】（）证明见解析； （） 15 5 证法 2： （坐标法）证明1 BEAC KK，得BEAC，往下同证法1 证法 3： （向量法）以ABAD,为基底，ABADBEABADAC 2 1 ,，0ABAD ) 2 1 ()
11、(ABADABADBEAC 22 2 1 ABAD012 2 1 BEAC，往下同证法1 （2）在AGFRt中， 22 GFAFAG 3 6 ) 3 3 () 3 3 ( 22 在BGFRt中， 22 GFBFBG1) 3 3 () 3 6 ( 22 在ABG中， 3 6 AG，1ABBG 2 ) 6 6 (1 3 6 2 1 ABG S 6 5 6 30 3 6 2 1 设点E到平面ABG的距离为d，则 GFSdS ABFABG 3 1 3 1 ， ABG ABF S GFS d 10 30 6 5 3 3 1 2 2 2 1 2 2 ) 6 6 () 3 3 ( 2222 EFGFEG，设
12、直线EG与平面ABG所成角的大小为，则 EG d sin. 5 15 2 2 10 30 考点：线面垂直的判定，直线与平面所成的角 【点评】解决直线与平面所成的角的关键是找到直线上的点到平面的射影点，构造出线面角. 【变式演练6】 已知三棱柱 111ABCA B C的侧棱与底面边长都相等,1 A在底面ABC内的射影为ABC的中 心, 则 1 AB与底面ABC所成角的正弦值为（） A 1 3 B 2 3 C 3 3 D 2 3 【答案】 B 考点 : 直线与平面所成的角 【变式演练7】在四面体ABCD中，ABAD，1ABADBCCD，且ABDBCD平面平面， M为AB中点，则CM与平面ABD所成
13、角的正弦值为（） A 2 2 B 3 3 C 3 2 D 6 3 【答案】 D 考 点： 1平面与平面垂直；2直线与平面所成的角 方法二空间向量法 使用情景：空间中线面角的求法 解题模板：第一步首先建立适当的直角坐标系并写出相应点的空间直角坐标； 第二步然后求出所求异面直线的空间直角坐标以及平面的法向量坐标； 第三步再利用 a b sin a b 即可得出结论. 例 4 2018衡水金卷大联考 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中， 侧面平面，且，动点在棱上，且. （1）试探究的值，使平面，并给予证明； （2）当时，求直线与平面所成的角的正弦值. （2）取的中点, 连接. 则. 平面平面，平
14、面平面，且， 平面. ，且， 四边形为平行四边形，. 又，. 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，. 当时，有， 【变式演练8】 【 2018 浙江嘉兴市第一中模拟】如图，四棱锥, 底面为菱形，平面， ，为的中点，. （I ）求证：直线平面； （II ）求直线与平面所成角的正弦值. 【解析】 （I ）证明：， 又 又平面, 直线平面. （方法二）如图建立所示的空间直角坐标系. . 设平面的法向量， . 所以直线与平面所成角的正弦值为 【高考再现】 1. 【2017 课标 II ，理 10】已知直三棱柱 111 CC中，C120，2， 1 CCC1， 则异面直线 1与1 C所成角的余
15、弦值为（） A 3 2 B 15 5 C 10 5 D 3 3 【答案】 C 【考点】异面直线所成的角；余弦定理；补形的应用 【名师点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归 为共面问题来解决，具体步骤如下： 平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； 认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； 计算：求该角的值，常利用解三角形； 取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0, 2 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直 线所成的角。求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围。 2. 【2017 浙江， 9】如图，已知正
