云南师范大学热力学统计物理期末复习讲解.pdf

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1、1 各章知识点整理和复习 第一章热力学的基本定律 知识点 1、热力学第一定律dUdQdW 2、热力学第二定律 3、热力学基本方程dUTdSpdV 4、热力学第二定律的数学表述dUTdSpdV 5、克劳修斯熵 B R BA A d Q SS T ，玻尔兹曼熵lnSk 6、熵增加原理。 复习题 1、简述热力学第二定律及其统计解释。 参考： 热力学第二定律的开尔文表述：热不可能全部转变为功而不引起其他变化。热力学 第二定律的克劳修斯表述：热量不能自动地从低温物体传向高温物体。或第二类永动机不可 能。 热力学第二定律的微观意义是，一切自然过程总是沿着分子热运动的无序性（或混乱 度）增大的方向进行, 系

2、统对应的微观状态数增大，根据玻尔兹曼熵lnSk，因此系统 的熵值增加，即熵增加原理。 2、简述熵增加原理及其统计解释。 参考：孤立系统中所进行的自然过程总是沿着熵增大的方向进行。 根据玻尔兹曼熵公式lnSk，可知孤立系统中所进行的自然过程总是向着微观状 态数（或混乱度）增大的方向进行。 第二章均匀物质的热力学性质 知识点 1、基本热力学函数的全微分和麦氏关系的得出。 2 dUTdSpdV dHTdSVdp dFSdTpdV dGSdT Vdp ()() ()() ()() ()() SV Sp TV Tp Tp VS TV pS Sp VT SV pT 2、麦氏关系的应用。 2、气体的节流过程

3、。 3、特性函数的应用。 4、热辐射（平衡辐射）的热力学结果，斯特方玻尔兹曼定律。 复习题 1、写出焦汤系数的数学表达式，简述节流过程的特点；利用焦汤系数分析通过节流产生致 冷效应、致温效应和零效应的原理。（P57） 2、证明能态方程 TV Up Tp VT 。 参考：选 T、V 作为状态参量时，有 VT UU dUdTdVTdSpdV TV VT SS dSdTdV TV 得： VT SS dUTdTTp dV TV 比较得： TT US Tp VV 将麦氏关系 TV Sp VT 代入，即得 TV Up Tp VT 3 3、证明焓态方程 p T HV VT pT 。 参考：选 T、p 作为状

4、态参量时，有 p T HH dHdTdpTdS Vdp Tp 带入 p T SS dSdTdp Tp 得： p T SS dHTdTVTdp Tp 比较得： T T HS VT Vp 将麦氏关系 p T SV pT 代入即得 Tp HV VT VT 4、利用麦氏关系计算任意简单系统Cp与CV之差。 参考：因为()() pVpV SS CCTT TT (,),S TpS TVTp ()()() () pVTp SSSV TTVT 所以() () pVTp SV CCT VT () () Vp pV T TT 111 () ,() ,() , pVTTT VpV p VTpTVp 且 2 () (

5、) pVVp T pVVT CCTTp V TT 5、理想气体分别经准静态等压过程和等容过程，温度由 1 T升至 2 T，假设是常数，试证明 前者的熵增是后者的倍。 参考： （法一）由 0 ( , )lnln p S T pCTnRpS 等压过程的熵变 2 1 ln pp T SC T 由 0 ( ,)lnln V S T VCTnRVS 4 等容过程的熵变 2 1 ln VV T SC T pp VV SC SC （法二）由 R dQ dS T 理想气体准静态等压过程 2 1 ln ln pp ppp dQC dT T dSSC TTT 理想气体准静态等容过程 2 1 ln ln VV VV

6、V dQC dTT dSSC TTT 所以 pp VV SC SC 6、求证等温压缩系数与绝热压缩系数之比等于定压热容量与定容热容量之比。 参考：因为 1 () TT V Vp ， 1 () SS V Vp 所以 1 () 1 () T T S S V Vp V Vp (,) ( ,) (,) ( ,) V T p T V S p S ( ,) ( ,) (,) (,) p S p T V S V T () () p V S T S T p V C C 7、试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的 温度降落。 参考：气体在准静态节流过程中 () () 1 (

