概率随机变量及其分布复习资料.pdf

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1、第 3 讲几何概型 【高考会这样考】 以选择题或填空题的形式考查与长度或面积有关的几何概型的求法是高考对本 内容的热点考法，特别是与平面几何、函数等结合的几何概型是高考的重点内 容新课标高考对几何概型的要求较低，因此高考试卷中此类试题以低、中档题 为主 【复习指导】 本讲复习时， 准确理解几何概型的意义、 构造出度量区域是用几何概型求随机事 件概率的关键， 复习时要多反思和多领悟， 掌握方法要领 同时要加强与平面区 域、空间几何体、平面向量、函数结合等方面的训练 基础梳理 1几何概型 事件 A 理解为区域 的某一子区域 A， A 的概率只与子区域A 的几何度量 (长度、 面积或体积 )成正比，

2、而与A 的位置和形状无关满足以上条件的试验称为几何 概型 2几何概型中，事件A 的概率计算公式 P(A) 构成事件 A的区域长度 面积或体积 试验的全部结果所构成的区域长度面积或体积 . 3要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点 (1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个； (2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性 一条规律 对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识， 它只与大小有关， 而与 形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见 的几何概型的求解方法 两种类型 (1)线型几何概型：当基本事件只受一个连续的变量控制时 (2)面型几何概型：

3、当基本事件受两个连续的变量控制时，一般是把两个变量分 别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即 可借助平面区域解决 双基自测 1(人教 A 版教材习题改编 )在线段 0,3上任投一点，则此点坐标小于1 的概率 为() A. 1 2 B.1 3 C.1 4 D1 解析点坐标小于 1 的区间长度为 1，故所求其概率为 1 3. 答案B 2一个路口的红绿灯，红灯的时间为30 秒，黄灯的时间为 5 秒，绿灯的时间为 40 秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率是() A.1 5 B. 2 5 C.3 5 D. 4 5 解析以时间的长短进行度量，故P30 75 2 5. 答

4、案B 3(2012 衡阳模拟 )有四个游戏盘， 将它们水平放稳后， 在上面扔一颗玻璃小球， 若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是 () 解析P(A) 3 8，P(B) 2 8，P(C) 2 6，P(D) 1 3， P(A)P(C)P(D)P(B) 答案A 4.某人随机地在如图所示正三角形及其外接圆区域内部投针(不包括三角形边界 及圆的边界 )，则针扎到阴影区域 (不包括边界 )的概率为 () A. 3 B.3 3 4 C. 3 4 D以上全错 解析设正三角形边长为a，则外接圆半径 r 3 2 a 2 3 3 3 a， 所求概率P 3 4 a 2 3 3 a 2

5、3 3 4. 答案B 5在区间 1,2上随机取一个数x，则 x0,1的概率为 _ 解析如图，这是一个长度型的几何概型题，所求概率P|CD| |AB| 1 3. 答案 1 3 考向一与长度有关的几何概型 【例 1】?点 A 为周长等于 3 的圆周上的一个定点若在该圆周上随机取一点B， 则劣弧 AB 的长度小于 1 的概率为 _ 审题视点 用劣弧 AB 的长度与圆周长的比值 解析 如右图，设 A、 M、 N 为圆周的三等分点， 当 B 点取在优弧 MAN 上时，对劣弧 AB 来说，其长度小于1，故其概率为 2 3. 答案 2 3 将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区 域中每

6、一点被取到的机会都一样， 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述 区域内的某个指定区域中的点，这样的概率模型就可以用几何概型来求解 【训练 1】 一只蚂蚁在三边长分别为3,4,5 的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁 距离三角形的三个顶点的距离均超过1 的概率为 _ 解析如图，该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1 的长度为： 123 6，故所求概率为 P 6 12 1 2. 答案 1 2 考向二与面积有关的几何概型 【例 2】?(2012华东师大附中模拟 )设有关于 x 的一元二次方程 x22axb20. (1)若 a 是从 0,1,2,3四个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2三个数中

