七年级下册第一单元《平行线》探究题.pdf

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1、学习必备欢迎下载 七年级下册第一单元平行线探究题 一解答题（共15小题） 1将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其 中， A=60 ，D=30 ；E=B=45 ） ： （1）若 DCE=45 ，则ACB的度数为； 若 ACB=140 ，求DCE的度数； （2）由（ 1）猜想 ACB与DCE的数量关系，并说明理由 （3）当 ACE 180 且点 E在直线 AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边 互相平行？若存在，请直接写出ACE角度所有可能的值（不必说明理由） ；若 不存在，请说明理由 学习必备欢迎下载 2已知如图， ABCD ，试解决下列问题： （1）1+2=；

2、（2）1+2+3=； （3）1+2+3+4=； （4）试探究 1+2+3+4+ +n= 学习必备欢迎下载 3如图，直线 CB OA，C=OAB=100 ，E、F在 CB上，且满足 FOB= AOB ， OE平分 COF （1）求 EOB的度数； （2）若平行移动 AB，那么 OBC ：OFC的值是否随之发生变化？若变化，找 出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值 （3）在平行移动 AB的过程中，是否存在某种情况，使OEC= OBA？若存在， 求出其度数；若不存在，说明理由 学习必备欢迎下载 4如图，已知直线l1l2，l3、l4和 l1、l2分别交于点 A、B、C 、D，点 P 在直线

3、l3或 l4上且不与点 A、B、C、D重合记 AEP= 1，PFB= 2，EPF= 3 （1）若点 P在图（1）位置时，求证： 3=1+2； （2）若点 P在图（2）位置时，请直接写出1、2、3 之间的关系； （3）若点 P在图（3）位置时，写出 1、2、3 之间的关系并给予证明 学习必备欢迎下载 5ABCD ，C在 D 的右侧， BE平分 ABC ，DE平分 ADC，BE 、DE所在直线交 于点 EADC=70 （1）求 EDC的度数； （2）若 ABC=n ，求 BED的度数（用含 n 的代数式表示）； （3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A 的右侧，其他条件不变，若 AB

4、C=n ，求 BED的度数（用含 n 的代数式表示） 学习必备欢迎下载 6已知直线 l1l2，点 A 是 l1上的动点，点 B在 l1上，点 C、D 在 l2上， ABC ， ADC的平分线交于点E（不与点 B，D重合） （1）若点 A 在点 B的左侧， ABC=80 ，ADC=60 ，过点 E作 EF l1，如图 所示，求 BED的度数 （2）若点 A 在点 B 的左侧， ABC= ，ADC=60 ，如图所示，求 BED的 度数； （直接写出计算的结果） （3）若点 A 在点 B 的右侧， ABC= ，ADC=60 ，如图所示，求 BED的 度数 学习必备欢迎下载 7已知：如图，直线ab，直

5、线 c 与直线 a、b 分别相交于 C、D 两点，直线 d 与直线 a、b 分别相交于 A、B 两点 （1）如图 1，当点 P在线段 AB上（不与 A、B两点重合）运动时， 1、2、 3 之间有怎样的大小关系？请说明理由； （2）如图 2，当点 P在线段 AB的延长线上运动时， 1、2、3 之间的大小 关系为； （3）如图 3，当点 P在线段 BA的延长线上运动时， 1、2、3 之间的大小 关系为 学习必备欢迎下载 8如图，已知 AMBN，A=60 点 P是射线 AM 上一动点（与点 A 不重合） ， BC 、BD分别平分 ABP和PBN，分别交射线 AM 于点 C，D （1） ABN的度数是

6、； AMBN， ACB= ； （2）求 CBD的度数； （3）当点 P 运动时， APB与ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不 变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律 （4）当点 P运动到使 ACB= ABD时， ABC的度数是 学习必备欢迎下载 9 如图， 将一副直角三角板放在同一条直线AB上， 其中 ONM=30 ， OCD=45 （1） 将图中的三角板OMN 绕点 O按逆时针方向旋转， 使BON=30 ， 如图， MN 与 CD相交于点 E，求 CEN的度数； （2）将图中的三角尺OMN 绕点 O 按每秒 15 的速度沿逆时针方向旋转一周， 在旋转的过程中，

