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1、For personal use only in study and research; not for commercial use 讲义 工程问题、浓度、折扣利率、比例 一、基本公式： 工作总量 =工作效率工作时间 工作效率 =工作总量工作时间 工作时间 =工作总量工作效率 基本思路： 假设工作总量为“ 1”（和总工作量无关）； 假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数），利用上 述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间. 关键问题：确定工作量、工作时间、工作效率间的两两对应关系。 举一个简单例子： 一件工作，甲做10 天可完成，乙做15 天可完成
2、. 问两人合作几天可以完成？ 一件工作看成1 个整体，因此可以把工作量算作1. 所谓工作效率，就是单位时间内完 成的工作量，我们用的时间单位是“天”，1 天就是一个单位， 再根据基本数量关系式，得到 所需时间 =工作量工作效率 =6（天） 两人合作需要6 天. 这是工程问题中最基本的问题，这一讲介绍的许多例子都是从这一问题发展产生的. 一、两个人的问题 标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体. 例 1 一件工作，甲做9 天可以完成，乙做6天可以完成 . 现在甲先做了3 天，余下的工 作由乙继续完成. 乙需要做几天可以完成全部工作？ 答：乙需要做4 天可完成全部工作. 例 2
3、 一件工作，甲、乙两人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲离开了，由乙继续做 了 40 天才完成 . 如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？ 解： 共做了 6 天后， 原来，甲做 24 天，乙做 24 天， 现在，甲做0 天，乙做 40=（24+16）天 . 这说明原来甲24 天做的工作，可由乙做16 天来代替 . 因此甲的工作效率 如果乙独做，所需时间是 如果甲独做，所需时间是 答：甲或乙独做所需时间分别是75 天和 50 天. 例 3 某工程先由甲独做63 天，再由乙单独做28 天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需 48 天完成 . 现在甲先单独做42 天，然后再由乙来单独完成，
4、那么乙还需要做多少天？ 解： 先对比如下： 甲做 63 天，乙做 28 天； 甲做 48 天，乙做 48 天. 就知道甲少做63-48=15 （天），乙要多做48-28=20 （天），由此得出甲的 甲先单独做42 天，比 63 天少做了63-42=21 （天），相当于乙要做 因此，乙还要做28+28= 56 （天） . 答：乙还需要做 56 天. 例 4 一件工程，甲队单独做10 天完成，乙队单独做30 天完成 . 现在两队合作，其间甲队休 息了 2 天，乙队休息了8 天（不存在两队同一天休息）. 问开始到完工共用了多少天时间？ 解一： 甲队单独做8 天，乙队单独做2 天，共完成工作量 余下的
5、工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+ 1= 11 （天） . 答：从开始到完工共用了11 天. 二、多人的工程问题 我们说的多人， 至少有 3 个人， 当然多人问题要比2 人问题复杂一些，但是解题的基本 思路还是差不多. 例 5 一件工作，甲、乙两人合作36 天完成，乙、丙两人合作45 天完成，甲、丙两人 合作要 60 天完成 . 问甲一人独做需要多少天完成？ 解：设这件工作的工作量是1. 甲、乙、丙三人合作每天完成 减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 答：甲一人独做需要90 天完成 . 例 6 一件工作， 甲独做要12 天，乙独做要 18 天，丙独做要24 天 . 这件工作
6、由甲先做了若干 天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3 倍， 再由丙接着做，丙做的天数是乙做 的天数的2 倍，终于做完了这件工作. 问总共用了多少天？ 解： 甲做 1 天，乙就做3 天，丙就做32=6（天） . 说明甲做了2 天，乙做了23=6（天），丙做26=12( 天），三人一共做了 2+6+12=20（天） . 答：完成这项工作用了20 天. 例 7 制作一批零件，甲车间要10 天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6 天就能完成 . 乙车间与丙车间一起做，需要8 天才能完成 . 现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙 车间多制作零件2400 个. 问丙车间制作了多少个零件？ 解
7、一： 仍设总工作量为1. 甲每天比乙多完成 因此这批零件的总数是 丙车间制作的零件数目是 答：丙车间制作了4200 个零件 . 三、水管问题 从数学的内容来看， 水管问题与工程问题是一样的. 水池的注水或排水相当于一项工程， 注水量或排水量就是工作量. 单位时间里的注水量或排水量就是工作效率. 至于又有注入又 有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了. 因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相 同. 例 8 甲、乙两管同时打开，9 分钟能注满水池. 现在，先打开甲管，10 分钟后打开乙管， 经过 3 分钟就注满了水池. 已知甲管比乙管每分钟多注入0.6 立方米水，这个水池的容积是 多少立方米？
8、甲每分钟注入水量是 乙每分钟注入水量是 因此水池容积是 答：水池容积是27 立方米 . 例 9 一个蓄水池，每分钟流入4 立方米水 . 如果打开5 个水龙头， 2 小时半就把水池水放 空，如果打开8 个水龙头， 1 小时半就把水池水放空. 现在打开13 个水龙头，问要多少时间 才能把水放空？ 解： 先计算 1 个水龙头每分钟放出水量. 2 小时半比1 小时半多60 分钟，多流入水 4 60= 240 （立方米） . 时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240 （ 5 150- 8 90 ）= 8（立方米）， 8 个水龙头1 个半小时放出的水量是 8 8 90 ， 其中 90 分钟内
9、流入水量是 4 90 ，因此原来水池中存有水 8 8 90-4 90= 5400（立方米） . 打开 13 个水龙头每分钟可以放出水813，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水， 放空原存的5400，需要 5400 （ 8 13- 4）=54（分钟） . 答：打开 13 个龙头，放空水池要54 分钟 . 水池中的水， 有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求 出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的. 例 19 一个水池， 地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的. 打开 A管，8 小时 可将满池水排空，打开C管，12 小时可将满池水排空. 如果打开A，B两管，
10、4 小时可将水排 空. 问打开 B，C两管，要几小时才能将满池水排空？ 解： 设满水池的水量为1. A管每小时排出 A管 4 小时排出 因此， B，C两管齐开，每小时排水量是 B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是 答： B， C 两管齐开要 4 小时 48 分才将满池水排完. 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f r den pers?nlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zw
11、ecken verwendet werden. Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f r den pers?nlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , . 以下无正文