7、任取的一个数， 求上述方程有实根的概率； (2)若 a 是从区间 0,3任取的一个数， b 是从区间 0,2任取的一个数，求上述方程 有实根的概率 审题视点 (1)为古典概型，利用列举法求概率 (2)建立 ab平面直角坐标系，将问题转化为与面积有关的几何概型 解设事件 A 为“方程 x22axb20 有实根” 当 a0，b0 时，方程 x22axb20 有实根的充要条件为ab. (1)基本事件共有 12 个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)， (3,0)，(3,1)，(3,2)其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b

8、的取值事件 A 中包含 9 个基本事件，事件A 发生的概率为 P(A) 9 12 3 4. (2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2 ，构成事件 A 的区 域为(a，b)|0a3,0b2，ab ，所以所求的概率为P(A) 321 22 2 32 2 3. 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的 关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化 为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件A 发生的区域，利用公式可求 【训练 2】 (2011福建)如图， 矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点若在矩形ABCD 内部随机取一个点Q

9、， 则点 Q 取自 ABE 内部的概率等于 () A. 1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析S ABE 1 2|AB| |AD|，S矩形 ABCD|AB|AD|. 故所求概率 P S ABE S矩形ABCD 1 2. 答案C 考向三与角度、体积有关的几何概型 【例 3】?在 RtABC 中，A30 ，过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于 M， 求使|AM|AC|的概率 审题视点 如图所示， 因为过一点作射线是均匀的，因而应把在ACB 内作射线 CM 看做是等可能的， 基本事件是射线 CM 落在 ACB 内任一处，使|AM|AC|的概率只与BCC的大 小有关，这符合几何概型

10、的条件 解设事件 D 为“作射线 CM， 使|AM|AC|” 在 AB上取点 C使|AC|AC|， 因为 ACC是等腰三角形，所以 ACC 180 30 2 75 ， A907515，90， 所以 P(D)15 90 1 6. 几何概型的关键是选择“测度”，如本例以角度为 “测度 ”因为射 线 CM 落在 ACB内的任意位置是等可能的 若以长度为 “测度”， 就是错误的， 因为 M 在 AB 上的落点不是等可能的 【训练 3】 (2011长沙模拟 )在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，点 O 为底 面 ABCD 的中心，在正方体 ABCD A1B1C1D1内随机取一点 P，则点

11、 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 _ 解析点 P 到点 O 的距离大于 1 的点位于以 O 为球心， 以 1为半径的半球外记 点 P 到点 O 的距离大于 1 为事件 A，则 P(A) 2 31 2 4 3 1 3 2 31 12. 答案1 12 规范解答 21如何解决概率与函数的综合问题 【问题研究】所谓概率，就是某种事件发生的可能性的大小，而“事件”可以 是日常生活中常见的例子，也可以是有关的数学问题，如以函数的基本性质定 义域、值域、单调性、奇偶性、周期性为背景，设置概型，提出问题，考查考 生综合分析问题、解决问题的能力. 【解决方案】首先认真阅读题目，把其中的有用信息向我们熟悉

12、的知识方面转 化，实现知识的迁移，然后再利用概率的知识去解决. 【示例】 ? (本题满分 12分)(2011 潍坊模拟 )已知关于 x的二次函数 f(x)ax 24bx 1. (1)设集合 P1,2,3 和 Q1,1,2,3,4，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作 为 a 和 b，求函数 yf(x)在区间1，)上是增函数的概率； (2)设点(a，b)是区域 xy80， x0， y0 内的一点， 求函数 yf(x)在区间 1， )上是增函数的概率 本题以 “二次函数的单调性 ”为背景，首先写出事件发生所满足的条 件，在第 (1)问中，给出了有限个数据，从而判断是古典概型问题，利用列举法 写

13、出事件发生的总数以及满足条件的事件发生的个数，再利用公式求之；第(2) 问中，a 和 b 有无限个数据，所以是几何概型问题，首先计算事件发生的总数与 满足条件的事件发生的个数的测度，再利用公式求之 解答示范 (1)函数 f(x)ax 24bx1 的图象的对称轴为直线 x2b a ，要使 f(x) ax 24bx1 在区间 1， )上为增函数，当且仅当 a0 且2b a 1， 即 2ba.(2 分) 若 a1，则 b1； 若 a2，则 b1 或 1； 若 a3，则 b1 或 1. 事件包含基本事件的个数是1225.(5 分) 所求事件的概率为 5 15 1 3.(6 分) (2)由(1)，知当且