16、四面体DABC（所有棱长均相等的三棱锥），P，Q，R分别为AB，BC， CA上的点，AP=PB，2 BQCR QCRA ，分别记二面角D PR Q，D PQ R，D QR P的平面角为， 则 A n p n p np . 由题知二面角BPDA为锐角，所以它的大小为 3 . 5. 【2017 浙江， 19】（本题满分15 分）如图，已知四棱锥PABCD，PAD是以AD为斜边的等腰直角三 角形，ADBC/，CDAD，PC=AD=2DC=2CB，E为PD的中点 （）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值 【解析】 P A BC D E 【考点】求线面角 6. 【2017 江苏， 22】 如图 , 在平
17、行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD, 且AB=AD=2,AA1=3, 120BAD. （ 1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值； M F H Q N P A BC D E 【考点】空间向量、异面直线所成角 【名师点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直 角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向 量；第四，破“应用公式关”. 7.【2017 天津，文 17】 如图，在四棱锥PABCD中，AD平面PDC，ADBC，PDPB，1AD， 3BC，4CD，2PD. （I ）求异面
18、直线 AP与BC所成角的余弦值； （II ）求证：PD平面PBC； （）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 【反馈练习】 1. 【2018 河北邢台市育才中学模拟】如图，长方体 1111 ABCDA B C D的底面是边长为1的正方形，高为 2,MN、分别是四边形 11 BBC C和正方形 1111 A B C D的中心，则直线BM与DN的夹角的余弦值是（） A. 3 10 10 B. 7 10 30 C. 5 34 34 D. 10 6 【答案】 B 【解析】以 1 ,AB AD AA为, ,x y z轴建立空间直角坐标系，则： 1 2 11 17 10 2 ,0,1 ,2 ,cos,.
19、 22 230111 14 444 BMDNBM DN 本题选择B选项 . 点睛：异面直线所成的角与其方向向量的夹角：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异 面直线的夹角；否则向量夹角的补角是异面直线所成的角. 2 【山西大学附中2018 届高三第二次模拟测试数学（理）试题】已知三棱锥PABC的各棱长均相等， O是ABC的中心，D是PC的中点，则直线PO与直线BD所成角的余弦值为（） A. 2 3 B. 7 3 C. 1 2 D. 1 3 【答案】 A 故答案选A 点睛：本题考查异面直线所成角的问题，根据条件先通过直线的平行构造出异面直线所成角的平面角，然 后进行解三角形，注意题目
20、中一些数量关系 3 【 2018 黑龙江齐齐哈尔市第八中学模拟】已知正方体 1111 ABCDA B C D，E是棱 CD的中点， 则直线 1 A E 与直线 1 BC所成角的余弦值为（） A. 0 B. 1 3 C. 3 3 D. 2 2 3 【答案】 A 4. 【 2018湖 南 五 市 十 校 教 研 教 改 共 同 体 联 考 】 如 图 ， 四 边 形ABCD与BDEF均 为 菱 形 ， 60DABDBF，且FAFC. （1）求证：AC平面BDEF； （2）求直线AF与平面BCF所成角的正弦值. 则 10 sincos, 5 AF n AF n AFn . 5 【2018 湖北八校第
21、一次联考】四棱锥SABCD中，ADBC，,BCCD 0 60SDASDC， ADDC 11 22 BCSD，E为SD的中点 . （1）求证：平面AEC平面ABCD； （2）求BC与平面CDE所成角的余弦值. 面ECD面OEF, OF在面ECD射影为EF，EFO的大小为BC与面ECD改成角的大小, 设 ADa，则 2 a OF， 3 2 EFa 3 3 OF cosEFO EF , 即BC与ECD改成角的余弦值为 3 3 . 6 【 2018 河南郑州市第一中学模拟】如图，在四棱柱 1111 ABCDA B C D为长方体，点P是CD上的一点 . （2）若2AB， 1 1BCCC，当(01)DP