7、) () T p H pp p H V VT Tp T TVV H pCC T 气体在准静态绝热膨胀过程中 () () () / () T p S pp p S V TTVp T S pCTC T 所以()()0 p SH C TT ppT 即在相同的压强降落下气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度 降落。 8、已知简单热力学系统的吉布斯函数为( ,)G T p，求系统的熵、物态方程、内能、焓和自 5 由能。 参考：因为()() pT GG dGSdTVdpdTdp Tp 可得熵和物态方程() ,() pT GG SV Tp 内能()() Tp GG UGpVTSGpT pT

8、焓()p G HGTSGT T 自由能()T G FGpVGp p 9、已知简单热力学系统的特性函数自由能为( ,)F T V，求系统的熵、 物态方程、 内能和焓。 参考：自由能的全微分()(), VT FF dFdTdV TV 比较热力学方程dFSdTpdV 得熵和物态方程()V F S T ()T F p V 内能 F UFSTFT T 焓 FF HUpVFTV TV 吉布斯函数 FFFF GHSTFTVTFV TVTV 10、已知简单热力学系统的特性函数内能U，利用特性函数的性质确定其它热力学函数。 11、已知简单热力学系统的特性函数焓H，利用特性函数的性质确定其它热力学函数。 第三章单

9、元系的相变 知识点 1、热动平衡判据（熵判据、自由能判据、吉布斯函数判据等） 2、单元系的复相平衡条件 3、单元系的复相平衡性质（相图、相平衡曲线、克拉伯龙方程） 4、相变的分类（艾伦费斯特的分类） 复习题 1、写出均匀系统平衡的稳定性条件；假如子系统的温度由于涨落或某种外界影响而略高于 媒质（ T） ，或者子系统的体积发生收缩（V） ，试用平衡的稳定性条件对该简单系统 6 作平衡稳定性分析。 （P79） 2、简述熵判据；写出单元两相系的热学平衡条件、力学平衡条件和相变平衡条件。如果在 一 个 孤 立 系 统 内 部 引 入 内 能 、 体 积 和 摩 尔 数 的 虚 变 动 所 引 起 的

10、熵 变 为 11 ()()() pp SUVn TTTTTT ，试用熵增加原理对该孤立系统 内部各相之间趋向平衡的过程作热学、力学和相平衡分析。（P8283） 参考：熵判椐表述为，等体积等内能系统（孤立系统）的熵永不减少，稳定平衡态的熵值最 大，系统处在稳定平衡状态的必充条件为虚变动引起的熵变0S。 TT pp 热学平衡条件 力学平衡条件 相变平衡条件 如果孤立系统内部处于非平衡状态，熵增原理要求趋向平衡的过程必为熵增加的不可逆过程 11 ()()()0 pp dSdUdVdn TTTTTT （1）如果只有热平衡条件未能满足，要求 11 ()0dSdU TT ，这时温度差将导 致能量从高温相自

11、发地转移到低温相去，从而使两相温度趋于一致。 （2）若只有力学平衡条件未能满足，要求()0 pp dSdV TT ，这时压强差将导 致压强大的相膨胀，压强小的相收缩，以使两相压强趋于一致。 (3)若只有相平衡条件还未满足，要求()0dSdn TT ，这时物质将由化学 势高的相转移到化学势低的相去，以使两相化学势趋于一致。 3、习题3-1，证明下列平衡判据：（1）在等温等容条件下，系统稳定平衡态的自由能最 小；（ 2）在等温等压条件下，系统稳定平衡态的吉布斯函数最小。 参考：由 dQ dSdUTdSpdV T （1）因为FUTSdFdUTdSSdTdFSdTpdV 在等温等容条件下，0dF，即自

