2a逻辑函数的表达方法.pdf

《2a逻辑函数的表达方法.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2a逻辑函数的表达方法.pdf（8页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、数字电子技术课程教案 1、课次：2 2、授课方式：理论课 3、课时安排： 2 课时 4、授课题目：1.3逻辑代数中的常用运算 1.4 逻辑代数的基本公式及定律 1.5 逻辑函数的表达方法 5、教学目的：掌握逻辑代数中的常用运算，逻辑代数的基本公式及定律 掌握逻辑函数的表达法 6、教学重点及难点：几本公式及定律 7、方法及手段：举例讲解 8、教学基本内容： 1.3 逻辑代数中的常用运算 逻辑是表示事物的前因与后果之间存在的规律性，又称逻辑关系。 逻辑代数就是描述事 物逻辑关系的数学，在数字电路的分析和设计中获得广泛应用。 逻辑代数中，把表示逻辑关系的数学形式叫做逻辑函数。逻辑函数用字母A、B、C

2、 X、 Y、Z 等表示变量，这种变量称为逻辑变量，通常把表示条件的称为输入变量，而把表示结 果的称为输出变量。逻辑变量的取值只有1 和 0 两个， 它们不表示数量的大小，只表示两种 对立的逻辑状态，既肯定或否定，在数字电路中表示电位的高低、电路开关的闭合和断开、 信号的有无等。逻辑代数最基本的逻辑运算有三种：与运算、或运算、非运算。复杂的逻辑 运算都是以这三种基本逻辑运算为基础的。 （1）电路图为两个串联开关控制的电 灯回路，开关S1 和 S2 只要有一个断开或都断开， 灯 HL 就不亮，只有当S1 和 S2 都闭合时，灯HL HL E S1 S2 与运算开关电路 才亮。电路的功能见表 （2）

3、真值表用英文字母表示开关和灯的过程称为设定变量。现用A、B、Y 分 别表示开关S1、S2 和灯 HL 的状态。用0 和 1 分别表示开关和灯有关状态的 过程，称为状态赋值，也称为状态取值。现用0 表示开关断开和灯灭，用1 表示开关闭合和灯亮，见表。 表电路功能表表真值表 这种 反 映 开 关 状 态与 灯 亮 灭 之 间 因果 关 系 的 逻 辑 代数 表 示 形 式称为逻辑真值表，简称真值表。 （3）与逻辑及与运算只有当决定一件事情的所有条件全部具备时，事件才发生， 这样的逻辑关系称为与逻辑关系。由表54 可知， Y 与 A、B 之间的关系是：只有当A 和 B 都为 1 时， Y 才能为 1

4、，否则为0。这显然是与逻辑关系，可用逻辑表达式表示： Y= AB 该式读做 Y 等于 A 与 B。这种运算称为与运算，也叫逻辑乘，式中的“”表示 与运算，可以省略。 与运算的规律：00=0 01=0 10=0 11=1 与运算的逻辑符号如图59 所示。 （1）电路图为两个并联开关控制 的电灯回路，开关S1 和 S2 只要有一个闭合或两 个都闭合，灯HL 就亮。只有当S1 和 S2 都断开时， 灯 HL 才不亮。电路的功能见表 电路功能表 表 16 真值表 开关 S1 开关 S2 灯 HL 断开断开灭 断开闭合灭 闭合断开灭 闭合闭合亮 A B Y 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

5、 开关 S1 开关 S2 灯 HL 断开断开灭 断开闭合亮 Y A B 与运算符号 S1 S2 HL E 或运算开关电路 （2）真值表 用A 、 B、 Y 分别表 示 开 关 S1、 S2 和灯 HL 的状态。状态赋值后 的 真 值 表。 （3） 或逻辑及或运算只要决定一件事 情 的 条 件具备一个或一个以上时，事件才发生， 这样的逻辑关系称为或逻辑关系。由表 56 可知， Y 与 A、B 之间的关系是：只要当 A 和 B 当中有一个或两个为1 时， Y 就为 1，否则为 0。 这显然是或逻辑关系，可用逻辑表达式表示： Y= A+B 该式读做Y 等于 A 或 B。这种运算称为或运算，也叫逻辑或