7、在第秒时，边 MN 恰好与边 CD平行；在第秒时，直 线 MN 恰好与直线 CD垂直 （直接写出结果） 学习必备欢迎下载 10如图，直线 AC BD，连接 AB，直线 AC 、BD及线段 AB把平面分成、 、四个部分，规定线上各点不属于任何部分 （1）如图（ 1） ，当动点 P落在第部分时，直接写出PAC 、APB 、PBD三 个角的数量关系是 （1）如图（ 2） ，当动点 P落在第部分时，直接写出PAC 、APB 、PBD三 个角的数量关系是 （3）如图（ 3） ，当动点 P落在第部分时，直接写出PAC 、APB 、PBD三 个角的数量关系是 （4）选择以上一种结论加以证明 学习必备欢迎下载

8、 11如图 1，将两根笔直细木板MN、EF用图钉固定并平行摆放，将一根橡皮筋 拉直后用图钉分别固定在MN、EF上，橡皮筋的两端点分别记为点A、点 B （1）图 1 中，若 1=110 ，则 2=度 （直接写出结果，不需说理） （2）P 为橡皮筋上一点，利用橡皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A、P、B 三点不在 同一直线上，然后用图钉固定点P 如图 2，若点 P在两细木棒所在直线之间，且1+2=90 ，试判断线段 AP与 BP所在直线的位置关系，并说明理由； 如图 3，若点 P在两细木棒所在直线的同侧，且1+2=90 ，APB=28 ，试 求1、2 的度数 （3） P1、 P2为 AB上两点，拉动橡皮筋

9、并固定如图4，若1+2=90 ， 则AP1P2+ BP2P1=度 （直接写出结果，不需说理） 学习必备欢迎下载 12已知，如图， ABCD ，分别探讨下面四个图形中APC与PAB ，PCD之 间的关系， 请你从所得到的关系中任选一个加以证明（温馨提示： 添加适当辅助 线） （1）在图 1 中，APC与PAB ，PCD之间的关系是： （2）在图 2 中，APC与PAB ，PCD之间的关系是： （3）在图 3 中，APC与PAB ，PCD之间的关系是： （4）在图 4 中，APC与PAB ，PCD之间的关系是： （5）在图中，求证： 13学习平行线性质后， 老师让学生完成教材第135 页练习中第

10、2 题，并针对这 学习必备欢迎下载 道题做深入的探究，看有什么新发现： 题目：如图， ABDE ，BC EF 求证： B=E 下面是小明和小红探究完成这道题的过程请补充完整： （1）小明发现，利用平行线性质，这道题很容易证明小明利用的平行线性质 可能是 （2）小红说她的方法和小明的不一样，小红利用的平行线性质可能是 （3）继续探究后，小明说： “ 我发现这道题可以用文字语言这样叙述：如果一个 角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等” 小红针对小明的叙述做深入探究后说：“ 针对这道题你的说法是对的，因为这道 题给出了图形，如果没有给出图形，你说的“ 如果一个角的两边分别平行于另一 个

11、角的两边，那么这两个角相等是不准确的，我发现它还存在另外一种情况” 你认为小红的说法是否正确？若正确，请就小红说的 “ 还存在另外一种情况 ” 画出 图形，给出证明，并补充修改小明给出的文字语言叙述若不正确，请说明理由 14已知，如图， l1l2 学习必备欢迎下载 （1）如图 1，过点 P作 l1的平行线，可证 APB，A，B 之间的等量关系是： APB= A+B （2）如图 2，请你写出 APB ，A，B之间的等量关系，并证明 （3） 如图 3， 请你直接写出 P1， P2， P3， P4， P5之间的等量关系为： 15几何问题中， 当图形的位置改变时， 与之相关的某些数量关系也会随之发生

12、学习必备欢迎下载 变化，完成探究： （1）若 ABCD ，同一平面内另一点E在 AB与 CD之间时，如图 1，求证：B+ D=E； （2）若 ABCD ，同一平面内另一点E在 AB的上面时，如图 2，试探究 B， D，E之间的关系式并证明你的结论； （3）若 ABCD，同一平面内另一点E在 CD的下面时，如图 3，直接写出 B， D，E之间的关系式； （4）若 ABCD ，同一平面内另一点E在 AB与 CD之间时，如图 4，直接写出 B、D、E之间的关系式 学习必备欢迎下载 七年级下册第一单元平行线探究题 参考答案与试题解析 一解答题（共15小题） 1 （2016 春?周口期末）将一副三角板中