12、由能永不增加，若系统达到F为极小的状态，就不 可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态。 （2）因为 GUTSpVdGdUTdSSdTpdVVdpdGSdTVdp 在等温等压条件下，0dG，即吉布斯函数永不增加，若系统达到G为极小的状态， 7 就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态。 4、推导一级相变的两相平衡曲线斜率，即克拉伯龙方程 () mm dpL dTT VV 。 参考：在相平衡曲线上，两相的化学势应相等，即： ( ,)( ,)T pT p 两边微分，得dd 因为 mm dS dTV dp 所以 mmmm SdTVdpSdTVdp 由此可得 mm mm SSdp dT

13、VV 相变潜热() mm LT SS 所以 () mm dpL dTT VV 。 5、利用二级相变的性质导出爱伦费斯特方程。 参考：对简单系统，选择T,p 为状态参量，由v=v(T,p) ()() pTT vv dvdTdpv dTvdp Tp 在相图上相邻两点，二级相变要求两相的比体积变化连续 (1)(2) dvdv (1)(1)(1)(1)(2)(2)(2)(2) TT vdTvdpvdTvdp 得爱伦费斯特方程 (2)(1) (2)(1) TT dp dT 同理，对简单系统选择T,p 为状态参量，由s=s(T,p) ()() p pT c ss dsdTdpdTv dp TpT ()()

14、 Tp sv pT 在相图上相邻两点，二级相变要求两相的比熵变化连续 8 (1)(2) dsds ( 1 )( 2 ) ( 1 )( 2 )pp cc dTvdpdTvdp TT 得艾伦费斯特方程 (2)(1) (2)(1) () pp cc dp dTTv 第六章近独立系统的最概然分布 知识点 1、等概率原理和最概然分布。 2、三种系统（玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统）的定义和区别。 2、 三 种 分 布 （ 玻 尔 兹 曼 分 布 l ll ae、 玻 色 分 布 1 l l l a e 、 费 米 分 布 1 l l l a e ） 复习题 1、解释等概率原理和最概然分布。 参考： 对

15、于处在平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相等的。因 此，某种分布出现的概率应与其对应的微观状态数成正比，所以对应的微观状态数最多的分 布，出现的几率最大，称为最概然分布。 2、简述玻尔兹曼系统、玻色系统和费米系统的特点（P176） 。 参考： 玻尔兹曼系统由可以分辨的全同近独立粒子组成，且处在一个个体量子态的粒子数 不受限制； 玻色系统由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个个体量子态上的粒子 数不受限制； 费米系统由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个个体量子态上的粒 子数受泡利不相容原理限制。 3、习题 6-1、6-2、6-3、 6-4。 第七章玻尔兹曼统计

16、知识点 1、玻尔兹曼系统热力学量的统计表达式。 2、用统计物理的方法推导理想气体物态方程。 3、麦克斯韦速度分布律的得出和应用。 4、经典统计的能均分定理。 5、经典统计处理理想气体的结果。 6、量子统计处理理想气体的结果。 9 7、量子统计对固体的处理。 8、量子统计对顺磁性固体的处理。 复习题 1、写出经典极限条件（或非简并条件）的三种表述，并说明满足经典极限条件的玻色系统 和费米系统的分布和微观状态数和玻尔兹曼系统的关系。 参考：经典极限条件（或非简并条件）的三种表达1 l l a ，1e， 3 1n 满足经典极限条件的玻色系统和费米系统的分布和玻尔兹曼系统的分布是一致的，即服从玻 尔兹

17、曼分布， 但是微观状态数和玻尔兹曼系统的微观状态数不同，有 ! M B B EF D N 。 2、用经典统计和量子统计方法处理单原子分子理想气体得到的熵分别为 2 0 332 l nl n1l n () 22 C mk SNkTNkVNk h 2 3352 l nl nl n () 223 Q Vm k SN kTN kN k Nh 试讨论这两个熵的性质。(P212213) 3、什么是能均分定理，用能均分定理求解双原子分子理想气体的内能和热容量时，为何出 现与实验不符的情况。 参考：对于处在温度为T 的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值等于 1 2 kT。因为能均分定理是将系统