14、仅当 2ba 且 a0 时， 函数 f(x)ax24bx1 在区间 1， )上为增函数， (8 分) 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 a，b ab80， a0， b0 ，构成所求事件的区域为三角形部分 由 ab80， ba 2， 得交点坐标为 16 3 ，8 3 ，(10 分) 所求事件的概率为P 1 2 88 3 1 288 1 3.(12 分) 本题中先将 f(x)在1， )上为增函数转化为满足条件2ba 且 a0， 然后再联系已知条件， 将问题转化为几何概型， 实现了知识的逐步迁移， 这种转 化迁移的思想值得考生注意， 另外，对于二次函数f(x)ax 2bxc(a0)，在某 一区

15、间 m，)上单调递增的充要条件是 a0， b 2am， 切勿漏掉 a0. 【试一试】已知关于 x 的一元二次方程 x22(a2)xb2160. (1)若 a，b 是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率； (2)若 a2,6，b0,4，求方程没有实根的概率 尝试解答 (1)基本事件 (a，b)共有 36 个，方程有正根等价于a20,16b 2 0， 0， 即 a2，4b4，(a2) 2b216. 设“方程有两个正根”为事件A，则事件 A 包含的基本事件为 (6,1)，(6,2)，(6,3)， (5,3)，共 4 个， 故所求的概率为 P(A) 4 36 1 9. (2)试验的全部结果

16、构成区域 ( a，b)|2a6,0b4， 其面积为 S()16， 设“方程无实根”为事件B，则构成事件 B 的区域为 B(a，b)|2a6,0b4，(a2) 2b216， 其面积为 S(B) 1 4 4 24 ， 故所求的概率为 P(B) 4 16 4 第 1 讲随机事件的概率 【高考会这样考】 1随机事件的概率在高考中多以选择题、填空题的形式考查，也时常在解答题 中出现，应用题也是常考题型，并且常与统计知识放在一块考查 2借助古典概型考查互斥事件、对立事件的概率求法 【复习指导】 随机事件的概率常与古典概型、互斥、对立事件、统计等相结合进行综合考查， 对事件类型的准确判断和对概率运算公式的熟

17、练掌握是解题的基础，因此，复习 时要通过练习不断强化对事件类型的理解和公式的掌握，弄清各事件类型的特点 与本质区别，准确判断事件的类型是解题的关键 基础梳理 1随机事件和确定事件 (1)在条件 S下，一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 (2)在条件 S下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件 (4)在条件 S下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件 (5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C表示 2频率与概率 (1)在相同的条件 S下重复 n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称 n 次试验中 事件 A 出现的次数

18、 nA为事件 A 出现的频数，称事件A 出现的比例 fn(A)n A n 为事 件 A 出现的频率 (2)对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率 fn(A) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件 A 的概率，简称为A 的概 率 3互斥事件与对立事件 (1)互斥事件：若 AB 为不可能事件 (AB?)，则称事件 A 与事件 B 互斥，其 含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中不会同时发生 (2)对立事件：若 AB 为不可能事件，而AB 为必然事件，那么事件A 与事件 B 互为对立事件， 其含义是：事件 A 与事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发

19、 生 4概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围： 0P(A)1. (2)必然事件的概率： P(A)1. (3)不可能事件的概率： P(A)0. (4)互斥事件的概率加法公式： P(AB)P(A)P(B)(A，B 互斥) P(A1A2 An)P(A1)P(A2) P(An)(A1，A2， An彼此互斥 ) (5)对立事件的概率： P( A )1P(A) 一条规律 互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事 件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发 生，因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件 两种方法 求复杂的互斥事

20、件的概率一般有两种方法： (1)直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互 斥事件的求和公式计算； (2)间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P( A )，即运用 逆向思维 (正难则反 )，特别是 “至多”、“至少”型题目，用间接法就显得比较 简便 双基自测 1(人教 A 版教材习题改编 )将一枚硬币向上抛掷10次，其中“正面向上恰有5 次”是 () A必然事件B随机事件 C不可能事件D无法确定 答案B 2在 n 次重复进行的试验中，事件A 发生的频率为 m n ，当 n很大时， P(A)与 m n的 关系是 () AP(A) m n BP(A)m n