13、的两块直角三角尺的直角顶点C按如图 方式叠放在一起（其中，A=60 ，D=30 ；E=B=45 ） ： （1）若 DCE=45 ，则ACB的度数为135 ； 若 ACB=140 ，求DCE的度数； （2）由（ 1）猜想 ACB与DCE的数量关系，并说明理由 （3）当 ACE 180 且点 E在直线 AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边 互相平行？若存在，请直接写出ACE角度所有可能的值（不必说明理由） ；若 不存在，请说明理由 【分析】 （1）首先计算出 DCB 的度数，再用 ACD +DCB 即可；首先计 算出 DCB的度数，再计算出 DCE即可； （2）根据（ 1）中的计算结果可得AC

14、B +DCE=180 ，再根据图中的角的和差 关系进行推理即可； （3）根据平行线的判定方法可得 【解答】 解： （1） ECB=90 ，DCE=45 ， DCB=90 45 =45 ， ACB= ACD +DCB=90 +45 =135 ， 故答案为： 135 ； 学习必备欢迎下载 ACB=140 ，ACD=90 ， DCB=140 90 =50 ， DCE=90 50 =40 ； （2）ACB +DCE=180 ， ACB= ACD +DCB=90 +DCB ， ACB +DCE=90 +DCB +DCE=90 +90 =180 ； （3）存在， 当ACE=30 时，ADBC ， 当ACE

15、= E=45 时，AC BE， 当ACE=120 时，ADCE ， 当ACE=135 时，BE CD， 当ACE=165 时，BE AD 【点评】此题主要考查了角的计算， 以及平行线的判定， 关键是理清图中角的和 差关系 2 （2016 春?乐业县期末）已知如图， ABCD，试解决下列问题： （1）1+2=180 ； （2）1+2+3=360 ； （3）1+2+3+4=540 ； （4）试探究 1+2+3+4+ +n=（n1）180 【分析】 （1）中，根据两条直线平行，同旁内角互补作答； （2）过点 E 作平行于 AB的直线，运用两次两条直线平行，同旁内角互补即可 得到三个角的和； （3）分

16、别过点 E，F作 AB的平行线，运用三次平行线的性质，即可得到四个角 的和； 学习必备欢迎下载 （4）同样作辅助线，运用（n1）次平行线的性质，则n 个角的和是（ n1） 180 【解答】 解： （1）ABCD ， 1+2=180 （两直线平行，同旁内角互补） ； （2）过点 E作一条直线 EF平行于 AB， ABCD ， ABEF ，CD EF ， 1+AEF=180 ，FEC +3=180 ， 1+2+3=360 ； （3）过点 E、F作 EG 、FH平行于 AB， ABCD ， ABEG FHCD ， 1+AEG=180 ，GEF +EFH=180 ，HFC +4=180 ； 1+2+3

17、+4=540 ； （4）中，根据上述规律，显然作（n2）条辅助线，运用（ n1）次两条直线 平行，同旁内角互补即可得到n 个角的和是 180 （n1） 【点评】 注意此类题要构造平行线，运用平行线的性质进行解决 3 （2016 春?广水市期末）如图，直线CB OA，C=OAB=100 ，E、F 在 CB 上，且满足 FOB= AOB，OE平分 COF （1）求 EOB的度数； （2）若平行移动 AB，那么 OBC ：OFC的值是否随之发生变化？若变化，找 出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值 （3）在平行移动 AB的过程中，是否存在某种情况，使OEC= OBA？若存在， 求出其度数；

18、若不存在，说明理由 学习必备欢迎下载 【分析】 （1）根据两直线平行，同旁内角互补求出AOC ，然后求出 EOB= AOC ，计算即可得解； （2）根据两直线平行，内错角相等可得AOB= OBC ，再根据三角形的一个外 角等于与它不相邻的两个内角的和可得OFC=2 OBC ，从而得解； （3）根据三角形的内角和定理求出COE= AOB ，从而得到 OB、OE、OF 是 AOC的四等分线，再利用三角形的内角和定理列式计算即可得解 【解答】 解： （1）CB OA， AOC=180 C=180 100 =80 ， OE平分 COF ， COE= EOF ， FOB= AOB ， EOB= EOF