6、，式中“+”表示或运算。 或运算的规律：0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 或运算的逻辑符号如图511 所示。 （1）电路图当开关 S闭合时灯HL 灭，当开关S 断开时灯 HL 亮。电路的功能见表。 真值表用变量A、Y 分别代表开关S 和灯 HL， （2）状态赋值后的真值表如表所示。 表 电路功能表表 真值表 （3） 非逻辑与非运算当 决 定 某 事件的条件成立时，则 事 件 不 发生；条件不成立时， 事件发生。Y 与 A 的关系是：当 A 为 0 时， Y 为 1；A 为 1 时， Y 为 0。 这一关系可用逻辑表达式表示为：Y=A 读作 Y 等于 A 非，或读作Y 等于 A 反

7、。 字母上方的“”表示非运算或反运算。 非运算的规律：0=1 1=0 非运算的逻辑符号如图所示。 逻辑代数中的运算顺序：先括号内，后括号外；先“与”后“或”再“非”。 闭合断开亮 闭合闭合亮 A B Y 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 开关 S 灯 HL 断开亮 闭合灭 A Y 0 1 1 0 Y A B 1 或运算符号 R S HL E 非运算开关电路 Y A 1 非运算符号 与非运算是将与运算的结果再求反而得到的。它所表示的逻辑关系是：只有当决定 事件的条件全部满足时，事件才不发生，否则事件发生。 与非运算可归纳为：全“1”则 0，有“ 0”则“ 1” 。 与非运算的逻辑表

8、达式为：Y=AB 与非运算的逻辑符号如图所示。 或非运算是将或运算的结果再求反而得到的。它所表示的逻辑关系是：只有当决定 事件的条件中任意一个被满足时，事件不发生；如决定事件的条件全不满足，则事件发 生。或非运算可归纳为：有“1”则 0，全“ 0”则“ 1” 。 或非运算的逻辑表达式为：Y=A+B 或非运算的逻辑符号如图所示。 异或运算所表示的逻辑关系是：决定事件的 两个条件状态不同时，事件才发生， 逻辑关系式为：Y=AB+AB 异或运算的逻辑符号如图所示。 同或运算所表示的逻辑关系是：决定事件的 两个条件状态相同时，事件才发生， 其逻辑关系式为：Y=AB+AB 同或运算的逻辑符号如图所示。

9、与或非运算所表示的逻辑关系是：A 和 B， C 和 D 分别进行与运算，两者结果进行或运算， 再进行求反运算。 其逻辑关系式是：Y=AB+CD 与或非运算的逻辑符号如图所示。 1.4 逻辑代数的基本公式及定律 根据逻辑代数中与、或、非三种基本逻辑运算可以推导出逻辑代数中的基本公式和定 理。 1.41 逻辑代数的公式 Y A B 与非运算符号 Y A B 1 或非运算符号 Y A B =1 异或运算符号 Y A B = 同或运算符号 C A Y B D 1 与或非运算符号 1与运算0 0=0 01=0 10=0 11=1 2或运算0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=1 3非运算0=1 1

10、= 0 A 0=0 A1=A A+0=A A+1=1 运算律 1交换律： AB=B A A+B= B+A 2结合律：（AB） C= A （BC） 3等幂律 :A+A=A AA=A 4互补律： AA=0 A+A=1 5双否律： A=A 6分配律： A （ B+C ）=AB+A C A+BC=（ A+B ） （ A+C ） 证明： （A+B） （A+C ）=AA+AC+A B+B C =A+ AC+A B+B C=A （1+C+B ）+ BC =A+ BC 7吸收律： A+AB=A A（ A+B ）=A A（A+B ）=AB A+AB=A+B 几种形式的吸收定理都可以由基本公式来证明， 证明：A+

11、AB=A+B A+B= A+B 1=A+ （A+A ）B =A+AB+AB=A(1+B)+AB=A+AB 8摩根定理：AB= A + B A+B= AB 证明： AB= A + B 利用真值表来验证。见表。 表真值表 A B AB AB A B A+B 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 0 由表得知 AB的值和 A + B 的值是完全相同的，所以：AB= A + B 在逻辑等式中所出现的某一变量，若均以另一个函数代替，则等式仍然成 立，这个规则叫代入规则。 例如，等式 A+B=A B成立，式中 B用 BC代替，则等式仍然