21、 CP(A) m n DP(A) m n 解析事件 A 发生的概率近似等于该频率的稳定值 答案A 3(2012 兰州月考 )从装有 5 个红球和 3 个白球的口袋内任取3 个球，那么互斥 而不对立的事件是 () A至少有一个红球与都是红球 B至少有一个红球与都是白球 C至少有一个红球与至少有一个白球 D恰有一个红球与恰有二个红球 解析对于 A 中的两个事件不互斥，对于B 中两个事件互斥且对立，对于C 中 两个事件不互斥，对于D 中的两个互斥而不对立 答案D 4(2011 陕西)甲乙两人一起去游“ 2011西安世园会”，他们约定，各自独立地 从 1 到 6 号景点中任选 4 个进行游览，每个景点

22、参观 1小时，则最后一小时他们 同在一个景点的概率是 () A. 1 36 B. 1 9 C. 5 36 D.1 6 解析若用1,2,3,4,5,6代表 6 处景点，显然甲、乙两人选择结果为 1,1 、1,2 、 1,3 、 6,6 ，共 36 种；其中满足题意的 “同一景点相遇 ”包括1,1 、2,2 、 3,3 、6,6 ，共 6 个基本事件，所以所求的概率值为 1 6. 答案D 5(2011 湖北)在 30 瓶饮料中，有 3 瓶已过了保质期从这30 瓶饮料中任取 2 瓶，则至少取到 1 瓶已过保质期饮料的概率为_(结果用最简分数表示 ) 解析所取的 2 瓶中都是不过期的饮料的概率为PC

23、2 27 C 2 30 117 145，则至少有 1 瓶为 已过保质期饮料的概率P 1P 28 145. 答案 28 145 考向一互斥事件与对立事件的判定 【例 1】?判断下列给出的每对事件，是否为互斥事件，是否为对立事件，并说 明理由从 40 张扑克牌 (红桃、黑桃、方块、梅花点数从110 各 10 张)中，任 取一张 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽出的牌点数大于9” 审题视点 可用集合的观点判断 解(1)是互斥事件，不是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中任意抽取1 张，“抽出红桃”与“抽出黑桃”是不

24、可 能同时发生的，所以是互斥事件，但是，不能保证其中必有一个发生，这是由于 还有可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件 (2)既是互斥事件，又是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中，任意抽取1 张“抽出红色牌”与“抽出黑色牌” 两个事件不可能同时发生， 但其中必有一个发生， 所以它们既是互斥事件， 又是 对立事件 (3)不是互斥事件，也不是对立事件 原因是：从 40 张扑克牌中任意抽取1 张“抽出的牌点数为5 的倍数”与“抽 出的牌点数大于 9”这两个事件可能同时发生，如抽得点数为 10，因此，二者不 是互斥事件，当然不可能是对立事件 对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立

25、事件除不能同时发生 外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所 有试验结果写出来，看所求事件包含哪几个试验结果， 从而断定所给事件的关系 【训练 1】 一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6.将这个 玩具向上抛掷 1 次，设事件 A 表示向上的一面出现奇数点，事件B 表示向上的 一面出现的点数不超过3， 事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于4， 则() AA 与 B 是互斥而非对立事件 BA 与 B 是对立事件 CB 与 C 是互斥而非对立事件 DB 与 C 是对立事件 解析根据互斥事件与对立事件的意义作答，AB 出现点数 1或 3，

26、 事件 A， B 不互斥更不对立； BC?，B C ，故事件 B，C 是对立事件 答案D 考向二随机事件的概率与频率 【例 2】?(2011湖南)某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位： 万千瓦时 )与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米 )有关据统计，当 X70 时 ， Y 460； X 每 增 加10 ， Y 增 加5. 已 知 近20 年X 的 值 为 ： 140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160. (1)完成如下的频率分布表： 近 20 年六月份降雨量频率

27、分布表 降雨量70110140160200220 频率 1 20 4 20 2 20 (2)假定今年六月份的降雨量与近20 年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率 视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时 )或超过 530(万千瓦时 )的概率 审题视点 第一问中的统计表是降雨量的统计表，只要根据给出的数据进行统 计计算即可；第二问中根据给出的X，Y 的函数关系，求出Y490 或者 Y530 对应的 X 的范围，结合第一问的概率分布情况求解，或者求解其对立事件的概 率 解(1)在所给数据中，降雨量为110 毫米的有 3 个，为 160 毫米的有 7 个，为 200 毫米的有