19、+FOB= AOC= 80 =40 ； （2）CB OA， AOB= OBC ， FOB= AOB ， FOB= OBC ， OFC= FOB +OBC=2 OBC ， OBC ：OFC=1 ：2，是定值； （3）在 COE和AOB中， OEC= OBA ，C=OAB ， COE= AOB ， OB 、OE、OF是 AOC的四等分线， 学习必备欢迎下载 COE= AOC= 80 =20 ， OEC=180 CCOE=180 100 20 =60 ， 故存在某种情况，使 OEC= OBA ，此时 OEC= OBA=60 【点评】本题考查了平行线的性质， 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内 角

20、的和的性质， 角平分线的定义， 熟记各性质并准确识图理清图中各角度之间的 关系是解题的关键 4 （2016 春?大同期末）如图，已知直线l1l2，l3、l4和 l1、l2分别交于点 A、B、 C、D，点 P 在直线 l3或 l4上且不与点 A、B、C、D 重合记 AEP= 1，PFB= 2，EPF= 3 （1）若点 P在图（1）位置时，求证： 3=1+2； （2）若点 P在图（2）位置时，请直接写出1、2、3 之间的关系； （3）若点 P在图（3）位置时，写出 1、2、3 之间的关系并给予证明 【分析】 此题三个小题的解题思路是一致的，过P作直线 l1、l2的平行线，利用 平行线的性质得到和

21、1、2 相等的角，然后结合这些等角和3 的位置关系， 来得出 1、2、3 的数量关系 【解答】 证明： （1）过 P作 PQl1l2， 由两直线平行，内错角相等，可得： 1=QPE 、2=QPF ； 3=QPE +QPF ， 3=1+2 （2）关系： 3=21； 过 P作直线 PQl1l2， 学习必备欢迎下载 则： 1=QPE 、2=QPF ； 3=QPF QPE ， 3=21 （3）关系： 3=360 12 过 P作 PQl1l2； 同（1）可证得： 3=CEP +DFP ； CEP +1=180 ，DFP +2=180 ， CEP +DFP +1+2=360 ， 即3=360 12 【点评

22、】此题主要考查的是平行线的性质，能够正确地作出辅助线， 是解决问题 的关键 5 （2016 春?吴中区校级期末） ABCD，C在 D 的右侧， BE平分 ABC ，DE平 分ADC ，BE 、DE所在直线交于点 EADC=70 （1）求 EDC的度数； （2）若 ABC=n ，求 BED的度数（用含 n 的代数式表示）； （3）将线段 BC沿 DC方向移动，使得点 B在点 A 的右侧，其他条件不变，若 ABC=n ，求 BED的度数（用含 n 的代数式表示） 【分析】 （1）根据角平分线的定义可得EDC= ADC ，然后代入数据计算即可 学习必备欢迎下载 得解； （2）根据角平分线的定义表示出

23、CBE ，再根据两直线平行， 内错角相等可得 BCD= ABC ，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可； （3）根据角平分线的定义求出ADE 、ABE ，根据两直线平行，同旁内角互补 求出 BAD，再根据四边形的内角和定理列式计算即可得解 【解答】 解： （1）DE平分 ADC ，ADC=70 ， EDC= ADC=35 ； （2）BE平分 ABC ， CBE= ABC= n ， ABCD ， BCD= ABC=n ， CBE +BED= EDC +BCD ， 即n +BED=35 +n ， 解得 BED=35 +n ； （3）如图， BE平分ABC ，DE平分 ADC ， ADE= ADC

24、=35 ，ABE= ABC= n ， ABCD ， BAD=180 ADC=180 70 =110 ， 在四边形 ADEB中， BED=360 110 35 n =215 n 【点评】本题考查了平行线的性质， 角平分线的定义， 熟记性质并准确识图是解 题的关键 学习必备欢迎下载 6 （2016 春?大冶市期末）已知直线l1l2，点 A 是 l1上的动点，点 B 在 l1上， 点 C、D在 l2上， ABC ，ADC的平分线交于点E（不与点 B，D 重合） （1）若点 A 在点 B的左侧， ABC=80 ，ADC=60 ，过点 E作 EF l1，如图 所示，求 BED的度数 （2）若点 A 在点

25、 B 的左侧， ABC= ，ADC=60 ，如图所示，求 BED的 度数； （直接写出计算的结果） （3）若点 A 在点 B 的右侧， ABC= ，ADC=60 ，如图所示，求 BED的 度数 【分析】 （1）根据 BE 、DE分别是 ABC ，ADC的平分线， 得出 ABE= ABC ， CDE= ADC ， 再由平行线的性质得出 BEF= ABE ， 同理可得出 DEF= CDE ， 再由 BED= BEF +DEF即可得出结论； （2）过点 E作 EF AB，同（ 1）的证明过程完全相同； （3）过点 E作 EF L1，根据 BE ，DE分别是 ABC 、ADC平分线可知 ABE= AB