18、中的粒子看作经典粒子，其能量是连续的。而实际的粒子 都应看作量子力学的粒子，能量是不连续的。如果粒子能级间距与热运动能量kT 相比很小 的情况下， 粒子能量可看作准连续的，此时能均分定理得到的结果与实验相符，如平动和转 动的情形。 如果粒子能级间距与热运动能量相比是同一量级或更大的情况，如振动和电子能 级，用经典统计的能均分定理得到的结果与实验不符。 4、为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？ 参考： 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为110 eV，相应的特 征温度为 45 K10 10。 在常温或低温下， 电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的

19、概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 5、为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？ 参考： 因为双原子分子的振动特征温度 3 K 10 v ，在常温或低温下kT k v，振子通过 热运动获得能量k v 从而跃迁到激发态的概率极小，因此对热容量的贡献可以忽略。 6、用能均分定理分别求（1）单原子分子理想气体；（2）双原子分子理想气体；（3）固体； 10 （4）平衡辐射场的内能U 和定容热容量 CV，比较该结果与实验结果相符和不符的情况， 并利用量子统计的结论解释实验结果。 7、 （ 1）将单原子分子理想气体当作经典系统，用经典统计方法求理想气体状态方程；

20、（2） 将单原子分子理想气体当作满足经典极限条件的玻色费米系统，用量子统计方法求理想气体 状态方程。 8、 （ 1）把单原子分子理想气体看作满足经典极限条件的玻色（费米）系统，用量子统计方 法求系统的熵； （2）把单原子分子理想气体看作经典系统，用经典统计方法求系统的熵。 9、已知双原子分子能量的经典表达式为 222222222 2 1111 ()()() 22sin2 xyzr ppppppmr mIm （1）用经典统计的方法计算分别计算平动、转动和振动配分函数； （2）分别计算平动、转动和振动内能U 和定容热容量CV，并与能均分定理得到的结果做 比较。 10、已知双原子分子转动能量的量子表

21、达式为 2 (1) 0,1,2, 2 r l l l I h L，简并度为21l （1）试用量子统计的方法计算转动配分函数； （2）计算转动内能U 和转动定容热容量CV。 11、已知双原子分子振动能量的量子表达式为 1 (),0,1,2 2 n nnhL （1）试用量子统计的方法计算振动配分函数； （2）计算振动内能U 和振动定容热容量CV。 12、试根据三维麦氏速率概率分布律 2 3 2 2 2 ( )4 2 m v kT m v dvev dv kT ，计算三维自由 粒子的速率和动能的涨落。 参考： （1） 速率的涨落 222 ()vvvv 2 3 2 3 2 00 8 ( )4 2 m

22、v kT mkT vvw v dvv edv kTm 2 3 2 224 2 00 3 ( )4 2 m v kT mkT vv w v dvv edv kTm 所以 2 388 ()( 3) k Tk Tk T vv mmm （ 2）能量的涨落 222 () 11 kTdvev kT m mdvvwvmvm v kT m 2 3 ) 2 (4 2 1 )( 2 1 2 1 0 2 42/322 2 22 0 2 62/3242422 4 15 ) 2 (4 4 1 )( 4 1 4 1 2 Tkdvev kT m mdvvwvmvm v kT m 222222 2 22 2 3 4 9 4

23、15 )(TkTkTk 13、试根据二维麦氏速率概率分布律 2 2 ( )2 2 m v kT m v dvevdv kT ，试求二维自由粒子 的（ 1）速率分布函数f(v)； （2）最概然速率、平均速率和方均根速率；（3）速率和动能的 涨落。 参考： （1）速率分布函数 2 2 ( )2 2 m v kT m f vnev kT （2）最概然速率 令 2 2 2 ( ) 2()(1)0 2 m v kT df vmm nve dvkTkT 解出 m kT v m 平均速率 2 2 2 0 ( )2 () 22 m v kT mkT vvv dvv edv kTm 2 223 2 0 2 (

