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1、2019-2020 年高考文科数学试题及答案 本试卷满分150 分，考试时120 分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效， 第一部分（选择题共 40 分） 一、选择题（共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项） 1已知集合1,0,1A，| 11Bxx，则AB（） A0B1,0C0,1D1,0,1 2设a，b，cR，且ab，则（） AacbcB 11 ab C 22 abD 33 ab 3下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)上单调递减的是（） A 1 y x B x yeC 2 1yxDlgyx 4在复平面内，复数(2)ii对应的点位
2、于（） A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 5在ABC中，3a，5b， 1 sin 3 A，则sin B（） A 1 5 B 5 9 C 5 3 D1 6执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A1B 2 3 C 13 21 D 610 987 7双曲线 2 2 1 y x m 的离心率大于2的充分必要条件是 A 1 2 mB1m C1mD2m 8如图，在正方体 1111 ABCDA B C D中，P为对角线 1 BD的三等分点，则P到各 顶点的距离的不同取值有（） A3个B4个C5个D6 个 第二部分（选择题共 110 分） 二、填空题（共6小题，每小题5 分，共 30 分） 9若
3、抛物线 2 2ypx的焦点坐标为(1,0)，则p，准线方程为。 10某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为。 11若等比数列 n a满足 24 20aa， 35 40aa，则公比q；前n项和 n S。 12设D为不等式组 0 20 30 x xy xy 所表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最 小值为。 13函数 1 2 log,1 ( ) 2 ,1 x xx f x x 的值域为。 14向量(1, 1)A，(3,0)B，(2,1)C，若平面区域D由所有满足APABAC（12， 01）的点P组成，则D的面积为。 三、解答题（共6小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明
4、，演算步骤） 15 （本小题共13 分） 已知函数 21 ( )(2cos1)sin 2cos4 2 f xxxx （1）求( )f x的最小正周期及最大值。 （2）若(,) 2 ，且 2 () 2 f，求的值。 16 （本小题共13 分） 下图是某市3 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100 表示空气质量优 良，空气质量指数大于200 表示空气重度污染。某人随机选择3 月 1 日至 14 日中的某一天到达该 市，并停留2 天。 （1）求此人到达当日空气重度污染的概率。 （2）求此在在该市停留期间只有一天空气重度污染的概率。 （3）由图判断，从哪天开始连续三天的空气
5、质量指数方差最大？（结论不要求证明） 17 （本小题共14 分） 如图，在四棱锥 PABCD中，/ /ABCD，ABAD，2CDAB，平面PAD 底面 ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点，求证： （1）PA底面ABCD （2）/ /BE平面PAD （3）平面BEF平面PCD 18 （本小题共13 分） 已知函数 2 ( )sincosf xxxxx （1）若曲线( )yf x在点( ,( )a f a处与直线yb相切，求a与b的值。 （2）若曲线( )yf x与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。 19 （本小题共14 分） 直线ykxm（0m）W： 2 2 1 4 x y
6、相交于A，C两点，O是坐标原点 （1）当点B的坐标为(0,1)，且四边形OABC为菱形时，求AC的长。 （2）当点 B在W上且不是W的顶点时，证明四边形OABC不可能为菱形。 20 （本小题共13 分） 给定数列 1 a， 2 a， n a。对1 ,2 ,3 ,1in，该数列前i项的最大值记为 i A，后ni 项 1i a， 2i a， n a的最小值记为 i B， iii dAB。 （1）设数列 n a为3，4，7，1，写出 1 d， 2 d， 3 d的值。 （2）设 1 a， 2 a， n a（4n）是公比大于1的等比数列， 且 1 0a，证明 1 d， 2 d， 1n d 是等比数列。
7、（3）设 1 d， 2 d， 1n d 是公差大于 0的等差数列，且 1 0d，证明 1 a， 2 a， 1n a 是 等差数列。 2013 年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷）参考答案 一、选择题（共8小题，每小题5 分，共 40 分） 1B 2D 3 C 4A 5B 6C 7C 8 B 二、填空题（共6小题，每小题5 分，共 30 分） 92，1x103112， 1 21 n 12 2 5 5 13(, 2)143 三、解答题（共6小题，共80 分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤） 15 （本小题共13 分） 解： （1） 21 ( )(2cos1)sin 2cos4