26、C= ，CDE= ADC ，再由 EFL1可知 BEF= （180 ） 根据 L1 L2可知 EF L2，故DEF= CDE=30 ，所以 BED= BEF +DEF 【解答】 解： （1）BE 、DE分别是 ABC ， ADC的平分线， ABE= ABC= 80 =40 ，CDE= ADC= 60 =30 EF L1， BEF= ABE=40 L1L2 EF L2 DEF= CDE=30 BED= BEF +DEF=40 +30 =70 ； 学习必备欢迎下载 （2）BE 、DE分别是 ABC ，ADC的平分线， ABE= ABC= ，CDE= ADC= 60 =30 EF L1， BEF=

27、ABE= L1L2， EF L2， DEF= CDE=30 BED= BEF +DEF= +30 ，即 BED= （ +30） ； （3）过点 E作 EF L1， BE ，DE分别是 ABC 、ADC平分线， ABE= ABC= ，CDE= ADC= 60 =30 EF L1， BEF= （180 ） 又L1L2 EF L2 DEF= CDE=30 BED= BEF +DEF =（180 +30） =（210 ） 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线， 再由平行线的性质 及三角形外角的性质即可得出结论 7 （2016 春?高阳县期末）已知：如图，直线ab，直线 c与直线 a、b

28、 分别相 交于 C、D两点，直线 d 与直线 a、b 分别相交于 A、B两点 （1）如图 1，当点 P在线段 AB上（不与 A、B两点重合）运动时， 1、2、 学习必备欢迎下载 3 之间有怎样的大小关系？请说明理由； （2）如图 2，当点 P在线段 AB的延长线上运动时， 1、2、3 之间的大小 关系为1=2+3； （3）如图 3，当点 P在线段 BA的延长线上运动时， 1、2、3 之间的大小 关系为2=1+3 【分析】 （1）过点 P作 a 的平行线，根据平行线的性质进行解题； （2）过点 P作 b 的平行线 PE ，由平行线的性质可得出abPE ，由此即可得出 结论； （3）设直线 AC与

29、 DP交于点 F，由三角形外角的性质可得出1+3=PFA ，再 由平行线的性质即可得出结论 【解答】 解： （1）如图 1，过点 P作 PE a，则 1=CPE ab，PE a， PE b， 2=DPE ， 3=1+2； （2）如图 2，过点 P作 PE b，则 2=EPD ， 直线 ab， aPE ， 1=3+EPD ，即 1=2+3 故答案为： 1=2+3； （3）如图 3，设直线 AC与 DP交于点 F， PFA是PCF的外角， 学习必备欢迎下载 PFA= 1+3， ab， 2=PFA ，即2=1+3 故答案为： 2=1+3 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线， 利用平

30、行线的性质 解答是解答此题的关键 8 （2016 秋?德惠市期末）如图，已知AMBN，A=60 点 P是射线 AM 上一 动点（与点 A 不重合） ，BC 、BD分别平分 ABP和PBN，分别交射线 AM 于点 C，D （1） ABN的度数是120 ； AMBN，ACB= CBN ； （2）求 CBD的度数； （3）当点 P 运动时， APB与ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不 变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律 学习必备欢迎下载 （4）当点 P运动到使 ACB= ABD时， ABC的度数是30 【分析】 （1）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补和内错角

31、相等可得； （2）由（ 1）知 ABP +PBN=120 ，再根据角平分线的定义知ABP=2 CBP 、 PBN=2 DBP，可得 2CBP +2DBP=120 ，即CBD= CBP +DBP=60 ； （3） 由 AMBN得APB= PBN、 ADB=DBN ， 根据 BD平分 PBN知PBN=2 DBN ，从而可得 APB ：ADB=2 ：1； （4） 由 AMBN得ACB= CBN ， 当ACB= ABD时有 CBN= ABD， 得ABC + CBD= CBD +DBN，即ABC= DBN，根据 ABN=120 ，CBD=60 可得答案 【解答】 解： （1）AMBN，A=60 ， A+