12、成立。 即：A+BC=A BC 任一逻辑表达式Y，如果将其中所有的“”换成“ +” ， “+”换成“” ； 所有的“ 1”换成“ 0” ， “0”换成“ 1” ，则所得的新函数Y与原函数Y互为对 偶式。 例如， Y=（A+B） （C+D ） Y=AB+C D 这种利用求对偶式的方法获得新的逻辑等式的原则，称为对偶规则。如果两个 逻辑式相等，则它们的对偶式也一定相等。 任一逻辑表达式Y，如果将其中所有的“”换成“ +” ， “ +”换成“” ； 所有的“ 1”换成“ 0” ， “0”换成“ 1” ；所有的原变量换成反变量，反变量换成 原变量，则所得的新函数就是原函数Y的反函数Y ，这就是反演规则

13、。 例如， Y=（A+B） （C+D ） Y=AB+C D 比较反函数与对偶式的例子，反函数与对偶式之间形式上只差变量的“非”。若 已经求得一个函数的对偶式，只要将对偶式中所有的变量取反就成该函数的反函数。 1.5 逻辑函数的表达方法 根据逻辑函数的不同特点和具体情况，可用逻辑真值表、逻辑表达式、 逻辑图、卡诺图 和波形图等五种方法来表示。 真值表是把输入逻辑变量的各种可能取值和对应的逻辑函数值排列在一起的表格。 列写真值表的方法：每一个输入变量均有0、1 两种取值， N 个输入变量可组合成2 N 种 取值，把2 N个输入取值组合及与之对应的逻辑函数数值列举出来就构成真值表。 例试列出逻辑函数

14、Y=AB+AB 的真值表。 解：该逻辑函数有2 个输入变量，就有2 2=4 种取值。把输入变量 A 、 B 的每种取值情况分 别代入 Y=AB+AB 中，进行逻辑运算，求出逻辑函数值，列入表中，就得到Y的真值表。 表 Y=AB+AB 的真值表 A B Y A B Y 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 由表可知，当两个变量取值相同时为1，否则为 0，所以此函数为同或函数。 真值表列举了逻辑函数与输入逻辑变量的全部对应关系，因此，任何逻辑函数的真 值表具有唯一性。 逻辑表达式是由与、或、非运算把各变量联系起来表示逻辑关系的数学表达式。简称 表达式。 1 由实际逻辑问题写表达式 例 假

15、设有两个输入变量A和 B， 当 A和 B同时为 1 时才有输出， 试写出该逻辑表达式。 解：根据题意可知，只有当A 、B取值同时为1 时，输出Y为 1。 所以可以写出输出表达式：Y=AB 2由真值表写表达式 例 试写出表所列的逻辑真值表的逻辑表达式。 解：根据表所列的逻辑真值表中，把输出为1 的各状态表示成全部输入变量的与函数， 输入变量为1 的用原变量表示，变量为 0 的用反变量表示， 把总输出表示成与函数项的或函 数。在本例中输出为1 的只有两种取值，分别是00、11。 由此可以写出逻辑函数的表达式：Y=AB+AB 综上所述，无论是由实际问题写表达式还是由真值表写表达式，其方法是：先找出输

16、 出为 1 的情况，输入变量1 用原变量表示，0 用反变量表示，然后将输出为1 的每一种组合 写成一个与函数项，再把与函数项相或，就可得到逻辑函数的表达式。 逻辑图就是用基本和常用的逻辑符号来表示 逻辑函数各变量之间的运算关系所构成的图形。 在数字电路中，常用逻辑图表示电路的逻辑功能。 表的逻辑图如图所示。 为反映输入、输出变量相对时间的对应关系， 用高、低电平描述的图形叫波形图，又叫时序图。 我们根据输入变量随时间变化的波形和已知的 函数关系求出输出变量的波形。 A B Y 波形图 逻辑图 1 Y 1 o 1 o A B 表的波形图如图所示。 由真值表可以直接写出表达式和画出波形图， 由表达式可以画出逻辑图。也可根据逻辑函数的逻辑图和波形图求出真值表和表达式。 这就是逻辑函数几种表示法间的相互转换。 在上边写了 9. 思考题： P26 1-7 1-8 10. 小结 ：逻辑代数的基本公式和定律，表达方法