28、 3 个故近 20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量70110140160200220 频率 1 20 3 20 4 20 7 20 3 20 2 20 (2)由已知得 YX 2 425， 故 P(“发电量低于 490万千瓦时或超过 530万千瓦时” ) P(Y490 或 Y530)P(X130 或 X210)P(X70)P(X110)P(X 220) 1 20 3 20 2 20 3 10. 故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时 )或超过530(万千瓦时 ) 的概率为 3 10. 概率可看成频率在理论上的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生 的可能性的大小，它是频率的科学抽象

29、， 当试验次数越来越多时频率向概率靠近， 只要次数足够多，所得频率就近似地当作随机事件的概率 【训练 2】 某市统计的 20082011 年新生婴儿数及其中男婴数(单位：人 )见下 表： 时间2008年2009年2010年2011年 新生婴儿数21 84023 07020 09419 982 男婴数11 45312 03110 29710 242 (1)试计算男婴各年的出生频率(精确到 0.001)； (2)该市男婴出生的概率约是多少？ 解(1)2008年男婴出生的频率为fn(A)n A n 11 453 21 840 0.524. 同理可求得 2009 年、2010年和 2011年男婴出生的

30、频率分别约为0.521、0.512、 0.513. (2)由以上计算可知，各年男婴出生的频率在0.510.53 之间，所以该市男婴出 生的概率约为 0.52. 考向三互斥事件、对立事件的概率 【例 3】?据统计，某食品企业在一个月内被消费者投诉次数为0,1,2 的概率分别 为 0.4,0.5,0.1. (1)求该企业在一个月内被消费者投诉不超过1 次的概率； (2)假设一月份与二月份被消费者投诉的次数互不影响，求该企业在这两个月内 共被消费者投诉 2 次的概率 审题视点 (1)根据互斥事件，第 (1)问可转化为求被消费者投诉0 次和 1 次的概 率和 (2)第(2)问可转化为求以下三种情形的概

31、率和：1,2 月份各被投诉1 次； 1,2 月份各被投诉 0,2 次； 1,2 月份各被投诉 2,0 次 解法一(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉的次数为0”，事件 B 表示“一 个月内被投诉的次数为1”， P(AB)P(A)P(B)0.40.50.9. (2)设事件 Ai表示“第 i 个月被投诉的次数为0”，事件 Bi表示“第 i 个月被投诉 的次数为 1”，事件 Ci表示“第 i 个月被投诉的次数为2”，事件 D 表示“两个 月内共被投诉 2 次” P(Ai)0.4，P(Bi)0.5，P(Ci)0.1(i1,2)， 两个月中， 一个月被投诉 2 次，另一个月被投诉 0 次的概率为 P(

32、A1C2A2C1)， 一、二月份均被投诉1 次的概率为 P(B1B2)， P(D)P(A1C2A2C1)P(B1B2)P(A1C2)P(A2C1)P(B1B2)， 由事件的独立性得 P(D)0.40.10.10.40.50.50.33. 法二(1)设事件 A 表示“一个月内被投诉2 次”，事件 B 表示“一个月内被投 诉的次数不超过 1 次” P(A)0.1，P(B)1P(A)10.10.9. (2)同法一 本题主要考查随机事件，互斥事件有一个发生的概率及相互独立事件 同时发生的概率； 实际生活中的概率问题， 在阅读理解的基础上， 利用互斥事件 分类，有时还借助对立事件寻求间接求解问题的捷径，

33、这类问题重在考查学生思 维的灵活性和解决实际问题的能力 【训练 3】 某商场有奖销售中，购满100元商品得 1 张奖券，多购多得， 1 000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个设 1 张奖 券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A、B、C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)1 张奖券的中奖概率； (3)1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率 解(1)P(A) 1 1 000，P(B) 10 1 000 1 100，P(C) 50 1 000 1 20. 故事件 A，B，C 的概率分别为 1 1 000 ， 1 100， 1 20. (2)