22、DC时，直线 1 AC与平面 1 PBC所成角的正弦值 是否存在最大值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 则 1 1 2 1 2 1 sin 1 62 4 1 n AC nAC 2 1 2 1 1 62 4 1 令 1 2 1 t，则3,t ， 1 2 1 t ， 所以 22 2 11 sin 3 1112 6 63 62 11 66 4 4 t t t t t 所以当 11 6t ，即6t，时，sin取得最大值1. 7 【 2018 广 西 玉 林 市 陆 川 中 学 期 中 】 如 图 所 示 ，PA与 四 边 形ABCD所 在 平 面 垂 直 ， 且 ,PABCCDBD ABAD
23、 PDDC. （1）求证：ABBC； （2）若3,PAE为PC的中点，设直线 PD与平面BDE所成角为 ，求sin. 8. 【2018 吉林舒兰第一高级中模拟】如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，2ABBC， 7ADCD，3PA，120ABC，G为线段PC上的点 （1）证明：BD平面PAC； （2）若G是PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值 【解析】（1）证明：在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD， PABD. 2ABBC，7ADCD. 9. 【 2018广 雅 中 学 、 东 华 中 学 、 河 南 名 校 联 考 】 如 图 ， 在 三 棱 柱 111 ABCA B
24、C中 ， 0 11 ,90 ,BABCBBABCBB平面ABC，点E是 1 A B与 1 AB的交点，点D在线段AC上， 1 / /BC平面 1 A BD. （1）求证： 1 BDAC； （2）求直线 1 AC与平面 11 A B D所成的角的正弦值. (2) 令 1AB ，则 1 1BCBB，如图，以B为坐标原点，建立空间直角坐标系Bxyz， 则 11 1 1 1,0,1 ,0,0,1 ,0,1,0 ,0 2 2 ABCD ，得 111 1 1 1,0,0 , 1 2 2 B AB D ， 设, ,mx y z是平面 11 A B D的一个法向量， 则 11 11 1111 0 11 0 2
25、2 m B Ax mB A mB Dm B Dxyz ， 令 1z ，得0,2,1m， 又 1 1,1, 1AC, 设直线 1 AC与平面 11 A B D所成的角为， 则 115 sin 5 53 . 10. 【2018 河南中原名校联考】在三棱柱 111 ABCA B C中，侧面 11 ABB A为矩形，2AB， 1 2 2AA， D是 1 AA的中点，BD与 1 AB交于点O，且CO平面 11 ABB A （1）证明：平面 1 AB C平面BCD； （2）若OCOA， 1 AB C的重心为G，求直线GD与平面ABC所成角的正弦值 设平面ABC的法向量为, ,nx y z， 2 6 2 3
26、 ,0 33 AB， 2 32 3 0, 33 AC， 由 0, 0, n AB n AC 可得 2 62 3 0, 33 2 32 3 0, 33 xy yz 整理得 20, 0, xy yz 令1y，则1z， 2 2 x， 2 ,1, 1 2 n， 设直线GD与平面ABC所成角，则 62 32 32 ,1, 1 3992 3 65 sincos, 65 2610 272 GD n GD n GDn ， 所以直线GD与平面ABC所成角的正弦值为 3 65 65 点睛：本题考查了空间线线垂直，线面垂直，面面垂直，以及用坐标法求线与面所成角的三角函数值，属 于中档题 .解题时，首先观察图形，建立
27、合适的空间直角坐标系，写出点的坐标，通过计算得到向量坐标， 利用相关平行、垂直、夹角的公式计算即可，注意运算得准确性. 11. 【2018 贵州黔东南州联考】如图所示，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为菱形，PAD为正 三角形，且,E F分别为,AD AB的中点， PE 平面ABCD， BE 平面PAD （1）求证：BC平面PEB； （2）求EF与平面PDC所成角的正弦值 （2）解： 12. 【2018 广西钦州市质检】如图，四棱锥底面为正方形，已知平面，点、 分别为线段、的中点 . （1）求证：直线平面； （2）求直线与平面所成的角的余弦值. （2）由于，以，为 ， ， 轴建立空间直角坐标系， 设，则， 则. 设平面的法向量为. 所以. 令，所以. 所以平面的法向量为. 则向量与的夹角为，则. 则与平面夹角的余弦值为.