8、2 f xxxx 1 cos2 sin2cos4 2 xxx 11 sin4cos4 22 xx 2 sin(4) 24 x 所以，最小正周期 2 42 T 当42 42 xk（kZ），即 216 k x（kZ）时 max 2 ( ) 2 f x （2）因为 22 ()sin(4) 242 f 所以sin(4)1 4 因为 2 ，所以 917 4 444 所以 5 4 42 ，即 9 16 16 （本小题共13 分） 解： （1）因为要停留2 天，所以应该在3 月 1 日至 13 日中的某天到达，共有13 种选择，其间重 度污染的有两天， 所以概率为 1 2 13 P （ 2） 此人停留的两天
9、共有13 种选择， 分别是：(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)， (7,8)，(8,9)，(9,10)，(10,11)，(11,12)，(12,13)，(13,14) 其中只有一天重度污染的为(4,5)，(5,6)，(7,8)，(8,9)，共 4 种， 所以概率为 2 4 13 P （ 3）因为第5，6， 7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。 17 （本小题共14 分） 证明：（ 1）因为 PAAD，平面PAD 底面ABCD且平面PAD底面 ABCDAD 所以PA底面ABCD （ 2）因为E和F分别是CD和PC的中点，所以/ /EFPD， 而EF平面
10、PAD，PD平面PAD，所以/ /BE平面PAD （3）因为 PA 底面 ABCD，CD 平面 ABCD 所以PA CD，即CDPA 因为 ABAD，/ /CDAB，所以/ /CDAD 而PA平面PAD，AD平面PAD，且PAADA 所以CD平面PAD 因为/ /ABCD，所以2CDAB，所以四边形ABED是平行四边形， 所以/ /BEAD，而BE平面PAD，AD平面PAD 所以/ /BE平面PAD，同理/ /EF平面PAD， 而EF平面BEF，BE平面BEF且EFBEE 所以平面/ /BEF平面PAD， 所以CD平面/ /BEF 又因为CD平面PCD 所以平面 BEF 平面PCD 18 （本
11、小题共13 分） 解： （1）( )2cos(2cos )fxxxxxx 因为曲线( )yf x在点( ,( )a f a处的切线为yb 所以 ( )0 ( ) fa f ab ，即 2 2cos0 sincos aaa aaaab ，解得 0 1 a b （2）因为2cos0x 所以当0x时( )0fx，( )f x单调递增 当0x时( )0fx，( )f x单调递减 所以当 0x 时，( )f x取得最小值(0)1f， 所以b的取值范围是(1,) 19 （本小题共14 分） 解： （1）线段OB的垂直平分线为 1 2 y， 因为四边形OABC为菱形， 所以直线 1 2 y与椭圆的交点即为A
12、，C两点 对椭圆 2 2 1 4 x y，令 1 2 y得3x 所以2 3AC （ 2）方法一：当点 B不是W的顶点时， 联立方程 2 2 1 4 ykxm x y 得 222 (14)8440kxkmxm 设 11 (,)A xy， 12 (,)C xy， 则 122 8 14 km xx k ， 2 12 2 44 14 m x x k ， 1212 yyk xmk xm 12 ()2k xxm 2 2 8 2 14 k m m k 2 2 14 m k 若四边形OABC为菱形，则OAOC，即 22 OAOC 所以 2222 1122 xyxy 即 12122121 ()()()()xxx
13、xyyyy 因为点B不是W的顶点，所以 12 0xx， 所以 1221 2112 xxyy yyxx 即 2 2 8 14 2 14 km k k m k ，即 4kk 所以0k 此时，直线AC与y轴垂直，所以B为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾， 所以四边形OABC不可能为菱形 方法二： 因为四边形OABC为菱形，所以OAOC， 设OAOCr（1r） 则A，C两点为圆 222 xyr与椭圆 2 2 1 4 x y的交点 联立方程 222 2 2 1 4 xyr x y 得 2 24(1) 3 r x 所以A，C两点的横坐标相等或互为相反数。 因为点B在W上 若A，C两点的横坐标相等，点B应为
14、椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。 若A，C两点的横坐标互为相反数，点B应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。 所以四边形OABC不可能为菱形。 20 （本小题共13 分） 解：（ 1） 111 312dAB， 222 413dAB， 333 716dAB （ 2）因为 1 a， 2 a， n a（4n）是公比大于1的等比数列，且 1 0a 所以 1 1 n n aa q 所以当1,2,3,1kn时， 1kkkkk dABaa 所以当2,3,1kn时， 11 111 (1) (1) kkkk kkkk daaaqq q daaaq 所以 1 d， 2 d， 1n d 是等比数列。 （3）若 1 d
15、， 2 d， 1n d是公差大于0的等差数列，则 121 0 n ddd 1 a， 2 a， 1n a 应是递增数列，证明如下： 设 k a是第一个使得 1kk aa的项，则 1kk AA， 1kk BB，所以 111kkkkkk dABABd，与已知矛盾。 所以， 1 a， 2 a， 1n a 是递增数列 再证明 n a数列 n a中最小项，否则 kn aa（2,3,1kn），则 显然1k，否则 1111111 0dABaBaa，与 1 0d矛盾 因而2k，此时考虑 1111 0 kkkkk dABaa，矛盾 因此 n a是数列 n a中最小项 综上， kkkkn dABaa（2,3,1kn） 于是 kkn ada，也即 1 a， 2 a， 1n a是等差数列