34、1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖设“1 张奖券中奖”这个事件 为 M，则 MABC.A、B、C 两两互斥，P(M)P(ABC)P(A)P(B) P(C)11050 1 000 61 1 000. 故 1 张奖券的中奖概率为 61 1 000 . (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件 N 与“1 张奖券中 特等奖或中一等奖”为对立事件， P(N)1P(AB)1 1 1 000 1 100 989 1 000 . 故 1 张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为 989 1 000 . 难点突破 24事件对立与互斥的辨别问题 对事件的互斥性与对立性的辨别， 在解题中要

35、根据问题的具体情况作出准确的判 断互斥事件是不可能同时发生的两个事件，其概率满足加法公式，即若A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)；对立事件是必然有一个发生的两个互斥事件， 也就是说对立的两个事件首先必须是互斥的，而且这两个事件之和是一个必然事 件，即一个事件 A 与它的对立事件A 的概率之间有关系式P(A)P( A )1，用 好这个关系对解决概率问题是非常有用的，它往往能使复杂的问题简单化 【示例 1】? (2012苏州模拟 )甲：A1，A2是互斥事件；乙： A1，A2是对立事件， 那么() A甲是乙的充分但不必要条件 B甲是乙的必要但不充分条件 C甲是乙的充要条件 D甲既不是乙的充

36、分条件，也不是乙的必要条件 【示例 2】? 抛掷一枚均匀的正方体骰子(各面分别标有数字1、 2、3、4、5、6)，事件 A 表示“朝上一面的数是奇数”，事件B 表示“朝上一面 的数不超过 3”，求 P(AB) 第 2 讲古典概型 【高考会这样考】 1考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问 题更是高考的热点 2在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问 题的能力，难度以中档题为主 【复习指导】 1掌握解决古典概型的基本方法，列举基本事件、随机事件，从中找出基本事 件的总个数，随机事件所含有的基本事件的个数 2复习时要加强与统计相关的综合题的训练

37、，注重理解、分析、逻辑推理能力 的提升 基础梳理 1基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的 (2)任何事件 (除不可能事件 )都可以表示成基本事件的和 2古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型 (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个 (2)每个基本事件出现的可能性相等 3古典概型的概率公式 P(A) A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 一条规律 从集合的角度去看待概率， 在一次试验中， 等可能出现的全部结果组成一个集合 I，基本事件的个数n 就是集合 I 的元素个数，事件A 是集合 I 的一个包含 m 个 元素的子集故 P(A) card A

38、card I m n . 两种方法 (1)列举法：适合于较简单的试验 (2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求另外在确定基本事 件时，(x，y)可以看成是有序的，如 (1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的， 如(1,2)与(2,1)相同 双基自测 1(人教 A 版教材习题改编 )一枚硬币连掷 2 次，只有一次出现正面的概率为 () A. 2 3 B.1 4 C.1 3 D. 1 2 解析一枚硬币连掷 2 次，基本事件有 (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)， 而只有一次出现正面的事件包括(正，反 )，(反，正 )，故其概率为 2 4 1 2. 答案D 2甲、

39、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是() A. 1 6 B. 1 2 C.1 3 D.2 3 解析甲共有 3 种站法，故站在中间的概率为 1 3. 答案C 3掷一颗骰子，观察掷出的点数，则掷得奇数点的概率为() A. 1 3 B.1 4 C.1 2 D.2 3 解析掷一颗骰子共有 6 种情况，其中奇数点的情况有3 种，故所求概率为： 3 6 1 2. 答案C 4从1,2,3,4,5中随机选取一个数为a，从1,2,3 中随机选取一个数为b，则 b a 的概率是 () A. 4 5 B. 3 5 C.2 5 D.1 5 解析基本事件的个数有5315(种)，其中满足 ba 的有 3 种，所以

40、ba 的 概率为 3 15 1 5. 答案D 5(2012 泰州联考 )三张卡片上分别写上字母E、E、B，将三张卡片随机地排成 一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为 _ 解析三张卡片排成一排共有BEE，EBE，EEB 三种情况，故恰好排成BEE 的 概率为 1 3. 答案 1 3 考向一基本事件数的探求 【例 1】?做抛掷两颗骰子的试验：用(x，y)表示结果，其中 x 表示第一颗骰子出 现的点数， y 表示第二颗骰子出现的点数，写出： (1)试验的基本事件； (2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10” 审题视点 用列举法一一列举 解(

