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1、学习必备欢迎下载 第十六讲从数表中找规律 在前面学习了数列找规律的基础上，这一讲将从数表的角度出发， 继 续研究数列的规律性。 例 1 下图是按一定的规律排列的数学三角形，请你按规律填上空缺 的数字 . 分析与解答这个数字三角形的每一行都是等差数列（第一行除外） ， 因此，第 5 行中的括号内填 20，第 6 行中的括号内填 24 。 例 2 用数字摆成下面的三角形，请你仔细观察后回答下面的问题： 这个三角阵的排列有何规律？ 根据找出的规律写出三角阵的第6 行、第 7 行。 推断第 20 行的各数之和是多少？ 分析与解答 首先可以看出， 这个三角阵的两边全由1 组成；其次，这个三角阵 中，第一
2、行由 1 个数组成， 第 2 行有两个数第几行就由几个数组成；最 后，也是最重要的一点是：三角阵中的每一个数（两边上的数1 除外）， 都等于上一行中与它相邻的两数之和. 如：2=1+1，3=2+1，4=3+1，6=33。 根据由得出的规律，可以发现，这个三角阵中第6 行的数为 1， 5，10，10，5，1；第 7 行的数为 1，6，15，20，15，6，1。 要求第 20 行的各数之和，我们不妨先来看看开始的几行数。 学习必备欢迎下载 至此，我们可以推断，第20 行各数之和为 219。 本题中的数表就是著名的杨辉三角，这个数表在组合论中将得到广 泛的应用 例 3 将自然数中的偶数2，4，6，8
3、，10按下表排成 5 列，问 2000 出现 在哪一列？ 分析与解答 方法 1： 考虑到数表中的数呈S形排列，我们不妨把每两行分为一组， 每组 8 个数，则按照组中数字从小到大的顺序，它们所在的列分别为B、 C、D、E、D、C、B、A.因此，我们只要考察2000 是第几组中的第几个数 就可以了，因为 2000 是自然数中的第 1000 个偶数，而 10008125， 即 2000 是第 125 组中的最后一个数，所以， 2000 位于数表中的第 250 行 的 A列。 方法 2：仔细观察数表，可以发现：A列中的数都是 16 的倍数， B列 中数除以 16 余 2 或者 14，C列中的数除以 1
4、6 余 4 或 12，D列的数除以 16 余 6或 10，E列中的数除以 16余 8. 这就是说，数表中数的排列与除以 16 所得的余数有关，我们只要考察2000除以 16 所得的余数就可以了， 因为 200016=125，所以 2000 位于 A列。 学习的目的不仅仅是为了会做一道题，而是要学会思考问题的方法. 一道题做完了，我们还应该仔细思考一下，哪种方法更简洁，题目主要 考察的问题是什么这样学习才能举一反三，不断进步。 学习必备欢迎下载 就例 3 而言，如果把偶数改为奇数， 2000 改为 1993 ，其他条件不 变，你能很快得到结果吗？ 例 4 按图所示的顺序数数， 问当数到 1500
5、时， 应数到第几列？ 1993 呢？ 分析与解答 方法 1：同例 3 的考虑，把数表中的每两行分为一组，则第一组有9 个数，其余各组都只有8 个数。 （1500-9）81863 （19939）8248 所以， 1500位于第 188组的第 3 个数，1993 位于第 249 组的最后一 个数，即 1500 位于第列， 1993位于第列。 方法 2：考虑除以 8 所得的余数 . 第列除以 8 余 1，第列除以 8 余 2 或是 8 的倍数，第列除以8 余 3 或 7，第列除以 8 余 4 或 6，第 列除以 8 余 5；而 15008=1874，19938=2491，则 1993 位于第 列，
6、1500位于第列。 例 5 从 1 开始的自然数按下图所示的规则排列，并用一个平行四边形框 出九个数， 能否使这九个数的和等于1993；1143；1989.若能办到， 请写出平行四边形框内的最大数和最小数；若不能办到，说明理由. 分析与解答 学习必备欢迎下载 我们先来看这九个数的和有什么规律. 仔细观察，容易发现： 12+28 220，13+27=220，14+26=2 20，19+21 2 20 ，即： 20 是框 中九个数的平均数 . 因此，框中九个数的和等于20 与 9 的乘积 . 事实上， 由于数表排列的规律性，对于任意由这样的平行四边形框出的九个数来 说， 都有这样的规律， 即这九个
7、数的和等于平行四边形正中间的数乘以9。 因为 1993 不是 9 的倍数，所以不可能找到这样的平行四边形，使 其中九个数的和等于1993。 11439127，1278157. 这就是说，如果 1143 是符合条件 的九个数的和，则正中间的数一定是127，而 127 位于数表中从右边数的 第 2 列. 但从题中的图容易看出， 平行四边形正中间的数不能位于第1 行， 也不能位于从左数的第1 列、第 2 列、第 7 列和第 8 列，因此，不可能构 成以 127 为中心的平行四边形。 19899=221，2218=275，即 1989 是 9 的倍数，且数 221 位 于数表中从左起的第5 列， 故可以找到九个数之和为1989 的平行四边形， 如图： 其中最大的数是 229，最小的数是 213. 习题一 1. 观察下面已给出的数表，并按规律填空： 2. 下面一张数表里数的排列存在着某种规律，请你找出规律之后， 按 照规律填空。 3. 下图是自然数列排成的数表，按照这个规律，1993在哪一列？ 学习必备欢迎下载 4. 从 1 开始的自然数如下排列，则第2 行中的第 7 个数是多少？