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1、1 第四章随机变量的数字特征 一、填空题： 1. 设随机变量B(n,p) , 且5 .0E，45.0D，则 n= , p= 。 2. 设随机变量表示 10 次独立重复射击中命中目标的次数，且每次射击命中目标的 概率为 0.4，则)( 2 E= 。 3. 已知随机变量的概率密度为 12 2 1 )( xx ex（x） ，则 )(E，)(D。 4. 设随机变量),(baU， 且2)(E， 3 1 )(D， 则a，b。 5. 设随机变量,有10E，25D，已知0)(baE，1)(baD 则 a= , b= , 或 a= , b= 。 6. 已知离散型随机变量服从参数为2 的普哇松分布，则随机变量23
2、的数 学期望E。 7. 设随机变量 1 6,0 U， 2 )2,0( 2 N，且 1与2相互独立，则 )2( 21 D。 8. 设随机变量 n , 21 独立，并且服从同一分布。数学期望为a, 方差为 2 ， 令 i n in1 1 ，则E，D。 2 9. 已 知 随 机 变 量与的 方 差 分 别 为49D，64D，相 关 系 数 8 .0，则)(D，)(D。 10. 若 随 机 变 量的 方 差 为0 0 4.0)(D， 利 用 切 比 雪 夫 不 等 式 知 2.0EP。 二、选择题： 1. 设随机变量的函数为ba， （a , b 为常数），且E，D均存在， 则必有 （） 。 A. aE
3、EB. aDDC. baEED. baDD 2. 设随机变量的方差D存在，则)(baD（） （a , b为常数）。 A. baDB. Da 2 C. bDa 2 D. Da 3. 如果随机变量),( 2 N，且3E，1D，则)11(P（）. A. 1)1(2B.)4()2(C.)2()4(D.)2()4( 4. 若随机变量服从指数分布，且25.0D，则的数学期望E（） . A. 2 1 B. 2 C. 4 1 D. 4 5. 设随机变量的分布函数为 1, 1 10, 0,0 )( 3 x xx x xF ，则)(E（）. A. dxx 0 4 B. dxx 1 0 2 3C. 1 1 0 4
4、xdxdxxD. dxx 0 2 3 6. 设随机变量的期望E为一非负值，且2) 1 2 ( 2 E， 2 1 )1 2 (D，则 3 E（） 。 A. 0 B. 1 C. 2 D. 8 7 随机变量与相互独立，且4)(D，2)(D，则 )523(D（） 。 A. 8 B. 16 C. 28 D. 44 8. 如果与满足)()(DD，则必有（） 。 A. 与独立B. 与不相关C. 0DD. 0DD 9. 设随机变量与的相关系数为1，则（） 。 A. 与相互独立B. 与必不相关 C.1 2 cbaPD. 1baP 三、计算题： 1. 设随机变量的分布律为 求)(E， )( 2 E, )53( 2
5、 E， )12(D 2三枚硬币，用表示出现正面的个数，试求 3 的数学期望)(E。 3. 某公共汽车站每隔10 分钟有一辆车经过，某一乘客到达车站的时间是任意的，该 乘客的候车时间（单位：分钟）是一个随机变量，求的数学期望与标准差。 4. 设随机变量的密度函数为 其它, 0 1, )( 2 xAx x， -2 0 2 k p0.4 0.3 0.3 4 求 :（1）常数 A ; (2) 2 1 P; (3) )(E,)(D 5. 设随机变量)(,且已知1)2)(1(E，求。 6. 设为一个随机变量。已知1E，1) 2 (D，求 2 )1(E。 7. 设随机变量服从指数分布，且方差3D，写出的概率
6、密度，并计算 )31(P。 8. 已知随机变量服从参数为1 的指数分布， 求随机变量 2 e 的数学期 望。 9. 设圆的半径服从 0，1内的均匀分布，求其面积的数学期望。 10. 设随机变量与的概率密度均为 其它,0 1 0,2 )( 2 xx x， 若 1 )2(cE，求常数c。 11. 设三台仪器出现故障的概率分别为 1 P， 2 P， 3 P，求出现故障的仪器数的数学期 望和方差。 12. 掷 10 颗骰子，假定每颗骰子出现1 至 6 点都是等可能的，求10 颗骰子的点数和 的数学期望与方差。 13. 设4D，1D，6. 0求)23(D。 14. 设二维随机变量（,）的联合概率分布为0
7、 1 0 36 25 36 5 1 36 5 36 1 求： （1）)(E，)(E； （2）)(E； （3）),cov(； （4） 。 5 5. 设随机变量),(的密度为 0 )( 8 1 ),( yx yx， 其他 20x ， 20y 求E，E，),cov(。 四、证明题： 设随机变量),(的联合分布律为 -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试证与既不相关也不独立。 五、附加题： 1.设随机变量的概率密度为 其它,0 0, 2 cos 2 1 )( x x x， 对独立地重复观 察 4 次，用表示观察值大于 3 的次数，求 2 的数学期望。 2. 设二维随机变量 （,）在区域:D10x，xy内服从均匀分布，求关于 的边缘概率密度函数及随机变量12的方差)(D。 3. 设A , B 是 两 个 随 机 事 件 ， 随 机 变 量 不出现若， 出现若 A A 1 , 1 ， 不出现若， 出现若 B B 1 , 1 ，试证与不相关的充要条件是事件A , B 相互独立。