24、)2 () 2 m v kT mkT vvv dvv edv kTm 方均根速率 2 2 s kT vv m （3）速率的涨落 2222 ()(4) 22 kTkTkT vvvv mmm 14、导出含有N 个原子的爱因斯坦固体的内能和热容量表达式： 33 2 1 N UN e ， 2 / 2 / 3 1 E E T E V T e CN k T e 参考： 按爱因斯坦假设，将 N 个原子的运动视为3N 个线性谐振子的振动，且所有谐振子的 振动频率相同。谐振子的能级为：(1/ 2)(0,1,2)nn 12 则，振子的配分函数为： /2 (1/2)/2 1 00 () 1 nn nn e Zeee

25、 e 1 1 lnln(1) 2 Ze 1 ln3333 3 2121 ZNeN UNNN ee 2 22 1 3 (1) V V V UUe CNk TkTkTe 引入爱因斯坦特征温度 E：E k，即得： 2 / 2 / 3 1 E E T E V T e CNk T e 15、 导出爱因斯坦固体的熵表达式：31 1 lnSNke e 解：设固体系统含有N 个原子，按爱因斯坦假设，将N 个原子的运动视为3N 个线性谐振 子的振动，且所有谐振子的振动频率相同。谐振子的能级为： 0, 1, 2 1 () ,(,) 2 nn 则，振子的配分函数为： 1 1 2 () 2 1 01 n n e e

26、e 1 1 11 (1) , 22 1 ln lnlne e 1 1 3()3(1) 1 ln lnlnSNkNke e 16、顺磁固体体积V 中 N 个磁性离子定域在晶体的特定格点上，在密度较低，彼此相距足 够远时相互作用可以忽略，这时顺磁性固体可以当作定域系统。假定磁性离子磁矩在外磁 场 B 中有两个非简并的分离能级= B。试求（ 1）配分函数；（2）物态方程； （3）顺磁 固体的内能（ 4）顺磁固体的熵。 参考： （1）配分函数1 l BB l l zeee （2）内能 1 lntanh BB BB eeB UNZNBN B eekT 13 （3）熵 11 (lnln) ln 2lnco

27、sh()tanh() SNkZZ BBB Nk kTkTkT 1 1 2() lnln()lnln 2ln cosh() 2 () lnln()tanh() BB BB BB BB BB eeB Zee kT B eeB ZeeB eekT 第八章玻色和费米统计 知识点 1、玻色统计和费米统计中热力学量的统计表达式。 2、弱简并理想玻色气体和费米气体。 3、玻色系统在临界温度以下的玻色爱因斯坦凝聚。 4、将辐射场（平衡辐射）视为光子气体，应用玻色统计处理的结果。 5、将金属中的自由电子视为自由电子气体，用费米统计处理的结果。 复习题 1、简述弱简并下理想费米气体和理想玻色气体的等效附加内能和相

28、互作用的性质。 参考：弱简并费米气体的附加内能为正而弱简并玻色气体的附加内能为负。量子统计关联使 费米子间出现等效的排斥作用，玻色粒子间则出现等效的吸引作用。 2、比较绝对零度下理想费米气体和玻色气体性质。 参考：在绝对零度下理想玻色气体将全部处于基态，而实际上理想玻色气体在低于临界温度 时就有宏观量级的玻色子开始在基态聚集，出现玻色爱因斯坦凝聚现象。处于基态的 玻色子称为玻色凝聚体，玻色凝聚体的能量、动量、速度、压强和熵均为零。 理想费米气体在绝对零度时按泡利不相容原理，不能全部处于基态，只能依次占据从 基态到费米能级的各激发态，因此在绝对零度下费米系统的费米能量、费米动量、费米 速度和费米

29、压强均不为零，只有熵为零，符合热力学第三定律。 3、写出普朗克公式和维恩位移公式；用维恩位移公式解释可以通过人眼的色觉判断辐射体 温度的相对高低的原因。 简答：普朗克公式 3 23 (,) 1 kT V UT dd c e h h 和维恩位移公式为2.822 m kT h 人眼观测辐射体时，只能感受辐射能量密度最强的频段（极值点附近） ，根据维恩位 14 移定律，辐射体温度与峰值频率成正比，因此，辐射体温度越高，峰值频率值越大，表 观上程蓝或紫色。反之，辐射体温度越低，峰值频率越小，表观上程红色。因此，可由 辐射体的颜色定性判断辐射体温度的相对高低。 4、简述玻色爱因斯坦凝聚现象；谈谈玻色爱因