32、ABN=180 ， ABN=120 ； AMBN， ACB= CBN ， 故答案为： 120 ，CBN ； （2）AMBN， ABN +A=180 ， ABN=180 60 =120 ， ABP +PBN=120 ， BC平分 ABP ，BD平分PBN， ABP=2 CBP ，PBN=2 DBP ， 2CBP +2DBP=120 ， CBD= CBP +DBP=60 ； （3）不变， APB ：ADB=2 ：1 AMBN， APB= PBN ，ADB= DBN， 学习必备欢迎下载 BD平分 PBN， PBN=2 DBN， APB ：ADB=2 ：1； （4）AMBN， ACB= CBN ， 当

33、ACB= ABD时，则有 CBN= ABD， ABC +CBD= CBD +DBN， ABC= DBN， 由（1）可知 ABN=120 ，CBD=60 ， ABC +DBN=60 ， ABC=30 ， 故答案为： 30 【点评】本题主要考查平行线的性质和角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质 是解题的关键 9 （2016 春?万州区期末）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB 上， 其中 ONM=30，OCD=45 （1） 将图中的三角板OMN 绕点 O按逆时针方向旋转， 使BON=30 ， 如图， MN 与 CD相交于点 E，求 CEN的度数； （2）将图中的三角尺OMN 绕点 O 按每秒

34、15 的速度沿逆时针方向旋转一周， 在旋转的过程中，在第5 或 17秒时，边 MN 恰好与边 CD平行；在第11 或 23秒时，直线 MN 恰好与直线 CD垂直 （直接写出结果） 【分析】 （1）根据内错角相等， 两直线平行判断出MNBC ，再根据两直线平行， 同旁内角互补解答； 学习必备欢迎下载 （2）作出图形， 然后分两种情况求出旋转角，再根据时间 =旋转角速度计算即 可得解 【解答】 解： （1）BON= N=30 ， MNBC ， CEN=180 DCO=180 45 =135 ； （2）如图， MNCD时，旋转角为 90 （60 45 ）=75 ， 或 270 （60 45 ）=25

35、5 ， 所以， t=75 15 =5 秒， 或 t=25515 =17秒； MNCD时，旋转角为 90 +（180 60 45 ）=165 ， 或 360 （60 45 ）=345 ， 所以， t=165 15 =11秒， 或 t=345 15 =23秒 故答案为： 5 或 17；11 或 23 【点评】 本题考查平行线的判定与性质，解题的关键在于（3）分情况讨论，作 出图形更形象直观 10 （2016 春?孝南区期末）如图，直线AC BD，连接 AB，直线 AC、BD及线段 学习必备欢迎下载 AB把平面分成、四个部分，规定线上各点不属于任何部分 （1）如图（ 1） ，当动点 P落在第部分时，

36、直接写出PAC 、APB 、PBD三 个角的数量关系是PAC +APB+PBD=360 （1）如图（ 2） ，当动点 P落在第部分时，直接写出PAC 、APB 、PBD三 个角的数量关系是PAC +PBD= APB （3）如图（ 3） ，当动点 P落在第部分时，直接写出PAC 、APB 、PBD三 个角的数量关系是PAC= APB+PBD （4）选择以上一种结论加以证明 【分析】 （1）过点 P作 PE AC ，根据平行线的性质即可得出结论； （2）过点 P作 PE AC ，根据 AC PE可得出 APE= CAP ，再由 PE BD可得出 EPB= PBD ，故可得出结论； （3）延长 BA

37、，由三角形外角的性质可得出PBD= PBA +ABD，PAC= PAF + CAF ，再由平行线的性质得出ABD= CAF ，进而可得出结论； （4）证明（ 1）即可 【解答】 解： （1）如图（ 1） ，过点 P作 PE AC ，则 PAC +APE=180 AC BD， PE BD， BPE +PBD=180 ， PAC +APB +PBD=360 故答案为： PAC +APB +PBD=360 ； （2）如图（ 2） ，过点 P作 PE AC，则 APE= CAP ， AC BD，PE AC ， PE BD， EPB= PBD ， 学习必备欢迎下载 PAC +PBD= APB 故答案为：

38、 PAC +PBD= APB ； （3）如图（ 3） ，延长 BA，则PBD= PBA +ABD ，PAC= PAF +CAF ， ABCD ， ABD= CAF ， PAC PBD= PAF PBA ， 而PBA +APB= PAF ， APB= PAC PBD ， PAC= APB +PBD 故答案为： PAC= APB +PBD ； （4）例如（ 1） ，过点 P作 PE AC，则 PAC +APE=180 AC BD， PE BD， BPE +PBD=180 ， PAC +APB +PBD=360 学习必备欢迎下载 【点评】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线，利