41、1)这个试验的基本事件为： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6) (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6) (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6) (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6) (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6) (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6) (2)事件“出现点数之和大于8”包含以下 10 个基本事件 (3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)， (5,5)，(5,6)，(6,3

42、)，(6,4)，(6,5)，(6,6) (3)事件“出现点数相等”包含以下6 个基本事件 (1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)， (6,6) (4)事件“出现点数之和大于10”包含以下 3 个基本事件 (5,6)，(6,5)，(6,6) 基本事件数的探求主要有两种方法：列举法和树状图法 【训练 1】 用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3 个矩形随机涂色，每个矩形只 涂一种颜色，写出： (1)试验的基本事件； (2)事件“ 3 个矩形颜色都相同”； (3)事件“ 3 个矩形颜色都不同” 解(1)所有可能的基本事件共27 个 (2)由图可知，事件“ 3 个矩形都涂同一颜色”包含以

43、下3 个基本事件：红红红， 黄黄黄，蓝蓝蓝 (3)由图可知，事件“ 3 个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红 蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红 考向二古典概型 【例 2】?现有 8 名 2012年伦敦奥运会志愿者， 其中志愿者 A1，A2，A3通晓日语， B1，B2，B3通晓俄语， C1，C2通晓韩语从中选出通晓日语、俄语和韩语的志 愿者各 1 名，组成一个小组 (1)求 A1被选中的概率； (2)求 B1和 C1不全被选中的概率 审题视点 确定基本事件总数，可用排列组合或用列举法，确定某事件所包含 的基本事件数，用公式求解 解(1)从 8 人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1

44、 名，其一切可能的结果组成 的基本事件共有C1 3C 1 3C 1 218 个由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此 这些基本事件的发生是等可能的 用 M 表示“ A1恰被选中”这一事件， 事件 M 由 C13C126， 因而 P(M) 6 18 1 3. (2)用 N 表示“ B1、C1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“ B1、C1 全被选中”这一事件，由于N 包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3 个结果，事件 N 有 3 个基本事件组成，所以P( N ) 3 18 1 6，由对立事件的概率 公式得 P(N)1P( N )1 1 6 5 6. 古

45、典概型是基本事件个数有限，每个基本事件发生的概率相等的一种 概率模型，其概率等于随机事件所包含的基本事件的个数与基本事件的总个数的 比值 【训练 2】 (2011全国新课标 )有 3 个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其 中一个小组， 每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴 趣小组的概率为 () A. 1 3 B.1 2 C.2 3 D.3 4 解析甲、乙两人都有3 种选择，共有 339(种)情况，甲、乙两人参加同一 兴趣小组共有 3 种情况甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P3 9 1 3. 答案A 考向三古典概型的综合应用 【例 3】?(2011广东)在某次测验中，有 6

46、 位同学的平均成绩为75 分用 xn表示 编号为 n(n1,2， 6)的同学所得成绩，且前5 位同学的成绩如下： 编号 n 12345 成绩 xn7076727072 (1)求第 6 位同学的成绩 x6，及这 6 位同学成绩的标准差s； (2)从前 5 位同学中，随机地选 2 位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间 (68,75)中的 概率 审题视点 本题考查平均数、标准差、古典概型概率的计算(1)由这 6 位同学 的平均成绩为 75 分，建立关于 x6的方程，可求得 x6，然后求方差， 再求标准差； (2)用列举法可得所求古典概型的概率 解(1)这 6 位同学的平均成绩为75 分， 1 6(7

47、076727072x 6)75，解得 x690， 这 6 位同学成绩的方差 s 21 6(7075) 2(7675)2(7275)2(7075)2(7275)2(9075)2 49，标准差 s7. (2)从前 5 位同学中，随机地选出2 位同学的成绩有： (70,76)，(70,72)，(70,70)， (70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共 10 种， 恰有 1 位同学成绩在区间 (68,75)中的有： (70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共 4 种，所求的概率为 4 100.4， 即恰有 1 位同学成绩在区间 (68,75)中的概率为 0.4. 有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已 成为高考考查的热点， 概率与统计结合题，无论