30、斯坦凝聚与气-液相变之间的差别。 参考： （1）玻色爱因斯坦凝聚是量子效应的结果，它是在动量空间发生的凝结，而气体凝 结成液体是在坐标空间发生的凝结。 （2）发生气 -液相变必须存在分子之间的相互作用力，没有相互作用相变是不可能 发生的。玻色爱因斯坦凝聚是对理想玻色气体而言的，粒子之间已忽略相互作用，由 于微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能为负，玻色粒子间出现等 效的吸引作用从而使得“ 相变 ” 成为可能。 5、将空窖辐射视为平衡态光子气体系统，光子是能量为的玻色子，试由玻色分布，导 出普朗克黑体辐射公式： 3 23/ (,) 1 kT V UT dd c e。 参考：在体积

31、V 内，动量在 p p+dp 范围的光子的量子态数为： 2 3 8 V p dp h 由 = cp，可得：=p cc 故，在体积V 内，能量在+d范围内的光子的量子态数为： 32 2 3323 ( ) 8 VV Dddd hcc 根据玻色分布，在此范围内的光子数为： 2 23/ () 1 kT V N dfDdd ce 故，在此范围内的辐射能量为： 3 23/ (,) 1 kT V UTdN dd ce 6、已知光子气体的巨配分函数的对数 33 2 )( 1 45 ln c V 。利用玻色系统热力学量的统计表达 式计算光子气体的（1）内能；（2）物态方程； （3）熵；（4）斯特藩 玻耳兹曼常量

32、 。 参考： （1） 24 4 33 ln 15 k V UT c （2） 24 4 33 1 ln 45 k pT c 15 （3） 24 4 33 ln4 (ln)(ln) 45 k SkkUT V c （4）由斯特藩玻耳兹曼定律 41 4 uJcuT 其中 24 23 60 k c 7、若已知光子气体的巨热力学势 244 33 ln 45 Vk T JkT c 用热力学特性函数的方法求光 子气体的压强、熵和定容热容量。 参考：由热力学势的全微分dJSdTpdVnd 可得 244 ,33 () 45 T Jk T p Vc 243 , 33 4 () 45 V Jk T V S Tc 24

33、3 33 4 () 15 VV Sk T V CT Tc 8、若已知自由电子数密度n，试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量 (0)、内能和简并压。 参考：在极端相对论条件下，有 cp， 在体积 V 内，在 d 能量范围内量子态数为 2 3 ( ) () 8 V Ddd ch 0K 下自由电子气体的分布为 1,(0) ( ) 0,(0) f 由 (0) 23 33 0 1 (0) ()()3 8 V8 V Nd chch 费米能量 1/33 (0)() n ch 8 内能 (0)(0) 34 33 00 13 ( )(0)(0) ()() 44 8 V8 V UDddN chc

34、h 16 压强 11 (0) 34 U pn V 9、假设自由电子在二维平面上运动，已知面密度为n，态密度为 2 4 ( ) Am Ddd h ，0K 时电子气体的分布为 1,(0); ( ) 0,(0). f ，试求 0K 时二维电子气体的（1）费米能量；（ 2） 内能； （3）简并压。 参考：（1）费米能量由总粒子数守恒条件确定 (0) 22 0 44 ( )(0) s s AA Nf Ddmdm hh 从中解出费米能量 22 (0) 44 h Nh n mAm （2） 0k 下二维自由电子的内能 (0) 2 22 0 44 ( )(0)(0) 22 s s AA mN Uf Ddmd hh （3）利用二维自由电子内能与压强的关系pU A 0k 下二维自由电子的压强为 1 (0) 2 pn