39、 用平行线的性质求解是解答此题的关键 11 （2016 春?宿迁校级期末）如图1，将两根笔直细木板MN、EF用图钉固定并 平行摆放，将一根橡皮筋拉直后用图钉分别固定在MN、EF上，橡皮筋的两端点 分别记为点 A、点 B （1）图 1 中，若 1=110 ，则 2=70度 （直接写出结果，不需说理） （2）P 为橡皮筋上一点，利用橡皮筋的弹性拉动橡皮筋，使A、P、B 三点不在 同一直线上，然后用图钉固定点P 如图 2，若点 P在两细木棒所在直线之间，且1+2=90 ，试判断线段 AP与 BP所在直线的位置关系，并说明理由； 如图 3，若点 P在两细木棒所在直线的同侧，且1+2=90 ，APB=2

40、8 ，试 求1、2 的度数 （3） P1、 P2为 AB上两点，拉动橡皮筋并固定如图4，若1+2=90 ， 则AP1P2+ BP2P1=270度 （直接写出结果，不需说理） 【分析】 （1）根据 MNEF即可得出 1+2=180 ，结合 1=110 即可求出 2 的度数； 学习必备欢迎下载 （2） 过点 P作 PC MN， 根据 MNEF即可得出 PC MNEF ， 进而得出 APC= 1，BPC= 2，再根据角与角之间的关系即可得出APB= 1+2=90 ，由此 即可得出 APBP ； 过点 P 作 PDMN，同理可得出 APC= 1，BPC= 2，根据角与角之间的 关系即可得出 APB=

41、21=28 ，再结合 1+2=90 ，即可求出 1、2 的 度数； （3）过点 P1作 P1C MN，过点 P2作 P2DMN，由 MNEF即可得出 P1C MN EF P2D，从而可得出 1=AP1C，2=BP2D，CP1P2+DP2P1=180 ，再根 据角与角之间的关系即可算出AP1P2+BP2P1的度数 【解答】 解： （1）MNEF ， 1+2=180 ， 1=110 ， 2=70 故答案为： 70 （2）APBP ，理由如下： 在图 2 中，过点 P作 PC MN， MNEF ， PC MNEF ， APC= 1，BPC= 2 APB= APC +BPC ，1+2=90 ， APB

42、=90 ， AP BP 在图 3 中，过点 P作 PDMN， MNEF ， PD MNEF ， DPA= 1，DPB= 2， APB= DPB DPA= 21=28 又 1+2=90 ， 1=31 ，2=59 学习必备欢迎下载 （3）在图 4 中，过点 P1作 P1CMN，过点 P2作 P2DMN， MNEF ， P1CMNEF P2D， 1=AP1C，2=BP2D，CP 1P2+DP2P1=180 又 1+2=90 ， AP1P2+BP2P1=AP1C+CP1P2+BP2D+DP2P1=（ AP1C+BP2D）+（ CP1P2+DP2P1）=90 +180 =270 故答案为： 270 【点

43、评】本题考查了平行线的性质， 解题的关键是： （1）找出 1+2=180 ； （2） 求出 APB= 1+2=90 ；找出 APB= 21=28 ； （3）根据平行线的性 质找出 1=AP1C，2=BP2D，CP 1P2+DP2P1=180 本题属于中档题，难 度不大，解决该题型题目时， 根据平行线的性质找出相等 （或）互补的角是关键 12 （2016 春?建昌县期末）已知，如图，ABCD，分别探讨下面四个图形中 APC与PAB ， PCD之间的关系，请你从所得到的关系中任选一个加以证明（温 馨提示：添加适当辅助线） 学习必备欢迎下载 （1）在图1 中， APC 与PAB ， PCD之间的关系是：APC +PAB + PCD=360 （2） 在图 2 中， APC与PAB ， PCD之间的关系是：APC= PAB +PCD （3） 在图 3 中， APC与PAB ， PCD之间的关系是：PAB= APC +PCD （4） 在图 4 中， APC与PAB ， PCD之间的关系是：PCD= APC +PAB （5）在图2中，求证：APC= PAB +PCD 【分析】 （1）首先过点 P作 PE AB，由 ABCD，即可得 ABPE CD ，然后根 据两直线平行，同旁内角互补，即可求得答案； （2）首先过点 P作 PE A